勾股定理.平方根专题知识点整理
勾股定理、平方根专题知识点整理
第一节 勾股定理
一、勾股定理:
1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么
a 2+b 2=c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B
弦c
A
a 勾
b 股
C
勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个
三角形是直角三角形。
2. 勾股数:满足a +b =c 的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么
ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。)
*附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13
3. 判断直角三角形:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a +b=c,那么这个三角形是直角
三角形。(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)
其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为c );
2
2
2
2
2
2
(2)若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形;
若a 2+b 2<c 2,则此三角形为钝角三角形(其中c 为最大边); 若a 2+b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中c 为最大边)
4. 注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的
一半。
(3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角
等于30°。
5. 勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3)用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理,作出长为n 的线段
二、平方根:(11——19的平方)
1、平方根定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。(也称为二次方
根),也就是说如果x =a,那么x 就叫做a 的平方根。
2、平方根的性质:
①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
一个正数a 的正的平方根,记作“a ”,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“—a ”,这两个平方根合起来记作“±a ”。( a叫被开方数, “亦可写成“”)
②0只有一个平方根,就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。
3、 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算。 4、(1) 平方根是它本身的数是零。
(2)算术平方根是它本身的数是0和1。
2
”是二次根号,这里
“”,
(3)(a )=a (a ≥0), a 2=a (a ≥0), a 2=-a (a
2
(4)一个数的两个平方根之和为0
三、立方根:(1——9的立方)
1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根。(也称为二次
3
方根),也就是说如果x =a,那么x 就叫做a 的立方根。记作“a ”。
3
2、立方根的性质:
①任何数都有立方根,并且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
3
②互为相反数的数的立方根也互为相反数,即-a =-
3
a
③(a ) =
3a
3
=a
3、开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方
的运算结果是立方根。
4、立方根是它本身的数是1,0,-1。 5、平方根和立方根的区别:
(1)被开方数的取值范围不同:在±a 中,a ≥0,在a 中,a 可以为任意数值。
(2)正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个;负数没有平方根,而它有一个立方根。
6、立方根和平方根:
不同点:
(1)任何数都有立方根,正数和0有平方根,负数没有平方根;即被开方数的取值范围
不同:±a 中的被开方数a 是非负数;a 中的被开方数可以是任何数.
(2)正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根;
(3)立方根等于本身的数有0、1、—1,平方根等于本身的数只有0. 共同点:0的立方根和平方根都是0.
四、实数:
1、定义:有理数和无理数统称为实数
无理数:无限不循环小数称(包括所有开方开不尽的数,∏)。 有理数:有限小数或无限循环小数
注意:分数都是有理数,因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式 2、实数的分类:
⎧⎧正有理数⎫⎪⎪⎪⎪⎪有理数⎨零⎬有限小数或无限循环小数⎪⎪⎪⎪
负有理数实数⎨⎪⎩⎭
⎪
⎧⎪⎪正无理数⎫⎪
无理数⎨⎬无限不循环小数⎪
⎪⎪⎩负无理数⎪⎭⎩
实数 实数的性质:①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 ②实数同有理数一样,可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的点一一对应。
③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 ④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。
3、近似数:由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情况下不可能得到
精确的数,用以描述所研究的量,这样的数就叫近似数。 取近似值的方法——四舍五入法
4、有效数字:对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数
都称为这个近似数的有效数字 5、科学记数法:
n
把一个数记为a ⨯10(其中1≤a
做科学记数法。
每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。
勾股定理:
(一)结合三角形:
1. 已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足(a -b ) 2+(b -c ) 2=0,则∆ABC 为 2. 在∆ABC 中,若a 2=(b +c )(b -c ),则∆ABC 是 三角形,且∠ 90︒ 3. 在∆ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长为
1. 已知x -12+x +y -25 与z 2-10z +25互为相反数,试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
2. 已知:在∆ABC 中,三条边长分别为a 、b 、c ,a =n -1,b =2n ,c =n +1(n >1) 试说明:∠C=90︒。
2
b 、c 满足条件a +b 2+c 2+338=10a +24b +26c ,3. 若∆ABC 的三边a 、试判断∆ABC
2
2
的形状。
4. 已知a -6+2b -8+(c -10) =0, 则以a 、b 、c 为边的三角形是
2. 折叠问题:
1. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC 折叠,使点B 与点A
2
重合,折痕为DE ,则CD 等于( ) A.
254
B.
C
D
223
C.
74
D.
53
A
E B
(三)求边长:
1. (1)在R t ∆ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,∠C=90︒ ①已知:a =6,c =10,求b ; ②已知:a =40,b =9,求c ;
2. 如图所示,在四边形ABCD 中,∠BAD=90︒,∠DBC=90︒,AD=3,AB=4,BC=12,求CD 。
一、平方根:
(一)文字类题目:
一个数的平方等于它本身,这个数是 ; 一个数的平方根等于它本身,这个数是 ; 一个数的算术平方根等于它本身,这个数是 一个数的立方根等于它本身,这个数是 ; 一个正数的两个平方根的和是________. 一个正数的两个平方根的商是________.
(二). 定义:
1. (1) 81 的平方根是±9的数学表达式是( )
A.
81=9 B. ±
=9 C.
81=±9 D. ±
81=±9
的平方根是( )
A. 9 B. 9 C. ±9 D. ±
3
。
16的数是16互为逆运算。 4;
1
49
(2)数有平方根吗?若有,求出它们的平方根;若没有,请说明理由。
的平方根是 。 的平方根是0.81。
(1)-64; (2)(-4)2; (3)-52 (4)81 (3)若3a +1没有算术平方根,则a 的取值范围是 若3x-6总有平方根,则x 的取值范围是 。
若式子x -
(4)已知
13
的平方根只有一个,则x 的值是 。
-x =y +4,那么x -y =
2
x -1+
已知a 为实数,那么-a 等于( )
A. a B. –a C. -1 D. 0 (5)若(x -3) +
已知a -9+
2
2
y -4=0,则x +y
b -4=0,那么a +b
2
已知x 、y 满足:(6)代数式-3-
x -2y -3+(2x -3y -5) =0,那么x -8y 的立方根为
2
a +b 的最大值是 ,这时a 、b 之间的关系是
(7)若m =10,则m = ;若m =4,则m 的平方根是
(8)若x =3,则x= ,
(-x )2
=3,则x=
(9)下列个数中:(-100263
)2,0-68(-2),-(-5)没有平方根的有个
2. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ,且满足a -1+b -4b +4=0,求c 的取值范围。
2
已知a 、b 为实数,且2a +6+b -
(a +2)x +b 2=a -1。 2=0,解关于x 的方程:
已知4a 2-49=0,求39-10a 的值。
3. 列方程求值:
(1)x 2=196; (2)5x 2-10=0; (3)36(x -3)2-25=0
4. (1)已知一个正数的平方根是2x -1和3-x ,求这个数 (2
)已知
(x -y )的平方根。
2
5. 估算:
(1)比较大小:
①5与
(2)a 、b 为两个连续的整数,且a
7
3。
25
②
5-12
与
34
满足-2
A. 1
(
916
3-2
)
2
+
3=(2)、下列计算正确的是( ) A 、=54
B 、4
12
=2
12
C 、0. 25=0. 05 D 、--25=5
7. 平方根的性质:
0. 01= ;
(5)
2
⎛
= ;
⎝1⎫
⎪= ; 4⎪⎭
2
2
= ;
(-16)2
= ;
(-5)2
= 。
二、立方根
1. 定义:
(1)如果a 是x 的立方根,那么下列说法正确的是( ) A. –a 也是x 的立方根 B. –a 是-x 的立方根
C. a是-x 的立方根 D. –a 和a 都是-x 的立方根 (2)下列各式:①9=3;②误的有 个 2. 根据定义求值: (1)求值: -
0. 001=0. 1;③
-0. 1=-0. 1;④
0. 8=0. 2,其中错
2
1027
(2)-
-
8125
(2)方程:
(x -3)3
=-1 x
3
=-
125216
3. 估算:
(1)估计68的立方根大小在( )
A. 2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 (2)通过估算420的整数部分为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (3)估算到个位 4. 平方根与立方根相结合:
(1)若2x+1的平方根是±5,那么5x+4的立方根是 (2)已知
x =8,求3-
2m -13
18
x 的值。
2
(3)已知m 满足
=3,k 、n 满足(k -3)+
91+7n =0,求
m -3n 的值
2
三、实数:
1. 实数的定义:
1. 判断下列说法是否正确,为什么? (1)无限小数是无理数; (2)有理数都是是有限小数;
(3)无理数都是无限小数;
(4)带根号的数都是无理数
(5)任何实数的偶次幂都是正实数; (6)在实数范围内,若x =y ,则x =y 。 (7)0是最小的实数; (8)0是绝对值最小的实数; (9)数轴上的点与有理数是一一对应的 (10)数轴上的点与实数是一一对应的 2. 下列说法正确的是 ( )
A. 不存在最小的实数 B. 有理数是有限小数 C. 无限小数都是无理数 D. 带根号的数都是无理数 3. 下列说法正确的是( )
A. 无限小数是无理数 B. 不循环小数是无理数 C. 无理数的相反数还是无理数 D. 两个无理数的和还是无理数 4. 把下列各数填入相应的集合内:
-π,-3. 14,-
⋅
3,1. 732,0,0. 3,18,
2536,2131,
7,-
32
(1)有理数集合{ }
3
1
、-8、0、27、
π
、0. 5、3.14159、-0.020020002 0.[1**********]„„
(2)无理数集合{ } (3)正实数集合{ } (4)负实数集合{ } 2. 有效数字、科学记数法、近似数:
注意:2000有4个有效数字,精确到个位 2⨯10有1个有效数字,精确到千位
1. 有几个有效数字,保留几个有效数字: 用四舍五入法,按要求取近似值:.
①地球上七大洲的面积约为149480000(保留2个有效数字) ②25.8万(保留2个有效数字)
③小明身高1.595m (保留3个有效数字) ④0.0608,0.060800
2. 精确到哪一位:
由四舍五入法得到的近似数,分别精确到哪一位?各有几个有效数字? ①小明身高1.59m ;
②地球的半径约为6.4×103;
③组成云的小水滴很小,最大的直径约为0.2mm ; ④某种电子显微镜的分辨率为1.4×10; ⑤70万 ⑥9.03万 ⑦1.8亿
-8
3
⑧6. 40 105 ⑨0.090080
3. 精确到0.1,0.01等:
①精确到个位(或精确到1)是 π精确到十分位(或精确到0.1)是 π精确到百分位(或精确到0.01)是 π精确到千分位(或精确到0.001)是
小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg ,按下列要求取近似数,并指出每个近似数的有效数: ①精确到0.01kg; ②精确到0.1kg; ③精确到1kg. ②某人一天饮水1890ml (精确到1000ml )
③的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm (精确到0.00001) 4. 科学记数法:
(1)用科学记数法表示91800000,正确的是( ) A 、918×10 B 、91.8×10
5
6
C 、9.18×10
4
4
5
D 、9.18×10
7
(2)一个数用科学记数法记为6×10,这个数原来怎么记?它是几位整数?
一个数用科学记数法记为6.09×10,这个数原来怎么记?它是几位整数? 一个数用科学记数法记为6.00009×10,这个数原来怎么记?它有几位整数? (3)25.8万(保留2个有效数字) 2347600000(保留3个有效数字)
4