金融工程随机过程

一个随机过程就是随机变量按时间编排的集合。

一. 平稳随机过程

若一个随机过程的均值和方差在时间过程上保持常数，并且在任何粮食其之间的协方差仅依赖于改良时期之间的距离或滞后而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平稳随机过程。

在时间序列文献中，这种随机过程被称为弱平稳，协方差平稳，二阶平稳或广义随机过程。令随机时间序列Y t 有如下性质：

均值：E （Y t ）=µ

方差：Var （Y t ）=E(Y t −µ) 2=δ2

协方差：R k =E[（Y t -µ）（Y t +K -µ）]

R k 即滞后k 的协方差[或自（身）协方差]，是Y t 和Y t +K ，也就是相隔k 期的两个Y 值之间的协方差。

假如把Y 的原点从Y t 移到Y t +m ，若Y t 平稳，则Y t +m 的均值，方差和自协方差必须和Y t 的一样。即一个时间序列是平稳的，则它的均值，方差和（各种滞后的）自协方差都保持不变。对一个非平稳时间序列，它要么均值随时间而变化，要么方差随时间而变化，或二者同时发生变化。

若一个随机过程的均值为0，不变方差为σ2，而且不存在序列相关，那么称之为纯随机或白噪音（white noise ）过程。若它还是独立的，称为严格白噪音。

二，非平稳随机过程

经典的例子是随机步游模型（yandom walk mode,RWM ）. 通常认为股票价格和汇率之类的资产价格服从随机步游，即是非平稳的。随机步游一般分为两类，即不带漂移的和带漂移的。

（一）不带漂移的随机步游

假设u t 是均值为0和方差为σ2的白噪音误差项，若:

Y t =Y t −1+u t ，（1）

则称Y t 序列为随机步游，它实际是一个AR （1）模型。

有效资本市场假设者认为，股票价格本质上是随机的，因此股市不存在有利可图的投机空间；如果一个人能基于股票今天的价格预测明天的价格，那我们早就都是百万富翁了。根据（1）式，有：

Y 1=Y 0+u 1，

Y 2=Y 1+u 2=Y 0+u 1+u 2，

Y 3=Y 2+u 3=Y 0+u 1+u 2+u 3，

Y t =Y 0+∑u t

从而，有：

E （Y t ）=E（Y 0+∑u

2t ）=Y 0+∑(Eu ) =Y t 0根据方差的定义，有：Var （Y t ）=E（Y t ）-（E Y t ）2，

其中，E （Y t 2）=E[Y 0+

=EY 02+2Y 0E （

=EY 02+E[（

（∑u t ]2=E[Y 02+2Y 02∑u +（∑u t t ）2]∑u t ）+E[（∑u t ）t ]）2]∑u ）2]=Y 02+E[（∑u t ∑u t ）2=Y 02，

故Var （Y t ）=E[（∑u t ）2]

=E[（u 1+u 2+…ut ）2]

=Eu 12+Eu 22+…+Eut 2+E（u 1u 2…）+……

=E u 12+Eu 22+…+Eu2

t ，

2Var （u t ）=E（u t -Eu

Var （Y t ）=tσ2。t ）2=E（u t ）=σ2，

可以看出，Y 的均值等于其初始或其始值，但随着t 的增加，其方差无限增大，违背了平稳性的条件，因此它是非平稳随机过程。

RWM 的一个有趣的特征是，随机冲击（即随机误差项）的持久性，根据Y t =Y 0+∑u t ，Y t 等于初始的Y 0，加上各期随机冲击项之和。因此，一个特定的冲击永远也不会消失。例如，若u 2=4，则从Y 2开始所有的Y t 都将提高4个单位。因此随机游走具有无限记忆，即永远记住每次冲击。

另根据Y t -Y t −1=∆Y t =u t ，虽然Y t 非平稳，但一阶差分是平稳的。

（二）带漂移的随机步游

Y t =δ+Y t −1+u t , 其中σ被称为漂移参数（drift

Y t -Y t −1=∆Y t =σ+u t ，parameter ）

t 可以证明，E （Y t ）=Y 0+tσ

Var （Y t ）=t σ2

可见，带漂移的RWM 的均值和方差都随着时间而递增，为非平稳序列。

（三）单位根随机过程

Y t =ρY t −1+u t ，—1≤ρ≤1，

若ρ=1，则面临着单位根问题，即非平稳情况，单位根的名称正式源于ρ=1这个事实。因此，非平稳性，随机步游和单位根这三个术语可看成是同义词。

但若|ρ|≤1，则可以证明，时间序列Y t 在所定义的意义上是平稳的。

假定Y 的初始值（=Y 0）为0，|ρ|

Var （Y t ）=1/（1-ρ2）。由于它们都是常数，根据弱平稳性定义，Y t 就是平稳的。

（四）去世平稳和差分平稳随机过程

大致说来，若一个时间序的趋势完全可以预测而且不变，则称之为确定性趋势。若不能预测，则称之为随机性预测。

考虑模型：

Y t =β1+β2t +β3Y t −1+u t

纯随机步游：β1=β2=0, β3=1

Y t =Y t −1+u t ，

∆Y t =u t ，差分平稳（DSP,difference statronary process ）

2. 带漂移的随机步游：β1≠0，β2=0，β3=1

Y t =β1+Y t −1+u t

Y t -Y t −1=∆Y t =β1+u t ，

这意味着Y t 将表现出一个正的（β1>0）或负的（β1

3. 确定性趋势：β1≠0，β2≠0，β3=0，

Y t =β1+β2t+u t ，

它为趋势平稳过程。因为Y t 的均值（β1+β2t ）不是常数，但其方差（=σ2）是常数。一

12t 名趋势平稳。这种去除确定性趋势的过程称为除趋势。（detrending ）

4. 带漂移和确定性趋势的随机步游：

β1≠0，β2≠0，β3=1，

Y t =β1+β2t+Y t −1+u t ，

即同时带有漂移和确定性趋势。

∆Y t =β1+β2t+u t ，

5. 含平稳AR （1）成分的确定性趋势：

β1≠0，β2≠0，β3

Y t =β1+β2t+Y t −1+β3Y t −1+u t

它在确定性趋势周围是平稳的。

布朗运动

一、随机步游与布朗运动

考虑在一直线上的简单的，对成的随机游动。设质点每经过∆t 时间，随即地以概率P=1/2向右移∆x >0，以概率q=1/2向右移动一个∆x ，且每次移动相互独立，记：

X i =X i ={1, 第i 次质点向右移动

−1第i 次质点向左移动

若X （t ）表示t 时刻质点的位置，则有：

X （t ）=∆X （X 1+X2+…+X[t/∆t]）

其中[s]为不超过s 的最大整数。

显然EX i =0，D X i =EX i 2=1，故有：

E X （t ）=∆X.E （X 1+X2+…+X[t/∆t]）=0；

D X （t ）=E[X（t ）]2-[EX （t ）]2=E[X（t ）]2

=E[（∆X ）2（X 1+X2+…+X（t/∆t ）]2

=（∆X ）2E[X12+X 2

=（∆X ）2[t/∆t]

以上简单随机游动可作为微小粒子在直线上作不规则运动的近况。实际粒子的不规则运动时连续进行的，为此考虑∆t →0的极限情况。由物理实验得知，当∆t 越小，每次移动∆X 也越小，通常有∆t →0，∆X →0，且在许多情况下，由∇X=C∆t （C >0为常数）。2+…+（X （t/∆t ））2+…+X 1X 2…]

因此，下面先假定在∆X=C ∆t 的条件下，推出其极限情形。

显然，当∆t →0，EX （t ）=0，而lim lim DX (t ) =(∆X ) 2[t/∆t]∆t →0∆t →0

lim =C 2. ∆t [t/∆t]=C2t ∆t →0

另一方面，X （t ）=（X 1+X2+…+X[t/∆t]）可看作是独立同分布的随机变量之和，因而它是独立增量过程，即X （t ）看作是由许多微小的相互独立的随机变量X （t i ) −X (i −1) 组成之和。故当∆t →0时，由中心极限定理可知，X （t ）经标准化以后，它的分布区向标准正态分布，即对∀x ∈R ，t >0，Φ(x ) 为标准正态函数，有：

∑lim p {i =0≤x }=Φ(x ), ∆t →0c 2t

等价于：[t /∆t ]

lim x (t ) p {≤x }=Φ(x ) =2∆t →0c t

故X （t ）趋向正态分布，即：12π−u ∫−∞e x 2/2du

∆t →0时，X （t ）↓N (0, c 2t

有了上述由简单随机游动的极限来描述的质点在一维直线上作不规则运动的直观数学描述，就可以引出以下的定义。

定义，若一个随机过程{X（t ），t ≥0}满足

1.X （t ）是独立增量过程；

2. ∀s , t >0，X （t+s）-X （s ）∼N （0，c 2t ),

即X （t+s）-X （s ）是期望为0，方差为c 2t 的正态分布。

3.X （t ）关于t 是连续函数。

则称{X (t ), t ≥0}是布朗运动或维的过程。

当c=1，称{X (t ), t ≥0}为标准布朗运动，此时若X （0）=0，X （t ）∼N （0，t ）对于标准布朗运动，证之为，

{B (t ), t ≥0}，它在t 时刻的概率密度函数为；

f t (x ) =x 1e 2t

2πt 2

对于标准的不浪运动，X （t+s）-X （s ）∼N （0，t ），说明一个维内过程的方差是随时间间隔的长度线性增加的。

二，带有飘逸的布朗运动

设{B（t ），t ≥0}为布朗运动，证

X （t ）=B（t ）+µt , µ为常数，称{X（t ），t ≥0}是带有漂移系数为µ的布朗运动。

带有飘逸的布朗运动的背景是一个质点在直线上作非对成的随机游动，它具有一定的趋向，于不规则微观运动中又有一定的宏观规则运动存在，如分子想扩散，电子不规则运动等，确切叙述如下：

一质点在直线上每经∆t 随机地移动∆x ，每次向右移∆x 的概率为p ，向左移∆x 的概率为q ，且每次移动相互独立，以x （t ）表示t 时刻质点位置，令：

X i ={1, 第i 次质点向右移动

−1第i 次质点向左移动

则x （t ）=∆X （X 1+X2+…+X[t/∆t]）

设∆X=∆t , p=（1+µ∆t ）/2，Q=（1-µ∆t ）/2，对给定的µ，取充分小的∆t ，使µ∆t

2t →µT

D [X (t )]=(∆x ) [][X I 2−(EX I ) 2]∆t

t =(∆t ) 2[1−(p −q ) 2]∆t

t =∆t [1−(2p −1) 2]∆t

→t (∆t →0)

D [X (t )]=(∆x ) 2[DX 1+DX 2+... +DX

t DX i ]∆t

t =(∆x ) 2[EX i 2−(EX i ) 2]∆t =(∆x ) 2[[t ]∆t )

所以X （t ）∼N （µt , t ) ，可见它和{B（t ），t ≥0}都是正态过程，只是均值不为零。这是由其不对称引起的，µ表示单位时间内质点漂移的平均值。

将带漂移的的布朗运动写成微分形式，得：

dx(t)=dB（t ）+µdt ，即质点t 时刻位移的增量分解为随机增量与确定性增量之和。一般地，有如下推广：

dx(t)=δdB (t ) +µdt ,

若扩散系数δ与漂移系数µ不是常数，而是t 与x （t ）的函数，那有如下的随机微分方程：dx (t ) =δ(t , x (t )) dB (t ) +µ(t , x (t )) dt

三、几何布朗运动

1. 证：

E (x k ) =∫+∞

−∞x k dF x (x ), (k ≥1)

称E (x k ) 为随机变量x 的k 阶距。

2. 距母函数

随机变量x 是分布函数为F x (x ) ，称

φx (t ) =E (e tx ) =∫+∞

−∞e tx dF x (x )

为x 的距母函数。

逐次求φ(t ) 在0点的导数，得到x 的各阶距，即：

φ' (t ) =E [Xe tx ]

φ" (t ) =E [X 2e tx ]

φ(n ) (t ) =E [X n e tx ]

令t=0.可得到X 的k 阶距：

E [X k ]=φk (0)

3. 几何布朗运动

令W (t ) =e B (t ) ，则称{W（t ），t≥0}为几何布朗运动。

几何布朗运动有时可作为相对变化为独立同分布情况的模型，例如，设Y (n ) 是n 时刻商品的价格，Y n

Y (n −1)

n =X (n ) (n ≥1) 是独立同分布的，如取Y (0) =1, Y (n ) =X (1) X (2) ... X (n ) ，故

In Y (n ) =∑Ιn (X

i =1(i ) ), 则当n →∞时，根据中心极限定理可知，{In Y (n ) , n ≥1}渐近为布朗

运动，于是{Y (n ) , n ≥0}就近似为布朗运动。

取B（t）的距母函数φ(s ) =E [e sB (t ) ]，

则：

φ(s ) =E [e sB (t ) ]=

ts 2∫+∞−∞e sx 1−x 2/2t e dx πt

=e 2

相应地，

t

E [W (t )]=E (e B (t ) ) =φ(1) =e 2, D (W (t )) =E [W 2(T )]−[E (W (t ))]2=E (e 2B (t ) ) −e t

=φ(2) −e t =e 2t −e t

这样就得到了几何布朗运动的一阶距和二阶距。

4. 布朗运动的积分

t 令S (t ) =s 0B (u ) du ，称{s（t ），t≥0}满足E [X (t )]＜∞, D [x (t )]＜∞，则有：

t t E [∫X (s ) ds =∫E [X (s )]ds , 00

∫

=∫∫0E [∫

0s t 0X (v ) X (u ) dudv ]E [X (v ) X (u ) dudv s t 0

例，股票期权的价值

在金融市场中，人们经常假定股票的价格按照几何布朗运动变化。设某人拥有某种股票的交割时刻，交割价格为K 的欧式看涨期权。假设这种股票目前价格为Y ，并按照几何布朗运动变化，试计算拥有这个期权的平均价值。

设X （T ）表示时刻T 的股票价格，若X （T ）高于K 时，期权将被实施，因此该期权在时刻T 的平均价值为：

E [max(X (T ) −K , 0)]=∫

=

=

=∞0P {X (T ) −K >u }du ∫∫∞0∞p {ye β(T ) −K >u }du p {B (T ) >log k +u du y −x 201

2πt ∫∫0∞∞k +u

y e T dxdu

四、布朗运动的随机积分

1. δ代数（δ域，事件域）

由于并不是在所有的样本空间Ω上的子集都能方便地定义概率，一般只限制在们满足一定条件的集类上研究概率性质，为此引入δ域的概率。

一个试验（或观察），若它的结果无法预先确定，称为随机试验。所有试验的可能结果组成的集合，称为样本空间，证作Ω。Ω中的元素称为样本点，用W 表示，由Ω的某些样本点构成的子集合，常用A、B、C等表示。由Ω中的若干子集构成的集合称为集类，用花写字母F 等表示。

定义：设Ω是基本事件空间，F 是由Ω的一些子集为元素所组成的集合，若满足下列条件：

（1）Ω∈F;

(2)若A ∈F ，则A ∈F ；即A =Ω−A ;

(3)若A n ∈F , n =1, 2,..., 则U A n ∈F n =1∞−−

则称F 为δ代数（δ域），称（Ω，F ）为可测空间。

容易验证，若F 为δ域，则F 对可列次交、并、差、等运算封闭，即F 中的任何运算经可列次运算后仍属于F 。

概率的公理化定义的基本思想是把随机事件看做集合，从而事件的和、积、对立及差等运算分别对应集合并、交、求全和差等集合运算，而把概率定义为集合的测度，从而把概率论建立在测度论的基础之上，也使得所有的讨论都在概率空间的框架之下来进行。相应于随机试验，随机事件和概率等三个直观概念的分别是基本事件Ω（或称样本空间），事件域F （或事件δ代数）和概率测度P 。

2. 黎曼—斯蒂尔切斯积分

设F （x ）为（−∞, +∞) 上的单调不减右连续函数，g （x ）为（−∞, +∞) 上的单值实函数，∀a

定义，任取分点a=x 0

令λ=max ∆x i =max(x i −x i −1) 若极限1≤i ≤n

J （a ，b ）=lim

则证：

J （a ，b ）=a →0∑i =1n g (u i ) ∆F (x i ) 存在，∫b

a g (x ) dF (x ) 或（∫g (x ) F (dx ) ）a b