2.4 二次函数的应用(教案)
2.4 二次函数的应用
一、教学目标:
1、会列二次函数关系式,能计算二次函数最大(小)值;
2、能够应用二次函数解决面积中的最大值问题;
3、体会函数思想、方程思想、数形结合的思想;
二、教学重、难点:
教学重点:建立几何形的面积与线段间的二次函数关系式;
教学难点:列二次函数关系式;
三、教学方法:启发式、精讲多练;
四、学法指导:分析和表示在不同条件下的二次函数关系式
五、教学过程:
1、直角三角形内接矩形面积的最值问题:
例1 . 在Rt ∆ABC 中,内部做一个矩形DFCE, 其中CE 和CF 分别在两个直角边上,思考: (1)设矩形的一边CF=x m, 那么CE 边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为y m²,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少?
四边形CEDF 是矩形,∴DE =CF =x ,
DE //BC , ∴∠AED =∠C , ∠ADE =∠B ,
解: ∴∆ADE ∽∆ABC ,
∴DE AE x AE 3=,即=, 解得AE =x , BC AC 864
3x ; 4
332 ∴y =CF ⋅CE =x (6-x ) =-x +6x (0
3232 (2) y =-x +6x =-(x -4) +12; 44
3 a =-
变式练习1:
思考:若矩形是直角三角形斜边上的内接矩形,而其它条件不变,它的结果还一样吗?
归纳:求直角三角形内接矩形最大面积问题的基本思路:
2、图形中的动点问题:
例2、如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm ,BC=12cm,点P 从A 点出发,沿AB 边向B 点以1cm/s的速度移动,同时点Q 从点B 出发,以2cm/s的速度沿BC 边向点C 移动,点P 、Q分别到达B、C两点就停止移动;
则当△PQB 的面积最大时,所用时间是多少
解:由题意得:t 秒后,AP =t , BQ =2t ; 则BP =6-t ;
∴S ∆PBQ =(6-t ) 2t =-(t -3) 2+9(0
a =-1
∴t =3时,S 取最大值,S 最大值=9 12
变式练习2:
∠B BC 如下图,在 ∆ ABC 中, = 90 ︒, AB = 22 cm , = 20 cm , 点P 从点A 开始,沿着AB
2cm 边向点B 以 /s 的速度移动,点Q 从点B 到开始,沿着BC 边向点C 以 1 cm / s 的
速度移动,P 、Q 分别从A 、B 同时出发。
2y (cm S ) 的函数关系式以及自变量(1)求四边形APQC 的面积 ) 与P 、Q 运动时间 x (
x 的取值范围;
(2)求四边形APQC 的面积的最小值,并求出此时x 的值;
3、最大采光方案的制定:
思考题: 如图所示,某建筑物的窗户如图所示,上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料长度总长15米,当x 取值多少时,窗户通过的光线最多(采光面积最大)?
解: 4y +7x +πx =15,∴y =15-7x -πx 4
∴S =πx 2
2+2xy =πx 2
2+2x ⋅15-7x -πx 715=-x 2+x 422
a =-7
∴当x =-b 7. 515=-=时,S 取最大值 2a 2⨯(-3. 5) 14
S 最大值4ac -b 27. 5256. 25==-=≈4. 02 4a 4⨯(-3. 5) 14
4、课堂练习:
2y =-(x -2) (1)若两个图形重叠后,重叠部分的面积 y 可以用解析式表示 + 3 ,若
要让重叠部分的面积最大,则x 的值为( );
AB (2)幼儿园计划用20m 的围栏靠墙围成一个矩形小花园,设 = x (m) ,矩形的
面积 2) ; S (m
2S (m(1)请写出 ) 与 x (m) 之间的函数表达式;
(2)当x 为多少时,S 的值最大?
六、课堂小结:
1、解决最值问题,列出对应的二次函数关系式是关键,同时注意自变量取值范围;
2、基本思路:(1)建立二次函数模型;
(2)由图形面积公式得到对应二次函数表达式;
(3)依据二次函数知识点求出最值。
七、作业:
1、《全品》作业手册:课时作业(十五);
2、《学业测评》31页;
教师反思: 导师评语: