等差数列知识点及经典例题
等差数列知识点及经典例题 一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为a n =⎨
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
〖例〗根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式。
分析:(1)可用构造等比数列法求解; (2)可转化后利用累乘法求解;
(3)将无理问题有理化,而后利用a n 与S n 的关系求解。 (一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ,第二种是利用等差中项,即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数,即a n =An+B,则{a n }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =
An 2+Bn
的形式(A ,B 是常数),则{a n }是等差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{
S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=
a n
}的前n 项和为
S n
,且满足
1 2
(1)求证:{
1S n
}是等差数列;
(2)求a n 的表达式。 分析:(1)S n -S n -1+2S n S n -1=0→(2)由
1S n
1S n
与
1S n -1
的关系→结论;
的关系式→S n 的关系式→a n
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可