简单逻辑联结词与复合命题

简单逻辑联结词与复合命题

1.命题与量词:

定义1 用语言、符号或式子表达的,而且能判断真假的语句叫做命题.

例如:

(1)100是5的倍数;(真)

(2)1+1

(3)邻边相等的平行四边形是菱形.(真)

这三个例子都是命题.

一个命题要么是真的,要么是假的,但不能既真又假,也不能无法判断其真假.命题一般可以用一个英文字母表示,如:p,q,r,.

在数学中,常有一些含有变数x的语句,如x20.像这样含有变量的语句,可用px,qx,表示.由于不知道x代表什么数,无法判断真假,因而它们不是命题.然而,当我们赋予变量某个值或一定条件时,这些含有变量的语句又可以变成可判断真假的语句,从而成为命题.例如:

p:存在一个实数x,使x20.就是一个真命题;

q:对所有的实数x,有x20.是一个假命题.

短语“存在一个”“所有的”在命题陈述中表示数量.逻辑学上通常称为量词(存在量词和全称量词),并分别用符号和表示.这样,上面两个例子可以表述为:

p:x,使x20.(真) q:xR,有x20.(假)

例1 判断下列命题的真假:

(1)xR,使x1;

(2)xQ,使x2;

(3)xN,有xx;

(4)xR,有x10.

分析:要判定一个存在性命题是真,只要在限定的集合M中,至少能找到一个xx0值,使23223px0成立即可,否则,这一存在性命题就是假的.要判定一个全称命题是真,必须对限定集合M中的每一个x验证px成立;但要判定一个全称命题是假,却只要能举出集合M中一个xx0值,使得px0为假即可.

解:(1)真;(2)假;(3)假;(4)真.

2.逻辑联词:

常用的逻辑联词有“且”“或”“非”等.

(1)且

逻辑联结词“且”的意义和日常语言中的“与”“和”是相当的.例如,把命题:“p:2是偶数”和“q:2是质数”用联结词“且”联结起来,就得到一个新命题:2是偶数且是质数. 定义2两个命题p,q用逻辑联结词“且”联结起来构成一个新命题,记作pq,读作“p且q”. 命题pq的真假,可根据p,q的真假由下表确定.这样的表通常叫做pq的真值表.从表中我们发现当p,q为真时,p且q为真;当p,q中至少有一个为假,p且q为假.

例2判断下列命题的真假：

（1）正方形ABCD是矩形,且是菱形;

（2）5是10的约数且是15的约数;

（3）5是10的约数且是8的约数;

分析:这几个命题都是两个命题用逻辑联结词“且”联结而成,当且仅当这两个命题全真时,才是真命题.

解:(1)真;(2)真;(3)假.

例3 把下列命题用“且”联结组成新命题,并判定其真假.

(1)p:50;q:50;

(2)p:25是5的倍数;q:25是4的倍数.

解:(1)pq:505.真命题;

(2) pq:25是5和4的公倍数.假命题.

(2)或

逻辑联结词“且”的意义和日常语言中的“或者”是相当的.例如,把命题:“p:5是奇数”和“q:5是质数”用联结词“或”联结起来,就得到一个新命题:5是奇数或是质数.

定义3两个命题p,q用逻辑联结词“或”联结起来构成一个新命题,记作pq,读作“p或q”. 命题pq的真值表如下表所示.从表中我们发现当p,q中至少有一个为真时p或q为真;当p,q都为假时,p或q为假.

例4 判断下列命题的真假：

（1）5是10的约数或是15的约数；

（2）5是12的约数或是8的约数；

（3）5是12的约数或是15的约数；

2（4）方程x3x40的判别式大于或等于零.

分析:以上命题都是两个命题用逻辑联结词“或”联结而成,当且仅当这两个命题至少有一个为真时,才是真命题.

解:(1)真;(2)假;(3)真;(4)真.

例5把下列命题用“或”联结组成新命题,并判定其真假.

(1)p:22;q:22;

(2)p:正方形的对角线互相垂直;q:矩形的对角线互相平分.

解:(1)pq:22.真命题.

(2)pq:正方形的对角线互相垂直或矩形的对角线互相平分.真命题.

(3)非

逻辑联结词“非”的意义就是日常语言的“否定”.例如,把命题:“7是21的因数”加以否定,就构成了新命题:“不是”7是21的因数””,即“7不是21的因数”.

定义4对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作p,读作“非p”.

命题p的真值表如下表所示.从表中我们发现当p为真时,非p为假; 当p为假时,非p为真.

例6 写出下列命题的非,并判断真假.

2（1）p:方程x10有实数根;

2（2）p:存在一个实数x,使得x90;

2（3）p:对任意实数x,均有x2x10;

（4）p:等腰三角形两底角相等.

解:(1)p:方程x10没有实数根.真命题. 2

(2)p:对任意实数x,x90.假命题. 2

(3)p:存在一个实数x,使得x2x10.假命题.

(4)p:等腰三角形两底角不相等.假命题.

由上例我们看出:

存在性命题q:xA,使rx成立.它的否命题q:xA,有rx(即rx不成立). 2全称命题p:xA,有rx成立.它的否命题p:xA,使得rx.

例7 写出下列真命题的非:

(1)p:a0;

(2)q:b0;

(3)pq:a0b0;

(4)pq:a0b0.

解:(1)p:a0;

(2)q:b0;

(3)命题pq:a0b0,只有当a0且b0时,才是真的;而否定这一命题只需p,q中有一个假命题即可,即a0b0.所以pq:a0b0;

(4)类似地,pq:a0b0.

通过上例可以发现以下等效关系:

pqpq;pqpq.

这两个关系式对任何命题都是成立的,逻辑上通常也称为德摩根定律.

3.简单命题与复合命题:

不含有逻辑联结词的命题是简单命题.由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题.

复合命题的构成形式主要有p或q(记作“pq” ); p且q (记作“pq” );非p(记作“p”)这三种.

例8分别指出由下列各组命题构成的p且q、p或q形式的复合命题的真假.

(1)p:225;q:32;

(2)p:0;q:0.

解:(1)pq:225且32,假命题.pq:225或32,真命题.

(2)pq:0且0,假命题.pq: 0或0,假命题.