对数的运算性质1
对数的运算性质
教学目的:
1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题;
3.掌握对数的换底公式,并能解决有关的化简、求值、证明问题 教学重点:教学难点:对数运算性质的证明方法.
授课类型:课时安排:1教学过程:
一、复习引入:
1.对数的定义 log a N =b 其中 a ∈(0, 1) (1, +∞) 与 N∈(0, +∞2
3. 重要公式:
⑴负数与零没有对数; ⑵log a 1=0,log a a =⑶对数恒等式a
log a N
=N a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈R )
3.指数运算法则 (a ) =a
m n
mn
(m , n ∈R )
(ab ) n =a n ⋅b n (n ∈R )
二、新授内容:
积、商、幂的对数运算法则:
如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:
log a (MN)=log a M +log a N (1)
M log a =log a M -log a N (2)
N
log a M n =nlog a M(n∈R) (3)
证明:①设log a M=p, log a 由对数的定义可以得:M=a ,N=a p q
∴MN= a a =a
p q p +q
∴log a MN=p+q,
即证得log a MN=log a M + log a ②设log a M=p,log a
由对数的定义可以得M=a ,N=a p q
M M a p
=p -=q =a p -q ∴log a ∴
N N a
即证得log a
M
=log a M -log a N N
③设log a M=P 由对数定义可以得M=a ,
np
∴M =a ∴log a M =np, 即证得log a M =nlog a M
n
n
n
p
说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”„„
②有时逆向运用公式:如log 105+log 102=log 1010=③真数的取值范围必须是(0, +∞) :
log 2(-3)(-5) =log 2(-3) +log 2(-5) log 10(-10) 2=2log 10(-10) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log a (MN ) ≠log a M ⋅log a N ,log a (M ±N ) ≠log a M ±log a N 三、讲授范例: 例1 计算
(1)log 525, (2)log 0. 41, (3)log 2(4×2), (4)lg 解:(1)log 525= log 5575
2
(2)log 0. 4(3)log 2(4×25)= log 24+ log 22
= log 22
(4)lg =练习计算: (1)lg14-2lg
2⨯7
775
+ log 22 = 2×5
12log102=lg10=557lg 243lg 27+lg 8-3lg +lg7-lg18 (2) (3) 3lg 9lg 1. 2
说明:此例题可讲练结合.
(1)解法一:lg14-2lg
7
+lg7-lg18 3
2
=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3×2) 解法二:
lg14-2lg
772
+lg7-lg18=lg14-lg() +lg7-lg18 33
=lg
14⨯7
=lg 1=72
() ⨯183
评述:此题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.
lg 243lg 355lg 3(2) ===2
lg 92lg 3lg 3
(3)
lg 27+lg 8-3lg =
lg 1. 2lg
10
132
3
12
3
(lg3+2lg 2-1)
==lg 3+2lg 2-1评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变
形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
例2
用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式:
xy
(1)loga ;
z
解:(1)log a (2)log a
(2) log a
xy
=log a (xy )-log a z=log a x+log a y- log a z z
x 2y
z
2
=log a (x
2
y ) -log a z
= log a x +log a 对数换底公式:
11
y -log a z =2log a x+log a y -log a z 23
log a N =
log m N
( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠log m a
证明:设 log a N = x , 则 a x
两边取以m 为底的对数:log m a x =log m N ⇒x log m a =log m N 从而得:x =
四、课堂练习:P60----练习
五、小结 下内容:换底公式及其推论
log m N ∴ log a N =log m a m 六、课后作业:P63练习题及P63习题2.3⑴
《对数运算》教案
哈一职 数学组 关旭