因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法
一、二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x 2+(p +q ) x +pq =(x +p )(x +q ) 进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
2 例1、分解因式：x +5x +6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
2解：x +5x +6=x 2+(2+3) x +2⨯3
=(x +2)(x +3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例2、分解因式：x -7x +6
解：原式=x 2+[(-1) +(-6)]x +(-1)(-6) 1 -1
=(x -1)(x -6) （-1）+（-6）= -7
练习1、分解因式(1)x +14x +24 (2)a -15a +36 (3)x +4x -5
22练习2、分解因式(1)x +x -2 (2)y 2-2y -15 (3)x -10x -24
2二、二次项系数不为1的二次三项式——ax +bx +c
条件：（1）a =a 1a 2 a 1 c 1
（2）c =c 1c 2 a 2c 2
（3）b =a 1c 2+a 2c 1 b =a 1c 2+a 2c 1
分解结果：ax +bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)
例3、分解因式：3x -11x +10
分析： 1 （-6）+（-5）= -11
2解：3x -11x +10=(x -2)(3x -5)
练习7、分解因式：（1）5x +7x -6 （2）3x -7x +2
（3）10x -17x +3 （4）-6y +11y +10
三、二次项系数为1的齐次多项式 2222222222
b 例4、分解因式：a -8ab -128
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b+(-16b)= -8b
2b 2=a 2+[8b +(-16b )]a +8b ⨯(-16b ) 解：a -8ab -128
=(a +8b )(a -16b )
22练习3、分解因式(1)x -3xy +2y (2)m -6mn +8n (3)a -ab -6b
222222
四、二次项系数不为1的齐次多项式
例5、2x 2-7xy +6y 2 例10、x 2y 2-3xy +2
1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=(x -2y )(2x -3y ) 解：原式=(xy -1)(xy -2)
练习4、分解因式：（1）15x 2+7xy -4y 2 （2）a x -6ax +8
63综合练习（1）8x -7x -1 （2）12x 2-11xy -15y 2
22（3）(x +y ) -3(x +y ) -10 （4）(a +b ) -4a -4b +3
222222（5）x y -5x y -6x （6）m -4mn +4n -3m +6n +2
（7）x 2+4xy +4y 2-2x -4y -3 （8）5(a +b ) 2+23(a 2-b 2) -10(a -b ) 2
222（9）4x -4xy -6x +3y +y -10 （10）12(x +y ) +11(x 2-y 2) +2(x -y ) 2
2222思考：分解因式：abcx +(a b +c ) x +abc 22