一种非线性函数线性化的处理方法
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2009 NO.16
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一种非线性函数线性化的处理方法
郭光真
(厦门大学机电工程系 福建厦门 361005)
摘 要:直线方程校正是常见的非线性函数的线性化处理方法。本文改进这一方法,在一定误差允许范围内,简化了数据处理。具体应用于指数函数的线性化数据处理。
关键词:直线方程校正法 数据处理 氧化锆氧传感器中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1672-3791(2009)06(a)-02
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传感器是自动检测仪表的重要部分。传感器将非电量变换为电量,其变换特性往往是非线性的。如温度传感器铂热电阻的电阻值与温度之间为二次函数关系;又如氧化锆氧传感器的氧电势与氧浓度之间为指数函数关系,非线性度非常大。
解决非线性特性的方法有硬件电路校正和软件数据处理。现在自动检测仪表大都由单片机控制,采用软件处理非线性,方法有:(1)根据函数关系式计算;(2)列出在测量范围内所有取值,用查表法求取;(3)直线方程校正法,本文讨论这一方法。
,或:
量程为0 ̄10%。因y→0时,x将非常大且不准确,实际测量下限取0.1%。y ̄x对照见表1。
用黄金分割法求解拟合直线方程。参见图2,从测量上限y1开始。
x的取值上下限之差为l。第1黄金分割点为x2=x1+0.618l,第2黄金分
割点为x2=x1+0.6182l……,第i黄金分割点为x2=x1+0.618il。直线方程l1为:
yi=k(x+x
1)+y1 斜率为:
,将此值代入
(4)得:
,
代入(5)求
最
大误差:
,大于
设定值。
于是取i=5,重复上述过程,得最大误差εm=0.175。再设i=6,得εm=0.0725,已符合要求,k6=-0.4124。这样,第1段方程为:
yl=-0.4124(x-15.8183)+10=-0.4124x+16.5230
再向下平移εm
/
2,得:
1 拟合原理与步骤
分段折线拟合是在允许误差范围内,在函数曲线上取若干点,连成几段直线段即折线,来近似代替曲线。如果直线位于曲线上方,则除了端点外,精确值总是小于近似值,误差为负值;反之,如果直线位于曲线下方,精确值总是大于近似值,误差为正值。如图1所示,以直线l1近似拟合曲线,误差为负值。在A点处误差最大,记为εm,其余各点误差均小于εm。如果将l1向下平移εm/2,至l2处,以l2来拟合曲线,则最大误差减少到一半,误差有正有负。显然,在相同的误差范围内,这样的方法来拟合整条曲线分段数较少,有利于简化数据处理。求解l2较为不便,可以先求出l1的方程y=kx+d,然后向上(直线位于曲线下方)或向下(直线位于曲线上方)
平移εm/2,
即以
代替d,下面以指数
曲线为例来说明。氧化锆氧传感器在7200C温度下,氧浓度y(%)与其产生的氧电势x(mV)之间成
指数关系
:
第i黄金分割点拟合的直线方程为:yl=ki(x-x
1)+y1……(1)
斜率为:
……(2)
为表达简洁起见,设曲线方程为:y=a10cx。直线与曲线的误差为:
ε=yl-y=ki(x-x1)+y1-a10cx……(3)
最大误差
在
处,即
:
,
得:……(4)
(4)代入(3)得:
接着拟合第2段,起点为:x2=x1+0.6196l=15.8183+0.6186×98.5=21.3057依上述方法,解得:k6=-0.32124,ε=0.05034。拟合方程为:m
yl=-0.32124(x-21.3057)+7.7371=-0.32124x+14.58134
平移εm/2,得:yl=-0.32124x+14.5562其余类推。
……(5)
以下来求第1段拟合方程。取最大误差0.05,即0.05%氧浓度,则εm=0.1(见图1)。由于曲线非现线程度大,第1段拟合方程的i值不妨取大些试之,设i=4,代入(2):
2 推广应用
以上提出的非线性函数的分段折线拟合处理方法,简化了数据处理工作量,在氧化锆氧传感器的氧浓度与氧电势之间转换得到应用。这一方法可以推广。传感器的非线性类型分为指数型和有理函数型,前者除上述氧化锆氧传感器外,还有半导体PN结伏安特性(图3)、热敏电阻的温度—阻值特性(图4),可参考上述方法进行线性化处理。后者如铂热电阻,在0 ̄500OC范围内,温度为T的电阻值为:RT=R0(1+aT+bT2)
式中:R0为0℃时的电阻值;a、b为常数,在0 ̄500OC范围内a =3.9752×10-3/℃,b=-5.8880×10-7/℃。图5为铂热电阻温度特性,其非线性程度小于指数型,线性化处理的分段数少于指数型,且较易设计。由图可见,以一直线近似,误差达2%,若以上述方法处理,误差降至1%;若分为两段误差可降至0.5%以下。
表
1
参考文献
[1]季建华,都志杰,吴勤勤.智能仪表原理、
设计及调试-8位、16位单片机应用技术[M].上海:华东理工大学出版社,1997.[2]吕俊芳.传感器接口与检测仪器电路
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