第八章 分离变数法数学物理方法 梁昆淼
第八章 分离变数法
1. 设X (x ) 满足方程X ''-λX =0和边界条件X ' (0) =X ' (l ) =0，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
解：可分为三种情况讨论：
1) λ>0 ，解为X (x ) =C 1e x +C 2e -x ，由边界条件只能得到平庸解
显然没有意义。 ----------------(3X (x ) =0，
分)
2) λ=0，解为X (x ) =C 1x +C 2，代入边界条件得C 1=0，于是
X (x ) =C 2, C 2为任意常数。 ----------------(2分)
3) λ
⎧-λC 2=0, ⎧C 2=0, ⇒ ⎨⎨⎩C 1sin -λl =0. ⎩-λ(-C 1sin -λl +C 2cos -λl ) =0.
a) 当 λ 的取值使得 sin -λl ≠0 时，必有 C 1=0 ，这和上两种情况一
样没有意义。
b) 当 λ 的取值使得 sin -l =0 时， C 1 不必为
零，这种是有意义的情况。此时由 sin -λl =0 得到本征值
λ:l =n πn 2π2
⇒λ=-2(n =1, 2, 3, ). l -λ
n 2π2
综合2）和3）两种情况得本征值λ=-2(n =0, 1, 2, 3, ). l
此时，本征解为X (x ) =C 1cos
分) n πx . ----------------(5l
1.
2. 已知复变量函数为解析函数，其实部
下面的条件，
(1) 试给出所满足的数学物理定解问题；
(2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解
(3) 根据求出虚部。 ；
3. 设X (x ) 满足方程X ''+λX =0和边界条件X '(0)=X '(2π) =0，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分)
解：(1) 由题意，对于常微分方程：
X ''(x ) +λX (x ) =0 (1) X '(0) (2) =X '(π2=) 0
现在先求解X ，对λ0三种情况进行讨论：
a) λ
X (x ) =C 1+C 2e
积分常数C 1，C 2，由(2)决定，即
C 1-C 2=
0，C 1e
由此得出C 1=0， C 2=0而X (x ) ≡0。无实际意义，即λ
b) λ=0，式(1)的解是
X (x ) =C 1x +C 2
则根据(2)式，有
C 1=0， X '(2π) =C 1=0
即C 2为任意数
此时X (x ) ≡C 2。（3分）
2-C 2e -2π=0
c) λ>0，由(1)解是
X (x ) =C 1+C 2
则由(2)式，有
=，0C 2=0，
C 1s i n 由此有
C 1=0且C 2=0 或者 C 2=
0和sin 2=0
因C 1=0， C 2=0时，X (x ) ≡0无实际意义。因此，只能有
s i n π=和0C 2=0
由sin 2π=0同时我们可以得到λ的表达式：
k 2
λ=, (k =1, 2 , 3 ) (3) 4
（4分）
k 2
对应的本征函数为： X (x ) =C 1cos x ,(k =1, 2,3 ) （1分） 4
4. 设X (x ) 满足方程X ''+λX =0和边界条件X ' (0) =X (π/2) =0，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
5. 设X (x ) 满足方程X ''+λX =0和边界条件X (0) =X (l ) =0，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ。 解：可分为三种情况讨论：
4) λ
C 1=-C 2，由X (l ) =0得C 1(e -x +C 2e --x ，由X (0) =0得+e -) =0，得C 1=-C 2=0，得到平庸解X (x ) =0，显然没有意义。 ----------------(3分)
5) λ=0，解为X (x ) =C 1x +C 2，代入边界条件得C 1=C 2=0，也得到平庸解X (x ) =0，没有意义。
----------------(2分)
6) λ>0，解为X (x ) =C 1cos x +C 2sin x . , 代入边界条件得
⎧C 1=0, ⎧C 1=0, ⇒ ⎨⎨C cos λl +C sin l =0. C sin λl =0. 2⎩1⎩2
a) 当 λ 的取值使得 sin λl ≠0 时，必有 C 2=0，这和上两种情况一样没有意义。
b) 当 λ 的取值使得 sin λl =0 时， C 2 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 sin l =0 得到本征值λ:
l =n πn 2π2
⇒λ=2(n =1, 2, 3, ). l λ
此时，本征解为X (x ) =C 2sin
n πx . l ----------------(5分)