勾股定理易错题

错题

一、折叠

1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为___________cm。

2、如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处，已知AC=6，∠B=30°，则DE 的长是___________。

3、如图，Rt △ABC 中，AB=9,BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为___________。

4、如图，长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，设点D 落在D ’处，BC 交AD ’于点E ，AB=6cm，BC=8cm，求阴影部分的面积。

5、如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ’处，BC ’交AD 于E ，AD=8,AB=4，则DE 的长为

___________.

6、如图，长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为

____________.

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出BD 的长吗？

8、如图，在Rt △ABC 中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为

__________.

9、已知已知直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4。如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D 。若折叠后点B 与点A 重合，求点C 的坐标。

10、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，分别交AC 、AB 于D 、E 两点。若BD=2，则AB 的长是

___________.

11、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ’重合，AE 为折痕，则EB ’

=__________.

12、如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点

A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC 边上取一点D

，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在

BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标．

13、如图，在三角形纸片ABC 中，BC=3,AB=6,∠BCA=90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合， 则DE 的长度为____________.

勾股定理的逆定理与面积

1、如图，在△ABC 中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC 的面积。

2、如图，四边形ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD 的面积为__________.

3、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD ⊥DC ，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。

4、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求：四边形ABCD 的面积。

5、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上的高是__________。

三、实际运用

1、小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为__________米。

2、如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm 和10cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外的最短长度是______________cm。

3、一个圆柱形玻璃杯的内径（直径）是5cm ，内高是12cm ，杯中灌满水，把一根长20cm 的木筷插入杯中，露出水面的长度最短是____________.

4、将一根长24cm 的筷子，置于底面半径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h 的取值范围为__________________.

5、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D 处后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高

__________.

6、丁、胡、沈：如图是油路管道的一部分，眼神到外围的支路恰好构成一个直角三角形，两条直角边长分别为6 m、8 m。按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是__________m。

7、如图，学校内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了___________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。

8、如图，小雨和她的同学荡秋千，秋千在平衡位置时，下端B ’离地面0.6米，当秋千荡到AB 的位置时，下端B 距平衡位置的水平距离EB 为2.4米。求秋千AB ’的长。

9、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH 的边长为2米，坡脚∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE=_________米时，DC 2=AE 2+BC 2。

四、命题

1、两个命题的题设和结论正好相反，这样的命题叫做_______________，如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________命题。

2、下列各命题的逆命题不成立的是（ ）

A 两直线平行，同旁内角互补 B 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等

C 对顶角相等 D 如果a =b ，那么a=b

6、下列命题：① 若2211=，则a=b；② 若a 2=b 2，则丨a 丨=丨b 丨；③ 两个锐角的和a b

是锐角；④ 同角或等角的补角相等。其中逆命题正确的个数是____________个。

勾股数

3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；

（4）4，5，6. 其中能构成直角三角形的有_________组。

4、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的_______倍。

5、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中

正确的是（ ）

六、三角形的判断问题

1、若△ABC 的三边a ，b ，c ，满足(a -b )(a 2+b 2-c 2) =0，则△ABC 是（ ）

A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形

D 等于直角三角形

2、△ABC 中，如果(a -b )(a +b ) =c 2，则△ABC 是________三角形，且∠______=90°。

3、在△ABC 中，若a=2，b=6，c=2，则△ABC 是___________三角形。

4、若△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足（a-b ）则△ABC 是（ ） (a 2+b 2-c 2) =0，

A 等腰三角形 B 直角三角形

C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形

七、勾股定理解直角三角形

1、直角三角形的周长为12cm ，斜边长为5cm ，其面积为____________。

2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt △ABC 的面积是____________。

八、台风、拱桥、噪声

1、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所学校，AP=160，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，已知拖拉机的速度是18km/h，那么学校受影响的时间是多少？

2、一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门？说明理由。

3、如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以7千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。

（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

（2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

4、有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米。

（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由；

（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

5、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线L ，过点B 作一直线（在山的旁边经过），与L 相交于D 点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L 上距离D 点多远的C 处开挖？（2 ≈1.414，精确到1米）

6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A 正南240千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；

（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（

3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

九、勾股证明

1、如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt △ABC 中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6

的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是___________。

2、如图分别以△ABC 三边a 、b 、c 为边向外作正方形，正三角形，为直径作半

圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC 是直角三角形吗？

3、刘、沈、丁：如图，以Rt △ABC

的三边为斜边分别向外作等于直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为___________.

4、胡、刘、沈、丁：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则

S1+S2=___________.

5、如图，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰直角三角形OA1A2，以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，... ，则OA4的长度为

___________.

6、刘、胡、沈：一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下至AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，AC ，AC ’。设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明a +b =c 。

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7、丁、胡、沈、刘：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）。如图2由弦图变化得到，它是八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 和正方形MNKT 的面积分别为S1、S2和S3。若S1+S2+S3=10，则S2=___________.

十、最短路径

1、如图，在△ABC 中，点P 在边AC 上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为

__________.

2、胡、丁：如图，圆柱底面的周长为4 dm ，圆柱高为2 dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最短为____________dm。

3、胡、沈、丁：如图，有一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处沿油罐侧面爬行到对面B 处偷油吃，则它爬行的最短路程为多少？

4、如图，长方体的长、宽、高分别为3cm 、1cm 、6cm 。如果一只小虫从点A 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B ，那么这只小虫所爬行的最短

路程为

_________cm.

5、如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点A 到点B 只能沿图中的线段走，那么从点A 到点B 的最短距离的走法共有______种。

6、如图，一个牧童在小河的正南方向4 km 的A 处牧马，此时他正位于小屋B 的正北方向7 km 、正西方向8 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回到小屋。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

7、刘、胡、沈：如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm ，底面周长为18 cm ，在杯内离杯底4 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在玻璃杯的外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A 处，求蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离。

十一、分类讨论

1、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为___________________.

2、某园艺公司对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边分别为6m ，8m 。现要将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩建后等腰三角形花圃的周长。

3、在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC= 。

十二、几何大题

1、刘、沈：如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，点F 为BC 的中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE=∠CBE 。

（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；

（2）求证：BG -GE =EA 。

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2、如图，在△ABC 中，AC=3，AB=5，边BC 上的中线AD=2，延长AD 到点E ，使DE=AD，连接BE 。

（1）求证：BE ⊥AE ；

（2）求BC 的长。

3、胡、刘、丁：如图，在△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，点D 在BC 上，且∠CAD=90°。求BD 的长。

4、

沈、刘、丁：如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC=1km，B 村到公路l 的距离BD=2km，B 村在A 村的南偏东45°方向上．

（1）求出A ，B 两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在CD 的中点处新建一个公共汽车站比较车站到两村距离

5、丁、胡、沈、刘如

图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，且A （4,0），点B 在y 轴上，且B （0,4）

（1）求线段AB 的长

（2）若点E 在线段AB 上，OE ⊥OF ，且OE=OF，求AE+AF的值

（3）在（2） 的条件下，过点O 作OM ⊥EF ，交AB 于点M ，试确定线段BE 、EM 、AM 的数量关系，并证明你的结论。

平行四边形

1、由等腰三角形底边上任一点（端点除外）作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 （ ）

A 、周长 B 、一腰的长 C 、周长的一半 D 、两腰的和

2、如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若在AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，求ABCD 的面积

3、如图，在ABCD 中，2AB=BC，M 为AB 的中点，求证：AM ⊥DM

4、如图，在ABCD 中，M 、N 分别在AD 、BC 上，E 、F 在对角线上，且AM=CN，BE=DF，则MF 与NE 有怎样的位置关系？并说明理由。

5、已知：ABCD 中，E 、F 分别是BA 、DC 上的点，且AE ∥CF ，交BC 、AD 于点G 、H ，试说明EG=FH。

6、沈、胡、刘：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=4,∠ABC=60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，且与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是

______________.

7、如图，以平行四边形ABCD 的两邻边BC 、CD 为边分别向外作等边三角形BCE 和等边三角形CDF ，连接PF 、AE 、AF ，试判断△AEF 的形状并证明你的结论。

8、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最短是

_________.

9、如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ：∠BCD=1：3，BC=4，BD 、AC 相交于点O ，且CO ⊥BC ，求CD 、BD 的长及平行四边形ABCD 的面积。

10、丁：（1）如图①，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别交AD 、BC 于点E 、F 。求证：AE=CF；

（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A1处，点B 落在点B1处，设FB1交CD 于点G ，A1B1分别交CD 、DE 于点H 、I ，求证：EI=FG。