高二文科数学立体几何练习题

《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

数学立体几何练习题

一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1、设有直线m 、n 和平面α、β. 下列四个命题中，正确的是( )

A. 若m ∥α, n ∥α, 则m ∥n

B. 若m ⊂α, n ⊂α, m ∥β, n ∥β, 则α∥β C. 若α⊥β，m ⊂α, 则m ⊥β

D. 若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α, 则m ∥α

2、已知直线l , m 与平面α，β，γ满足β γ=l ，l //α，m ⊂α和m ⊥γ，则有

A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m //β C ．m //β且l ⊥m D ．α//β且α⊥γ

3. 若a =(0,1, -1)，b =(1,1,0)，且a +λb ⊥a ，则实数λ的值是（ ）

()

A .－1 B.0 C.1 D. －2

4、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） ．．．A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β

5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为

D. AC⊥β

(A )7+3 2, 3 (B )8+2，

(C )7+2 (D )8+2,

323 2

6、已知长方体的表面积是24cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）

B. 4cm

C.

D.

2

7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上

的点，A 1M ＝AN ＝

2a

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) 3

A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定

8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则 AED 的大小为（ ）

A. 45 B. 30 C. 60 D. 90

9．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 与平面PAB

所成的角的余弦值为（ ）

1 B

C

D

2

10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是

A ．

111 B 。 C 。 D

523

11．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ）

A ．

A ．

3 4

B ．

3 2

C ．

33

4

D ．3

12．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面

A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6

13. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 …………………………（ ） （A ）（0º，90º） （B ）[0º，90º] （C ）[0º，180º] （D ）[0º，180º] 14． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

15．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是

1112A ．V B．V C．V D．V

2343二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

1、平面的一条斜线和这个平面所成角的范围是 。

2、 ABC 所在平面外一点到三角形三顶点A , B , C 等距离，则P 在平面ABC 内的射影是

ABC 的

3、 ABC 所在平面外一点到三角形三边等距离，则P 在平面ABC 内的射影是 ABC

的 .

4、已知斜线的长是它在平面a 上射影的2倍，那么斜线与平面a 所成的角等于 5、已知四个不共面的点，在空间存在 个平面，使各个点到平面的距离相等。

一、选择题

1、两条异面直线所成的角（）

A 经过空间一点分别作两条异面直线的平行线，这个角叫两条直线所成的角

B 经过异面直线上的任意一点作另外一条直线的平行线，这样组成的角

C 进过空间一点分别作两条异面直线的平行线所组成的锐角（或直角）叫这两条异面直线所成的角

D 两条异面直线在同一个平面的射影的夹角

2、与同一条直线垂直相交的三条直线确定的平面个数为（） A 一个平面或两个平面 B 两个平面或三个平面

C 一个平面、两个平面或三个平面 D 一个平面、两个平面或不能确定平面

3、两条异面直线在同一个平面内的射影是（） A 两条相交直线 B两条平行直线 C 两条相交或平行直线 D以上均不对

4、一条直线和平面A 所成的角为30，则它和平面A 内的所有直线所成的角中，最大的角是（）

A 30 B 150 C 90 D 180

5、一条直线和垂直与它的两条直线确定平面的个数是（） A ．一个平面或两个平面 B. 两个平面或三个平面

C. 一个平面、两个平面或三个平面 D. 以上答案均不对

6、一个三棱锥如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（） A. 必然是直角三角形

B. 至多只能有一个是直角三角形 C. 至多只能有两个是直角三角形 D. 可能都是直角三角形 7、在下列四个命题中：

1、若直角三角形在平面内的射影仍是一个三角形，那么原来三角形的重心在平面内的射影是摄影三角形的重心

2、三个平面两两相交，这三条交线一定交于一点

3、一条直线上如果有三个点和一个平面距离相等，那么这条直线与那个平面平行

4、两两垂直的三个平面有一个公共顶点，另一平面与这三个平面相交的一三角形，则顶点在这个三角形的射影是外心；

正确的个数（）

A 1 B 2 C 3 D 4 8．(精选考题·海淀区期末) 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是( )

A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β

9、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点

的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ）

A ．90° B ．60°C ．45° D ．30°（04湖南5）

（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= 10.D

π3π

(B)

4

(A)

46

(D)arcsin （04浙江10）

4

(C)arcsin

11. 设 m, n 是两条不同的直线, α, β, r 是三个不同的平面. 给出下列四 个命题:

①若m ⊥α,n∥α,则m ⊥n; ② 若α∥β, β∥r, m⊥α,则m ⊥r; ③ 若m ∥α,n∥α,则m ∥n; ④ 若α⊥r, β⊥r, 则α∥β. 其中正确命题的序号是

(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④（04北京3）

12. 【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）

A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C

二、填空题

1、空间四点无三点共线，可确定 2、三个平面两两相交，可将空间分成

3、四面体ABCD 中，AB,AD,AC 两两垂直，三角形ABC 、ABD 、

ACD 的面积分别为S 1, S 2, S 3, 则三角形BCD 的面积为

4、已知平面α, β和直线m ，给出条件：①m //α；②m ⊥α；③m ⊂α；

④α⊥β；⑤α//β. （i ）当满足条件 时，有m //β；（ii ）当满足条件 时，

有m ⊥β. （湖南05）

5、如图，在三棱锥P —ABC 中，

PA=PB=PC=BC， 且∠BAC =，则PA 与底面ABC 所

2

π

成角

为 . （05江西15）

三、证明题

1、已知直线a //b ，a ，b 与平面M 斜交，a ⊂α ，b ⊂β 且a ⊥平面M ，b ⊥平面M ，求证：α//β 。

2、如图，四棱锥P —ABCD 中, 底面ABCD 为矩形,AB=8，AD=43, 侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60° （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. （04甘肃21）

3（本小题满分12分）

三棱锥P —ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA=PB=PC=3. (1) 求证AB ⊥BC ； (2) 如果AB=BC=2，求侧面PBC 与侧面PAC 所成

二面角的大小. 4（04广西21） A

C

B

4（04年）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。 （Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM ⊥平面BDF ；

（Ⅲ）求二面角A -DF -B 的大小。

1

5．（05年）如图, 在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB =BC =PA ，点O 、D

2

P

分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC 。 （Ⅰ）求证OD ∥平面PAB ；

D （Ⅱ）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小。

C

6. 【2012 】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

AD ∥BC ，AD ⊥AB ，

AD=2，BC=4,AA1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E

与直线AA 1的交点。 （1）证明：（i ）EF ∥A 1D 1； （ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ；

（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值。

1本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力. 满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.

作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，

所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积

V P —ABCD =1⨯8⨯43⨯33=96.

（Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系. 通过计算可得

P （0，0，3），A （2，－3，0），B （23，5，0），D （－2，－3，0）

所以=(2, -3, -3), =(-43, -8, 0). 因为⋅=-24+24+0=0, 所以PA ⊥BD. 解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F. 能过计算可得EO=3，AE=2，

又知AD=43，AB=8，

得

EO AD

=. AE AB

3

所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.

所以∠EAO+∠ADF=90°

所以 AF ⊥BD.

因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.

2本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想 象能力. 满分12分.

（1）证明：如果，取AC 中点D ，连结PD

、 因为PA=PC，所以PD ⊥AC ，

A C D 又已知面PAC ⊥面ABC ，

所以PD ⊥面ABC ，D 为垂足. B 因为PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC，可知AC 为△ABC 外接圆直径， 因此AB ⊥BC.

（2）解：因为AB=BC，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC. 又面PAC ⊥面ABC ，

所以BD ⊥平面PAC ，D 为垂足. 作BE ⊥PC 于E ，连结DE ，

因为DE 为BE 在平面PAC 内的射影，

所以DE ⊥PC ，∠BED 为所求二面角的平面角. 在Rt △ABC 中，AB=BC=23，所以BD=6. 在Rt △PDC 中，PC=3，DC=6，PD=3， 所以DE =

PD ⋅DC 3⨯6

==2. PC 3

62

=3，

因此，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =

∠BED =60︒，

所以侧面PBC 与侧面PAC 所成的二面角为60°.

12【答案】

【解析】（1）（i ）因为C 1B 1//A 1D 1，C 1B 1⊄ 平面ADD 1 A1，所以C 1B 1//平面ADD 1 A1. 又因为平面B 1C 1EF 平面ADD 1 A1=EF ，所以C 1B 1//EF . 所以A 1D 1//EF . （ii ）

因为BB 1⊥A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1，

又因为BB 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥ABB 1A 1，

在矩形ABB 1A 1中，F 是AA

的中点，即tan ∠A 1B 1F =tan ∠AA 1B =

. 即 2

∠A 1B 1F =∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F .

所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .

(2) 设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H .

由（1）知B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角. 在矩形ABB 1A 1中，

AB =AA 1=

2，得BH =

BHC 1中，BC 1=

BH =，得

sin ∠BC 1H =

BH =，所以BC 与平面B 1C 1EF

所成角的正弦值是

BC 115