代数中的向量证明
代数中的向量证明*
福建仙游一中 杨超拔 351200
利用向量知识解题具有很多优越性:思路直观, 运算简单, 能把“数”与“形”有机地结合起来. 学好平面向量, 不仅是掌握生活、学习的一种工具, 还能提高自己的数形结合能力和创新能力, 而且能陶冶情操, 享受数学思想方法带来的向量学的美. 利用向量解决中学数学题目已经相当普遍, 下面举例运用向量方法证明代数中的一些问题. y
一 利用平面向量巧证三角证明题
例1 利用向量证明
cos10+cos130+cos 250=0,
A
x
sin10+sin130+sin 250=0.
图1
证明:设正三角形ABC 的边长为1. 如图1, 置于坐标系中则
AB ={cos 10︒, sin 10︒}, ={cos 130︒, sin 130︒}, ={cos 250︒, sin 250︒},
AB +BC +CA ={cos 10︒+cos 130︒+cos 250︒, sin 10︒+sin 130︒+sin 250︒}, AB +BC +CA ={0, 0},
∴{cos 10︒+cos 130︒+cos 250︒, sin 10︒+sin 130︒+sin 250︒}={0, 0}. ∴cos 10︒+cos 130︒+cos 250︒=0, sin 10︒+sin 130︒+sin 250︒=0.
评析:依本题的证法,我们使x 轴的正方向绕A 点逆时针旋转到向量的最小角为θ,(而不是本题的特殊角10︒)可以得到以正三角形为依托的较为一般的两个三角等式:
cos θ+cos(θ+120) +cos(θ+240) =0, sin θ+sin(θ+120) +sin(θ+240) =0.
例2 用向量的方法还可以解决如下的问题,求值:
2π4π6π8π10π12π+cos +cos +cos +cos +cos cos 777777
2π
解:因正七边形的外角为,设正七边形的边长为1,如图2所示置于坐标
7
系中,则
={cos 0, sin 0}={1, 0},
2π2π⎫⎧
=⎨cos , sin ⎬,
77⎩⎭4π4π⎫⎧
=⎨cos , sin ⎬,
77⎭⎩6π6π⎫⎧
=⎨cos , sin ⎬,
77⎭⎩
y
G
A
D
C
8π⎫⎧8π
=⎨cos , sin ⎬, 图2
77⎭⎩10π⎫⎧10π
FG =⎨cos , sin ⎬,
77⎭⎩12π⎫⎧12π
GA =⎨cos , sin ⎬.
77⎩⎭
++++++=.
2π4π6π8π10π12π+cos +cos +cos +cos +cos =0, 7777772π4π6π8π10π12π∴cos +cos +cos +cos +cos +cos =-1.
777777
评析:此题是应用上面的证明方法来分析求解,在中学数学中可以遇到不少类似的题目,都可以类似来求解.
例3 用向量证明三角公式: ∴1+cos
cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β.
证明:如图3, 作一个单位圆, 取平面上的两个单位向量a b 使它们与x 轴上的单位向量
形成α、-β角, 即 =
, =. ⋅=⋅cos(α+β) =cos(α+β),
又={cos α, sin α}, ={cos β, -sin β}, ∴a
⋅b =cos αcos β-sin αsin β,
∴cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β.
图3
评析:该公式在教材中采用构造法证明, 先构造一个单位圆, 再在单位圆上构造四点, 形成两个全等三角形, 利用两点间的距离公式证得. 这种方法在构造图形上要求太高, 很难与我们学过的知识相联系起来. 当我们学过平面向量后, 可以简洁地将此公式证明.
同法, 我们可以证明:
1
例4 cos αcos β=[cos(α+β) +cos(α-β) ].
2
证明:设三个单位向量:
={cos α, sin α}, ={cos β, sin β}, ={cos β, -sin β}, ⋅=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β), ⋅=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β). ∴a ⋅b +a ⋅c =cos(α+β) +cos(α-β). 又 a ⋅b +a ⋅c =a ⋅(b +c ) , +={2cos β, 0}, ∴(⋅+=2cos αcos β. 综上所述, 可得: cos αcos β=
二 构造向量证明不等式
利用以下定理,可以用向量证明代数不等式.
定理: , 为两个非零向量, 则
:例5 设a,b,c ∈R +,试证:
1
[cos(α+β) +cos(α-β) ]. 2
≥(⋅) 2
a b c 111++≥++. b 2c 2a 2a b c
⎧a
b c ⎫⎧111⎫2
, , , , 证明:构造向量:=⎨⎬, =⎨⎬. ≥(a ⋅b ) , 得
⎩a b c ⎭⎩b c a ⎭
(
a 2
+
b 2
+
2
) ⋅++≥++, 2
c 111111
即
2
+
2
+
2
≥
+
+当且仅当a =b =c 时, 不等号成立.
用向量证明问题还应该注意一些符号问题,如: 例6
++=2)
证明:由于和方向的不确定性,可按分类讨论的思想进行证明. (1) 若a 与b 共线且方向相同时,则
==+
==- =2). (2) 若与共线且方向相反,则
2
2
==-
==+ =2).
(3) 若与不共线时,如图4,设=, =, 作平行四边形OACB ,可得
2
2
OC =a +b , BA =a -b ;
在三角形OAB
=+-∠BOA ; 在三角形OAC
=-∠OAC . 因为∠BOA +∠OAC =π
所以两式相加可得
B
C
=2).
O
A
图4
评析:由于平面向量具有“数”和“形”的双重功能,涉及“数”与“形”的许多问题需要分类讨论,所以用分类讨论思想解决平面向量问题是顺理成章的事. 通过分类讨论把向量中的问题分门别类转为局部问题,使繁复的向量问题简单化,从而达到解决问题的目的.
同样地,我们可以用构造向量的方法来证明三角不等式: 例7 设α,β,γ均为锐角,满足sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1则
sin 3αsin 3βsin 3γ
++≥1。 sin βsin γsin α
证明:构造两个向量:
2⎧sin 2βsin 2γ⎪sin α
a
=⎨, ,
⎪sin sin ⎩sin b =
sin αsin β,
sin βsin γ, sin γsin α.
⎫⎪
⎬, ⎪⎭
≥(⋅) 2. 即
sin 4αsin 4βsin 4γ
(++) ⋅(sinαsin β+sin βsin γ+sin αsin γ) sin αsin βsin βsin γsin αsin γ
≥(sin2α+sin 2β+sin 2γ) 2 所以
sin 3αsin 3βsin 3γ(sin2α+sin 2β+sin 2γ) 2
++≥
sin βsin γsin αsin αsin β+sin βsin γ+sin αsin γ
22
(s i 2n α+s i n β+s i n γ) 2≥222
s i n α+s i n β+s i n γ
222
=s i n α+s i n β+s i n γ=1
评析:证明此类不等式证明,若能观察到向量的“影子”,通过构造向量,利
用向量的数量积运算公式,能使繁复的问题简单化.
例8 若x ,y ,z ∈R +,且x +y +z =1.n 为正整数. 求证:
x 4y 4z 43n
++≥.
y (1-y n ) z (1-z n ) x (1-x n ) 3n +2-9
证明:由已知条件,知1-x n >0,1-y n >0,1-z n >0. 构造向量:
⎧⎫x 2y 2z 2⎪⎪a =⎨, , ⎬, b =n n n
⎪⎩y (1-y ) z (1-z ) x (1-x ) ⎪⎭
y (1-y ) ,
n
z (1-z n ) , x (1-x n )
}
≥(a ⋅b ) 2. 得
y 4x 4z 4n n n
(x +y +z ) ≤[++]⋅[y (1-y ) +z (1-z ) +x (1-x )] n n n
y (1-y ) z (1-z ) x (1-x )
2
2
2
2
所以
x 4y 4z 4(x 2+y 2+z 2) 2
++≥n n n
y (1-y ) z (1-z ) x (1-x ) (x +y +z ) -(x n +1+y n +1+z n +1) x +y +z 221
) ][3⋅() 2]2
3n ≥==.
x +y +z n +11n +13n +2-9
(x +y +z ) -3⋅() 1-3⋅()
33
[3(
若取n =1, 得
x 4y 4z 41
++≥.
y (1-y ) z (1-z ) x (1-x ) 6
(《上海中学数学》1993(2)数学问题1) 若取n =2,得
x 4y 4z 41 ++≥. 222
y (1-y ) z (1-z ) x (1-x ) 8
(《数学通报》1994(11)数学问题921)
评析:此题也是巧妙构造向量的例子,题中n 的取值不同可以得到不同的不等式方程,对应解决不同的数学问题.
小结:爱因斯坦说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”. 善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来,并加以研究解决. 在引入向量的知识后,因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”,它可以作为联系代数和几何的纽带,是中学数学知识的一个交汇点. 本文主要从代数问题的角度利用向量方法证明,打破常规,构造向量,利用平面向量的数量积获得妙解. 思路直观,运算简单,能把“数”与“形”有机的结合起来.
------------------------------------------------------------------------- *该文发表在《读写算》杂志2010年第16期,并获“教育教学理论研究与实践论文比赛”一等奖