常见四边形的存在性

常见四边形的存在性

专题一、平行四边形的存在性问题

一、技巧提炼

模型：平行四边形模型探究

如图1，点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)、C (x 3, y 3)是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。

图1 图2

如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算

例1．（2015•贵阳）如图，经过点C （0，﹣4）的抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）与x 轴相交于A （﹣2，0），B 两点．

2

（1）a ＞ 0，b ﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；

（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，

C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）根据抛物线开口向上，且与x 轴有两个交点，即可做出判断；

（2）由抛物线的对称轴及A 的坐标，确定出B 的坐标，将A ，B ，C 三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出抛物线解析式；

（3）存在，理由为：假设存在点E 使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交x 轴于点F ，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E ′，使得以A ，C ，F ′，E ′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E ′作E ′F ′∥AC 交x 轴于点F ′，则四边形ACF ′E ′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F ′，AC ∥E ′F ′，如图2，过点E ′作E ′G ⊥x 轴于点G ，分别求出E 坐标即可． 【解答】解：（1）a ＞0，b ﹣4ac ＞0； （2）∵直线x=2是对称轴，A （﹣2，0）， ∴B （6，0），

2

∵点C （0，﹣4），将A ，B ，C 的坐标分别代入y=ax+bx+c， 解得：a=，b=﹣，c=﹣4，

∴抛物线的函数表达式为

y=x ﹣x ﹣4； （3）存在，理由为：

（i ）假设存在点E 使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，

过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交x 轴于点F ，如图1所示，

22

则四边形ACEF 即为满足条件的平行四边形，

∵抛物线

y=x ﹣x ﹣4关于直线x=2对称， ∴由抛物线的对称性可知，E 点的横坐标为4， 又∵OC=4，

∴E 的纵坐标为﹣4， ∴存在点E （4，﹣4）；

（ii ）假设在抛物线上还存在点E ′，使得以A ，C ，F ′，E ′为顶点所组成的四边形是 平行四边形，过点E ′作E ′F ′∥AC 交x 轴于点F ′， 则四边形ACF ′E ′即为满足条件的平行四边形，

∴AC=E′F ′，AC ∥E ′F ′，如图2，过点E ′作E ′G ⊥x 轴于点G ，

2

∵AC ∥E ′F ′，∴∠CAO=∠E ′F ′G ，

又∵∠COA=∠E ′GF ′=90°，AC=E′F ′，∴△CAO ≌△E ′F ′G ， ∴E ′G=CO=4，∴点E ′的纵坐标是4， ∴4=x ﹣x ﹣4， 解得：x 1=2+2

，x 2=2﹣2

，

，4）．

2

∴点E ′的坐标为（2+2，4），同理可得点E ″的坐标为（2﹣2

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与

图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 针对练习：

1. （2015•德州）已知抛物线y=﹣mx +4x+2m与x 轴交于点A （α，0），B （β，0），且=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l ，与y 轴的交点为C ，顶点为D ，点C 关于l 的对称点为E ，是否存在x 轴上的点M ，y 轴上的点N ，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．

2

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m 的值即可得出答案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D 关于y 轴的对称点D ′，点E 关于x 轴的对称点E ′，得出四边形DNME 的周长最小为：D ′E ′+DE，进而利用勾股定理求出即可； （3）利用平行四边形的判定与性质结合P 点纵坐标为±4，进而分别求出即可．

【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx +4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，

α+β=，αβ=﹣2， ∵

=﹣2，

2

∴=﹣2，即=﹣2， 解得：m=1，

2

故抛物线解析式为：y=﹣x +4x+2；

（2）存在x 轴上的点M ，y 轴上的点N ，使得四边形DNME 的周长最小， ∵y=﹣x 2

+4x+2=﹣（x ﹣2）2

+6，

∴抛物线的对称轴l 为x=2，顶点D 的坐标为：（2，6）， 又∵抛物线与y 轴交点C 的坐标为：（0，2），点E 与点C 关于l 对称， ∴E 点坐标为：（4，2），

作点D 关于y 轴的对称点D ′，点E 关于x 轴的对称点E ′， 则D ′的坐标为；（﹣2，6），E ′坐标为：（4，﹣2）， 连接D ′E ′，交x 轴于M ，交y 轴于N ，

此时，四边形DNME 的周长最小为：D ′E ′+DE，如图1所示： 延长E ′E ，′D 交于一点F ，在Rt △D ′E ′F 中，D ′F=6，E ′F=8， 则D ′E ′=

=

=10，

设对称轴l 与CE 交于点G ，在Rt △DGE 中，DG=4，EG=2， ∴DE=

=

=2

，

∴四边形DNME 的周长最小值为：10+2

；

（3）如图2，P 为抛物线上的点，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，

若以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ ≌△DGE ， ∴PH=DG=4， ∴|y|=4，

∴当y=4时，﹣x 2

+4x+2=4， 解得：x 1=2+

，x 2=2﹣

，

当y=﹣4时，﹣x 2

+4x+2=﹣4， 解得：x 3=2+

，x 4=2﹣

， 故P 点的坐标为；（2﹣

，4），（2+

，4），（2﹣

，﹣4），（2+

，﹣4）．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P 点坐标是解题关键．

2. （2015•泸州）如图，已知二次函数的图象M 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （2，﹣6）三点．

（1）求该二次函数的解析式； （2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；

（3）设图象M 的对称轴为l ，点D （m ，n ）（﹣1＜m ＜2）是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为

时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以

点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题． 【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可求得直线AC 的解析式，设G （k ，﹣2k ﹣2），可表示出AB 、BC 、AG 的长，由条件可知只有△AGB ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质可求得k 的值，从而可求得G 点坐标；

（3）可设出D 点坐标，从而表示出△ACD 的面积，由条件求得D 点坐标，可求得DE 的长，当DE 为边时，根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2，从而可求得P 点坐标；当DE 为对角线时，可知P 点为抛物线的顶点，可求得P 点坐标． 【解答】解：

（1）∵二次函数的图象M 经过A （﹣1，0），B （4，0）两点， ∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x ﹣4）． ∵二次函数的图象M 经过C （2，﹣6）点， ∴﹣6=a（2+1）（2﹣4），解得a=1．

2

∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x ﹣4），即y=x﹣3x ﹣4．

（2）设直线AC 的解析式为y=sx+t，把A 、C 坐标代入可得∴线段AC 的解析式为y=﹣2x ﹣2， 设点G 的坐标为（k ，﹣2k ﹣2）． ∵G 与C 点不重合，

∴△ABG 与△ABC 相似只有△AGB ∽△ABC 一种情况． ∴

=

．

=3

=

=

，

|k+1|，

，

，解得

，

∵AB=5，AC=AG=∴∴

|k+1|=

∴k=或k=﹣（舍去）， ∴点G 的坐标为（，﹣

）．

（3）能．理由如下：

如图，过D 点作x 轴的垂线交AC 于点H ，

∵D （m ，n ）（﹣1＜m ＜2）， ∴H （m ，﹣2m ﹣2）．

∵点D （m ，n ）在图象M 上，

2

∴D （m ，m ﹣3m ﹣4）． ∵△ACD 的面积为

2

，

，即4m ﹣4m+1=0，

2

∴[﹣2m ﹣2﹣（m ﹣3m ﹣4）][（m+1）+（2﹣m ）]=解得m=． ∴D （，﹣

2

）．

2

∵y=x﹣3x ﹣4=（x ﹣）﹣∴图象M 的对称轴l 为x=． ∵点D 关于l 的对称点为E ， ∴E （，﹣

），

，

∴DE=﹣=2，

若以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况： 当DE 为边时，则有PQ ∥DE 且PQ=DE=2． ∴点P 的横坐标为+2=或﹣2=﹣， ∴点P 的纵坐标为（﹣）﹣

2

=﹣，

∴点P 的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；

当DE 为对角线时，则可知P 点为抛物线的顶点，即P （，﹣

）；

综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．

【点评】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾

股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AGB ∽△ABC 一种情况是解题的突破口，在（3）中求得D 点的坐标从而求得DE 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．

例2. （2015•荆州）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形ABCD 的边BC 在x 轴上，D 点在y 轴上，C 点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E 是AB 上一点，AE=3EB，

2

⊙P 过D ，O ，C 三点，抛物线y=ax+bx+c过点D ，B ，C 三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED 是⊙P 的切线；

2

（3）若将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，E 点的对应点E ′会落在抛物线y=ax+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）先确定B （﹣4，0），再在Rt △OCD 中利用∠OCD 的正切求出OD=2（0，2

），然后利用交点式求抛物线的解析式；

，D

（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB ∥CD ，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，

接着计算=，加上∠DAE=∠DCB ，则可判定△AED ∽△COD ，得到∠ADE=∠CDO ，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠

ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD 为⊙P 的直径，于是根据切线的判定定理得到ED 是⊙P 的切线

（3）由△AED ∽△COD ，根据相似比计算出DE=3，由于∠CDE=90°，DE ＞DC ，再根

据旋转的性质得E 点的对应点E ′在射线DC 上，而点C 、D 在抛物线上，于是可判断点E ′不能在抛物线上； （4）利用配方得到y=﹣2

（x+1）+

2

，则M （﹣1，），且B （﹣4，0），D （0，

），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N 点坐标．

【解答】解：（1）∵C （2，0），BC=6，

∴B （﹣4，0）， 在Rt △OCD 中，∵tan ∠OCD=∴OD=2tan60°=2∴D （0，2

），

，

，

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x ﹣2）， 把D （0，2

）代入得a •4•（﹣2）=2

，解得a=﹣

2

， x+2

；

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x ﹣2）=﹣x ﹣（2）在Rt △OCD 中，CD=2OC=4， ∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB ∥CD ，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6， ∵AE=3BE， ∴AE=3， ∴

=，

==，

∴=，

而∠DAE=∠DCB ， ∴△AED ∽△COD ， ∴∠ADE=∠CDO ， 而∠ADE+∠ODE=90° ∴∠CDO+∠ODE=90°， ∴CD ⊥DE ， ∵∠DOC=90°，

∴CD 为⊙P 的直径， ∴ED 是⊙P 的切线；

2

（3）E 点的对应点E ′不会落在抛物线y=ax+bx+c上．理由如下： ∵△AED ∽△COD ，

∴=，即=，解得DE=3∵∠CDE=90°，DE ＞DC ，

，

∴△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，E 点的对应点E ′在射线DC 上， 而点C 、D 在抛物线上， ∴点E ′不能在抛物线上； （4）存在． ∵y=﹣

x ﹣

2

x+2），

=﹣（x+1）+

2

∴M （﹣1，

而B （﹣4，0），D （0，2如图2，

），

当BM 为平行四边形BDMN 的对角线时，点D 向左平移4个单位，再向下平移2个单位

得到点B ，则点M （﹣1，5，

）；

）向左平移4个单位，再向下平移2

个单位得到点N 1（﹣

当DM 为平行四边形BDMN 的对角线时，点B 向右平移3个单位，再向上平移得到点M ，则点D （0，2

）向右平移3个单位，再向上平移

个单位得到点N （23，

个单位

）； 个单位

当BD 为平行四边形BDMN 的对角线时，点M 向左平移3个单位，再向下平移得到点B ，则点D （0，2﹣

），

）、（3，

）、（﹣3，﹣

）．

）向右平移3个单位，再向下平移

个单位得到点N 3（﹣3，

综上所述，点N 的坐标为（﹣5，

【点评】考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线． 针对练习：

1.. （2015•重庆）如图，抛物线y=﹣x +2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴交于点E ．

2

（1）求直线AD 的解析式；

（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；

（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形．若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．

2

【分析】（1）先求出C （0，3），A （﹣1，0），B （3，0），再利用配方法得y=﹣（x ﹣1）+4，则抛物线对称轴为直线x=1，于是可确定D （2，3），则可利用待定系数法求直线AD 的解析式；

（2）由E （0，1）可判断△OAE 为等腰直角三角形，则∠EAO=45°，由于FH ∥OA ，则可得到△FGH 为等腰直角三角形，过点F 作FN ⊥x 轴交AD 于N ，如图，则△FNH 为等腰直

角三角形，所以GH=NG，于是得到△FGH 周长等于△FGN 的周长，由于FG=GN=则△FGN 周长=（1+

2

FN ，

）FN ，所以当FN 最大时，△FGN 周长的最大，设F （x ，﹣x +2x+3），

2

则N （x ，x+1），则FN=﹣x +2x+3﹣x ﹣1，利用二次函数的最值问题可得当x=时，FH 有最大值，于是△FGN 周长的最大值为

；

（3）直线AM 交y 轴于R ，M （1，4），利用待定系数法求出直线AM 的解析式为y=2x+2，则R （0，2），然后分类讨论：当AQ 为矩形AMPQ 的对角线，如图1，利用Rt △AOR ∽Rt △POA ，可计算出OP=，则P 点坐标为（0，﹣），接着利用平移可得到Q （2，），于是由点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，根据线段中点坐标公式易得T 点坐标为（0，）；当AP 为矩形APQM 的对角线，反向延长QA 交y 轴于S ，如图2，同理可得S 点坐标为（0，﹣），易得R 点为AM 的中点，则R 点为PS 的中点，所以PM=SA，P （0，），加上PM=AQ，则AQ=AS，于是可判断点Q 关于AM 的对称点为S ，即T 点坐标为（0，﹣）． 【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣x +2x+3=3，则C （0，3），

2

当y=0时，﹣x +2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则A （﹣1，0），B （3，0），

22

∵y=﹣x +2x+3=﹣（x ﹣1）+4， ∴抛物线对称轴为直线x=1，

而点D 和点C 关于直线x=1对称， ∴D （2，3），

设直线AD 的解析式为y=kx+b， 把A （﹣1，0），D （2，3）分别代入得∴直线AD 的解析式为y=x+1；

（2）当x=0时，y=x+1=1，则E （0，1）， ∵OA=OE，

∴△OAE 为等腰直角三角形， ∴∠EAO=45°， ∵FH ∥OA ，

∴△FGH 为等腰直角三角形，

过点F 作FN ⊥x 轴交AD 于N ，如图， ∴FN ⊥FH ，

∴△FNH 为等腰直角三角形， 而FG ⊥HN ， ∴GH=NG，

∴△FGH 周长等于△FGN 的周长， ∵FG=GN=

FN ，

，解得

，

2

∴△FGN 周长=（1+）FN ，

∴当FN 最大时，△FGN 周长的最大，

2

设F （x ，﹣x +2x+3），则N （x ，x+1）， ∴FN=﹣x +2x+3﹣x ﹣1=﹣（x ﹣）+， 当x=时，FH 有最大值，

2

2

∴△FGN 周长的最大值为（1+即△FGH 周长的最大值为

）×=；

2

，

（3）直线AM 交y 轴于R ，y=﹣x +2x+3=﹣（x ﹣1）+4，则M （1，4） 设直线AM 的解析式为y=mx+n， 把A （﹣1，0）、M （1，4）分别代入得∴直线AM 的解析式为y=2x+2， 当x=0时，y=2x+2=2，则R （0，2）， 当AQ 为矩形APQM 的对角线，如图1， ∵∠RAP=90°， 而AO ⊥PR ，

∴Rt △AOR ∽Rt △POA ，

∴AO ：OP=OR：OA ，即1：OP=2：1，解得OP=， ∴P 点坐标为（0，﹣），

∵点A （﹣1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M （1，4）， ∴点P （0，﹣）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q （2，）， ∵点T 和点Q 关于AM 所在直线对称， ∴T 点坐标为（0，）；

当AP 为矩形AMPQ 的对角线，反向延长QA 交y 轴于S ，如图2， 同理可得S 点坐标为（0，﹣）， ∵R 点为AM 的中点， ∴R 点为PS 的中点， ∴PM=SA，P （0，）， ∵PM=AQ， ∴AQ=AS，

∴点Q 关于AM 的对称点为S ， 即T 点坐标为（0，﹣）．

综上所述，点T 的坐标为（0，）或（0，﹣）．

，解得

，

2

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数与x 轴的交点问题和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活运用相似三角形的性质计算线段的长；记住坐标系中点平移的规律．

例3. （2015•莆田）抛物线y=ax+bx+c，若a ，b ，c 满足b=a+c，则称抛物线y=ax+bx+c为“恒定”抛物线．

2

（1）求证：“恒定”抛物线y=ax+bx+c必过x 轴上的一个定点A ； （2）已知“恒定”抛物线

y=

x ﹣

22

2

的顶点为P ，与x 轴另一个交点为B ，是否存在以Q

为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）由“恒定”抛物线y=ax+bx+c，得到b=a+c，即a ﹣b+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（﹣1，0）； （2）先求出抛物线

y=存在两种情况：

①作QM ⊥AC 于M ，则QM=OP=

，证明Rt △QMC ≌Rt △POA ，MC=OA=1，得出点Q

2

2

x ﹣

2

的顶点坐标和B 的坐标，由题意得出PA ∥CQ ，PA=CQ；

的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）﹣，把点A 坐标代入求出a 的值即可；

②顶点Q 在y 轴上，此时点C 与点B 重合；证明△OQC ≌△OPA ，得出OQ=OP=出点Q 坐标，设抛物线的解析式为y=ax+

22

，得

，把点C 坐标代入求出a 的值即可．

【解答】（1）证明：由“恒定”抛物线y=ax+bx+c， 得：b=a+c， 即a ﹣b+c=0，

∵抛物线y=ax+bx+c， 当x=﹣1时，y=0，

2

∴“恒定”抛物线y=ax+bx+c必过x 轴上的一个定点A （﹣1，0）； （2）解：存在；理由如下： ∵“恒定”抛物线

y=当y=0时，

x ﹣

22

x ﹣=0，

2

，

解得：x=±1， ∵A （﹣1，0）， ∴B （1，0）； ∵x=0时，y=﹣

，

），

∴顶点P 的坐标为（0，﹣

以PA ，CQ 为边的平行四边形，PA 、CQ 是对边， ∴PA ∥CQ ，PA=CQ， ∴存在两种情况：

①如图1所示：作QM ⊥AC 于M ， 则QM=OP=

，∠QMC=90°=∠POA ，

在Rt △QMC 和Rt △POA 中，

，

∴Rt △QMC ≌Rt △POA （HL ）， ∴MC=OA=1， ∴OM=2，

∵点A 和点C 是抛物线上的对称点， ∴AM=MC=1，

∴点Q 的坐标为（﹣2，﹣

），

2

设以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）﹣把点A （﹣1，0）代入得：a=∴抛物线的解析式为：y=

，

2

，

（x+2）﹣，

即y

═x +4

2

x+3；

②如图2所示：顶点Q 在y 轴上，此时点C 与点B 重合， ∴点C 坐标为（1，0）， ∵CQ ∥PA ，

∴∠OQC=∠OPA ， 在△OQC 和△OPA 中，

，

∴△OQC ≌△OPA （AAS ）， ∴OQ=OP=

，

），

2

∴点Q 坐标为（0，

设以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线的解析式为y=ax+把点C （1，0）代入得：a=﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣

， x +

2

，

；

综上所述：存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形， 抛物线的解析式为：

y=

x +4

2

x+3，或y=﹣x +

2

．

【点评】本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式．

中点

例3. （2015•荆门）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在边OA 上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE 的长及经过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；

（2）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ；

（3）若点N 在（1）中抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）由折叠的性质可求得CE 、CO ，在Rt △COE 中，由勾股定理可求得OE ，设AD=m，在Rt △ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C 、O 两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ，可求得t 的值； （3）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M 点的坐标． 【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt △COE 中，OE=设AD=m，则DE=BD=4﹣m ， ∵OE=3，

∴AE=5﹣3=2，

在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD +AE=DE，即m +2=（4﹣m ），解得m=， ∴D （﹣，﹣5），

∵C （﹣4，0），O （0，0），

∴设过O 、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4）， ∴﹣5=﹣a （﹣+4），解得a=， ∴抛物线解析式为

y=x （x+4）=x +（2）∵CP=2t， ∴BP=5﹣2t ，

在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，

，

∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ （HL ）， ∴BP=EQ， ∴5﹣2t=t， ∴t=；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2， ∴设N （﹣2，n ），

又由题意可知C （﹣4，0），E （0，﹣3）， 设M （m ，y ），

①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时， 则线段EN 的中点横坐标为∵EN ，CM 互相平分， ∴

=﹣1，解得m=2，

=﹣1，线段CM 中点横坐标为

，

22

2

2

2

2

2

==3，

x ；

又M 点在抛物线上，

∴

y=×2+

2

×2=16，

∴M （2，16）；

②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时， 则线段EM 的中点横坐标为∵EM ，CN 互相平分， ∴=﹣3，解得m=﹣6， 又∵M 点在抛物线上， ∴

y=×（﹣6）+

2

，线段CN 中点横坐标为=﹣3，

×（﹣6）=16，

∴M （﹣6，16）；

③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时， 则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2，﹣

）．

）．

综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、

折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D 点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t 的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 针对练习：

1. （2015•抚顺）已知，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A 点坐标为（﹣6，0），B 点坐标为（4，0），点D 为BC 的中点，点E 为线段AB 上一动点，连接DE 经过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y=ax+bx+8． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，将△BDE 以DE 为轴翻折，点B 的对称点为点G ，当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求G 点的坐标；

2

（3）如图②，当点E 在线段AB 上运动时，抛物线y=ax+bx+8的对称轴上是否存在点F ，使得以C 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）根据抛物线y=ax+bx+8经过点A （﹣6，0），B （4，0），应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可．

2

（2）首先作DM ⊥抛物线的对称轴于点M ，设G 点的坐标为（﹣1，n ），根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点D 、点M 的坐标各是多少，以及BC 、BD 的值各是多少；最后在Rt △GDM 中，根据勾股定理，求出n 的值，即可求出G 点的坐标．

（3）根据题意，分三种情况：①当CD ∥EF ，且点E 在x 轴的正半轴时；②当CD ∥EF ，且点E 在x 轴的负半轴时；③当CE ∥DF 时；然后根据平行四边形的性质，求出点F 的坐标各是多少即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+8经过点A （﹣6，0），B （4，0）， ∴

2

解得

∴抛物线的解析式是：y=﹣x ﹣x+8．

（2）如图①，作DM ⊥抛物线的对称轴于点M ，， 设G 点的坐标为（﹣1，n ）， 由翻折的性质，可得BD=DG， ∵B （4，0），C （0，8），点D 为BC 的中点， ∴点D 的坐标是（2，4）， ∴点M 的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3， ∵B （4，0），C （0，8）， ∴BC=

=4

，

2

∴， 在Rt △GDM 中， 22

3+（4﹣n ）=20， 解得n=4±，

∴G 点的坐标为（﹣1，4+

2

）或（﹣1，4﹣）．

（3）抛物线y=ax+bx+8的对称轴上存在点F ，使得以C 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行

四边形．

①当CD ∥EF ，且点E 在x 轴的正半轴时，如图②， 由（2），可得点D 的坐标是（2，4）， 设点E 的坐标是（c ，0），点F 的坐标是（﹣1，d ），

则

解得

∴点F 的坐标是（﹣1，4），点E 的坐标是（1，0）．

②当CD ∥EF ，且点E 在x 轴的负半轴时，如图③， 由（2），可得点D 的坐标是（2，4）， 设点E 的坐标是（c ，0），点F 的坐标是（﹣1，d ），

则

解得

∴点F 的坐标是（﹣1，﹣4），点E 的坐标是（﹣3，0）．

③当CE ∥DF 时，如图④，， 由（2），可得点D 的坐标是（2，4）， 设点E 的坐标是（c ，0），点F 的坐标是（﹣1，d ），

则

解得

∴点F 的坐标是（﹣1，12），点E 的坐标是（3，0）． 综上，可得

2

抛物线y=ax+bx+8的对称轴上存在点F ，使得以C 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，

点F 的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．

（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，以及待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．

（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

2

2. （2006•青浦区二模）如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象经过点A （﹣2，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如在线段OC 上有一点P ，且点P 到点B 的距离为，那么在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形？如存在，请求出点Q 的坐标；如不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】开放型．

【分析】（1）把A （﹣2，0），B （3，0）代入函数解析式，利用待定系数法可求得y=x﹣x ﹣6；

（2）根据题意易求得OC=6，设P （0，m ），则

，所以

，解得m 1=2，m 2=﹣2，即P （0，﹣2），当PQ ∥AC 时，

四边形QACP 是梯形，利用梯形的性质可求得

，即

，当AP ∥CQ 时，

2

四边形APCQ 是梯形，根据梯形的性质可求得OQ=6，即Q （﹣6，0），所以可知点Q 的坐标为（﹣，0），（﹣6，0）．

【解答】解：（1）∵y=x+bx+c经过点A （﹣2，0），B （3，0） ∴

．（2分）

2

解得

2

．

∴y=x﹣x ﹣6（2分）

（2）∵y=x﹣x ﹣6与y 轴交于点c ∴c （0，6） ∴OC=6（3分） 设P （0，m ） ∴

2

∴m 1=2，m 2=﹣2 ∴P （0，﹣2）（5分）

当PQ ∥AC 时，四边形QACP 是梯形 ∴∴∴

（7分）

∴

当AP ∥CQ 时，四边形APCQ 是梯形 ∴

∴

∴OQ=6

∴Q （﹣6，0）（9分） ∴存在点Q ，点Q 的坐标为

．（10分）

【点评】本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和二次函数和方程之间的关系以及利用数形结合的方法求算线段的长度和点的坐标等．要熟练掌握才能灵活运用．

（2006•襄阳）已知：AC 是⊙O 的直径，点A 、B 、C 、O 在⊙O 1上，OA=2．建立如图所示的直角坐标系．∠ACO=∠ACB=60度． （1）求点B 关于x 轴对称的点D 的坐标；

（2）求经过三点A 、B 、O 的二次函数的解析式；

（3）该抛物线上是否存在点P ，使四边形PABO 为梯形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）根据圆的圆周角的性质可求得△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得点B 的坐标，再根据点B 关于x 轴的对称点的特点求得点D 的坐标；

（2）可设得二次函数的一般式，将点A 、O 、B 的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得函数的解析式；

（3）∵△BOA 是等边三角形，点D 是点B 关于x 轴的对称点 ∴OA 、BD 相互垂直平分∴四边形DABO 是菱形 ∴AD ∥BO ∴所求点P 必在直线AD 上 设直线AD 的解析式为y=kx+b（k≠O），利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）如图：∵点A 、B 、C 、D 在⊙O 1上，且∠ACO=∠ACB=60°， ∴∠BOA=∠ABO=60°， ∴△ABO 是等边三角形， ∵OA=2，

过点B 作BE ⊥OA 于点E ，

∴OE=OA=1，

BE=OB•sin60°=，

∴B （1，），

∴点B 关于x 轴对称的点D 的坐标为（1，﹣

（2）设经过A （2，0）、B （1，

）；

2

）、O （0，0）的二次函数的解析式为y=ax+bx+c（a≠0），

∴，

，

∴y=﹣+2；

（3）存在点P ，使四边形PABO 为梯形， ∵△BOA 是等边三角形，

点D 是点B 关于x 轴的对称点， ∴OA 、BD 相互垂直平分， ∴四边形DABO 是菱形， ∴AD ∥BO ，

∴所求点P 必在直线AD 上，

设直线AD 的解析式为y=kx+b（k≠O）， ∴

，

即∴

y=联立

， ，

，

解得，

当时，就是点A （2，0）；

当时，

即为所求点P （﹣1，﹣3），

过点P 作PG ⊥x 轴于G ，则|PG|=3， ∴PA=6而BO=2，

在四边形PABO 中，BO ∥AP 且BO≠AP， ∴四边形PABO 不是平行四边形， ∴OP 与AB 不平行， ∴四边形PABO 为梯形，

同理，在抛物线上可求得另一点P （3，﹣3故存在点P （﹣1，﹣3），或P （3，﹣3），也能使四边形PABO 为梯形．

），使四边形PABO 为梯形．

【点评】此题考查了二次函数与园的知识的综合应用，解题时要注意待定系数法的应用，还

要注意数形结合思想的应用．

2

29．（2010•常熟市模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x ﹣1）+k（a ＞0）的图象与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左边），顶点为C ，点D 在这个二次函数图象的对称轴上，若四边形ABCD 是一条边长为4且有一个内角为120°的菱形，求此二次函数的关系式？

【考点】二次函数综合题．

【分析】此题分为当∠ACB=120°时与当∠DAC=120°时去分析，由四边形ACBD 是菱形，可得AB ⊥CD ，又由AC=CB=4，即可求得点C 与B 的坐标，继而求得此二次函数的关系式． 【解答】解：当∠ACB=120°时， ∵四边形ACBD 是菱形， ∴AB ⊥CD ， ∵AC=CB=4， 得C （1，﹣2），B （1+2，0），

2

代入y=a（x ﹣1）+k中，

∴a=，k=﹣2， ∴

y=（x ﹣1）﹣2．

当∠DAC=120°时，由四边形ACBD 是菱形得， 得C （1，﹣2），B （3，0），

2

代入y=a（x ﹣1）+k中， ∴a=

，k=﹣2

．

2

∴

y=（x ﹣1）﹣2

2

．

2

由图形的对称性可知：y=﹣（x ﹣1）﹣2或y=﹣∵a ＞0，

∴二次函数的关系式为：y=（x ﹣1）﹣2或y=

2

（x ﹣1）﹣2

2

也符合题意，

（x ﹣1）﹣2

2

．

【点评】此题考查了菱形的性质，以及待定系数法求二次函数的解析式的知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．

30．（2010秋•张家港市期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax﹣2x+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）当点P 运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC 的面积；

（3）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【考点】二次函数综合题． 【专题】计算题．

【分析】（1）运用待定系数法将B （3，0），C （0，﹣3）两点的坐标代入y=ax﹣2x+c，求出解析式即可；

（2）将四边形ABPC 的面积，面积分割为S △AOC +S△OCP +S△OPB 求出三个三角形的面积即可得出；

（3）根据菱形的性质，得出y=﹣，x 的值，从而得出P 点的坐标．

【解答】解：（1）将B （3，0），C （0，﹣3）两点的坐标代入y=ax﹣2x+c得：

2

2

解得：，

2

∴二次函数的表达式为：y=x﹣2x ﹣3；

（2）当点P 运动到抛物线顶点时，连接AC ，PC ，PB ，PO ，做PM ⊥AB ，PN ⊥OC ，

2

∵二次函数的表达式为y=x﹣2x ﹣3； ∴P 点的坐标为（1，﹣4），即PN=1，PM=4，还可得出OB=3，OC=3，AO=1， ∴四边形ABPC 的面积=S△AOC +S△OCP +S△OPB =×AO×OC+×PN×OC+PM×OB ， =×1×3+×1×3+×4×3，

=9；

（3）存在点P ，使四边形POP′C为菱形，设P 点坐标为（x ，y ）， PP′交CO 于M ，若使四边形POP′C是菱形， 则有PC=PO，连接PP′，则PM ⊥CO 于M ， ∴OM=MC=， ∴y=﹣． ∴x ﹣2x ﹣3=﹣， 解得：x 1=

，x 2=

（不合题意舍去）， ，﹣）．

2

∴P 点的坐标为（

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及分割四边形求面积，以及菱形

的性质，题目是中考中比较典型问题．