立体几何中平面"翻折"问题的思考
立体几何中平面“翻折”问题的思考
虹桥中学 张金勇
翻折问题是高考立体几何中的热点问题, 也是令许多学生感到困惑和迷茫的问题. 由于翻折使得立体几何由" 静态" 转化为" 动态", 从而提升了思维的难度, 拓宽了空间想象的范围, 根据多年的教学体会突破这个问题的关键是找到问题的本质内容是什么？根据空间几何体的形成过程不难发现“翻折”过程其实就是一个旋转体形成的过程，只要做出旋转体问题就不攻自破了，下面笔者举例说明一下。
将 ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A. 存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B. 存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
D. 对任意位置，三对直线“AC 与BD ”, ”
AB 与CD ”,AD 与BC ”均不垂直
分析：如图2所示：当平面ABD 沿着直线BD 翻折过程其实就是以直线AB 为母线，直线BD 为轴旋转形成圆锥的过程，点A 的轨迹在圆锥底面的圆周上，显然直线BD 与圆锥的底面是垂直的，直线AC 不在圆锥的底面上故不与直线BD 垂直，选项A 是错误的；又由于在没有翻折前直线AB 与直线CD 是平行的，所以
在翻折后直线AB 与直线CD 所成角等同于圆锥的母线与直线AB 所成角，由于旋转过程是连续变化的所以角最小的时候为没有翻折为0，最大的时候为∠AB A ' AB 2+A 'B 2-A A '22由余弦定理可得cos ∠AB A '=, AB =A 'B =1, A A '=所以2AB ⋅A 'B 3
AB 2+A 'B 2-A A '2
cos ∠AB A '=
个位置使得AB 与CD 是垂直的，所以选项B 是正确的。
小结：从本体的分析过程不难发现，解决问题的关键在于我们能否在翻折问题中找到几何模型——圆锥。我们再来看一道翻折问题：
例2：（2017学军中学高考模拟题）如图，在二面角A-CD-B 中，
BC ⊥CD , BC =CD =2, 点A 在直线AD 上运动，满足AD ⊥CD , AB =3, 现将平面ADC 沿着CD 进行翻折，在翻折过程中，线段AD 的取值范围是
分析：平面ACD 沿着直线DC 翻折，可以得到的几何体模型是以CD 为轴AC 为母线的圆锥，又因为AD 垂直于轴CD 所以直线AD 旋转得到的是与轴CD 垂直的平面AD B ',AB=3，点B 在平面AD B '上的投影为点B '且点B '固定的并可得A B '=, 点A 的轨迹为在平面AD B '中以点B '为圆心A B '=为半径的圆上，这样可以把空间问题转化为平面问题解决，如下图观察可得AD 的取值范围5-2, 5+2 ]
小结：该题也是把翻折问题看成旋转问题得到AD 直线旋转得到的是圆锥的底面，然后在把空间问题转化成平面问题这是立体几何常用的解决方法。
通过以上两个例子，希望和大家一起交流一下空间立体几何中有关“翻折”问题的解决视角，期望能够从复杂抽象的空间思维模式中转化为简单举例的实物模型来解决问题，不凡是从复杂繁琐的推理计算中另辟捷径，仅供大家参考交流。
2017年8月1日