2017广州中考数学(解析)

2017年广东省广州市中考数学试卷

满分：150分 版本：北师大版

一、选择题（每小题3分，共10小题，合计48分）

1．（2017广东广州）如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为（ ）

A ．－6

B ．6

C ．0

D ．无法确定

答案：B ，解析：∵只有符号不同的两个数互为相反数，∴－6的相反数是6，即点B 表示6. 2．（2017广东广州）如图2，将正方形ABCD 中的阴影三角绕点A 顺时针旋转90°后，得到的图形．．．为（ ）

A. B. C. D.

答案：A ，解析：选项A 是原阴影三角形绕点A 顺时针旋转90°后得到的；选项B 是原阴影三角形绕点A 顺时针（或逆时针）旋转180°后得到的；选项C 不能由原阴影三角形绕点A 旋转一定度数得到；选项A 是原阴影三角形绕点A 顺时针旋转270°后得到的． 3．（2017广东广州）某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12,13,14,15,15,15. 这组数据中的众数，平均数分别为（ ）

A ．12,14

B ．12,15

C ．15,14

D ．15,13

－

答案：C ，解析：该组数据中，15出现的次数最多，故众数是15；该组数据的平均数x ＝

1

(126

＋13＋14＋15×3) ＝14． 4．（2017广东广州）下列运算正确的是（ ）

A ．

3a +b a +b a +b 2a +b

== B ． 2⨯ C

=a D ．|a |＝a （a ≥0） 6233

a +b 2a +2b a +b (a +b )⨯33a +3b

=== 答案：D ，解析：，故选项A 不正确；2⨯，故选3322⨯36

⎧⎪a (a ≥0)项B

=a =⎨，故选项C 不正确，选项D 正确．

⎪⎩-a (a

5．（2017广东广州）关于x 的一元二次方程x 2＋8x ＋q ＝0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（ ）

A ．q ＜16

B ．q ＞16

C ．q ≤4

D ．q ≥4

答案：A ，解析：根据一元二次方程根的判别式，得△＝82－4q ＞0，解得q ＜16. 6．（2017广东广州）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的（ ） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条角平分线的交点 C ．三条中线的交点

D ．三条高的交点

答案：B ，解析：如图，三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点.

2

3

b 27．（2017广东广州）计算(a b )，结果是（ ）

a

A ．a 5b 5

B ．a 4b 5

63

C ．ab 5

D ．a 5b 6

b 2

答案：A ，解析：原式＝a b ＝a 5b 5．

a

8．（2017广东广州）如图，E , F 分别是ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到 EFC ’D ’，ED ’交BC 于点G ，则△GEF 的周长为（ ）

A ．6 B ．12 C.18 D.24

答案：C ，解析：由折叠的性质可知，∠GEF ＝∠DEF ＝60°. 又∵AD ∥BC ，∴∠GFE ＝∠DEF

＝60°，∴△GEF 是等边三角形. ∵EF ＝6，∴△GEF 的周长为18．

9．（2017广东广州）如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO , AD , ∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（ ）

A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EO C ．∠OCE ＝40° D ．∠BOC ＝2∠BAD

答案：D ，解析：如图，连接OD . ∵AD 是非直径的弦，OB 是半径，∴AD ≠2OB ，故选项A 不

=BD ，∴∠COB ＝∠BOD ＝2∠BAD ＝40°正确；∵AB ⊥CD ，∴BC ，故选项D 正确；∵∠OCE ＝

180°－90°－40°＝50°，∴∠COB ≠∠OCE ，∴CE ≠EO ，故选项B ，C 不正确

.

10．（2017广东广州）a ≠0，函数y ＝

a

与y ＝－ax 2＋a 同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）

x

A. B. C. D.

11．（2017广东广州）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝110°，则∠B ＝

答案：70°，解析：∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠A ＝180°－110°＝70°.

2

12．（2017广东广州）分解因式：xy －9x ＝ . 答案：. x (y ＋3)(y －3) 解析：原式＝x (x 2－9) ＝x (y ＋3)(y －3). 13．（2017广东广州）当x ＝

时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值 .

答案：1 5 解析：∵y

＝x 2－2x ＋6＝(x

－1) 2＋5，∴当x ＝1时， y 最小值＝5.

14．（2017广东广州）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝

15

，则AB ＝ . 8

答案：17，解析：∵tanA ＝

BC 1515

，即＝，∴AC ＝8. 根据勾股定理，得AB AC 8AC

17.

15．（2017广东广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径

l ＝

.

答案：

解析：圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的

半径长等于圆锥的母线长，即

120π⨯l

＝2π

l ＝

180

16．（2017广东广州）如图，平面直角坐标系中O 是原点，□ABCD 的顶点A , C 的坐标分别是（8，0），（3,4），点D , E 把线段OB 三等分，延长CD , CE 分别交OA ，AB 于点F ，G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②△OFD 与△BEG 相似；③四边形DEGF 的面积是其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）

20；④OD

；3

BC BD 11==，∴OF ＝BC OF OD 22

11

＝OA ，∴点F 是OA 的中点，故①正确；易证点G 是AB 的中点，∴S △COF ＝S △BCG ＝S □OABC ，24

1111

∴S 四边形AFCG ＝ S □OABC . 由点A ，C 的坐标可知S □OABC ＝8×4＝32，S △CDE ＝S △BOC ＝×S □OABC

2332

16111＝. ∵FG 是△AOB 的中位线，∴S △AFG ＝S △AFG ＝×S □OABC ＝4，∴S 四边形DEGF ＝S 四边形AFCG

3442

11620

－S △CDE －S △AFG ＝S □OABC －S △CDE －S △AFG ＝16－－4＝，故③正确；由平行四边形的性质可

233

1知点B 的坐标为(11，4) ，则OB

，∴OD ＝OB

，故④不正确. 由于

3

答案：①③ 解析：∵BC ∥OA ，且点D ，E 是OB 的三等分点，∴△OFD 与△BEG 相似的条件不充足，故②不正确.

三、解答题：本大题共9个小题，满分102分． 17．（本小题满分9分）解方程组：⎨

⎧x +y =5,

.

⎩2x +3y =11

思路分析：利用加减消元法或代入消元法求解. 解：①×3，得

3x ＋3y ＝15③， ③－②，得 x ＝4.

将x ＝4代入①，得 y ＝1.

∴方程组得解为⎨

⎧x =4,

. ⎩y =1

18．（2017广东广州）（本小题满分9分）如图，点E , F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF . 求证：△ADF ≌△BCE

.

思路分析：根据SAS 证明两个三角形全等. 证明：∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， 即AF ＝BE .

在△ADF 和△BCE 中，

⎧AD =BC ，⎪

⎨∠A =∠B ，

⎪AF =BE ，⎩

∴△ADF ≌△BCE （SAS ）.

19．（2017广东广州）（本小题满分10分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间 （单位：小时），将学生分成五类：A 类（0≤t ≤2），B 类（2＜t ≤4），C 类（4＜t ≤6），D 类（6＜t ≤8），E 类（t ＞8），绘制成尚不完整的条形统计图如图

11.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）E 类学生有_________人，补全条形统计图； （2）D 类学生人数占被调查总人数的__________%；

（3）从该班做义工时间在0≤t ≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t ≤4中的概率． 思路分析：（1）∵全班人数为50，∴E 类学生人数为50－（2+3+22+18）＝5；（2）D 类学生人数占被调查人数的百分比为

18

×100%＝36%；（3）先列举所有可能的结果，再利用概率计算公式求解. 50

解：（1）5，补全条形统计图如图所示： （2）36；

（3）该班做义工时间在0≤t ≤4的学生有5人，其中A 类（0≤t ≤2）的学生有2人，B 类（0≤t ≤2）的学生有3人. 设这5人分别为A 1，A 2，B 1，B 2，B 3，从中任选2人，所有可能的结果为：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3），共10种，其中两人都在2＜t ≤4的结果有3种：（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3），∴P （这2人做义工时间都在2＜t ≤4）＝

3

. 10

20．（2017广东广州）（本小题满分10分）如图12，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝

（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ADE 的周长为a ，先化简T ＝（a ＋1）2－a （a －1），再求T 的值．

思路分析：（1）按照线段垂直平分线的尺规作图方法作图；（2）通过解直角三角形求出△ADE 的周长为a ，再化简、代入求值. 解：（1）如图所示：

（2）∵DE 是线段AC 的垂直平分线， ∴∠AED ＝90°，AE ＝

11

AC ＝×

22

在RtADE 中，∠A ＝30°，AE

DE ＝AE ·tanA

＝1，AD ＝2DE ＝2.

∴a ＝AD +DE +AE ＝

3

T =（a ＋1）2－a （a －1）＝a 2＋2a ＋1－a 2＋a ＝3a ＋1＝3（

+1＝

21．（2017广东广州）（本小题满分12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的乙队多筑路20天．

（1）求乙队筑路的总公里数；

（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．

思路分析：（1）根据“乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的

4

倍，甲队比3

4

倍”求解；（2）根据“甲队3

比乙队多筑路20天”列分式方程求解，注意检验.

解：（1）60×

4

＝80（公里），即乙队筑路的总公里数为80公里. 3

（2）设甲队每天筑路8x 公里，乙队每天筑路5x 公里，根据题意，得

6080-20= 5x 8x

解得x ＝

1

. 10

1

是原方程的解且符合题意, 10

经检验，x ＝

14×8＝. 105

答：乙队平均每天筑路

4

公里. 5

22．（2017广东广州）（本小题满分12分）将直线y ＝3x ＋1向下平移1个单位长度，得到直线y ＝3x ＋m ，若反比例函数y ＝（1）求m 和k 的值；

（2）结合图象求不等式3x ＋m ＞

k

的图象与直线y ＝3x ＋m 相交于点A ，且点A 的纵坐标是3． x

k

的解集． x

k

可得到k 的值；（2）直线y ＝3x ＋m 在双曲x

思路分析：（1）将直线y ＝3x ＋1向下平移1个单位长度后得到直线y ＝3x +1－1，故3x ＋m ＝3x +1

－1，从而求得m 的值和点A 的坐标，将点A 代入y ＝

线y ＝

k k

上方时x 的取值范围，即为不等式3x ＋m ＞的解集. x x

解：（1）根据题意，得3x ＋m ＝3x +1－1，解得m ＝0. ∴y ＝3x .

将y ＝3代入y ＝3x ，得3x ＝3，解得x ＝1，∴点A 的坐标为（1,3）. 将（1,3）代入y ＝

k

，得k ＝3. x

k

的解集为－1＜x ＜0或x ＞

1. x

（2）如图，可知不等式3x ＋m ＞

23．（2017广东广州）（本小题满分12分）已知抛物线y 1＝－x ＋mx ＋n ，直线y 2＝kx ＋b ，y 1的对称轴与y 2交于点A （－1,5），点A 与y 1的顶点B 的距离是4． （1）求y 1的解析式；

（2）若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的解析式．

思路分析：（1）由“y 1的对称轴经过点A （－1,5）”可知对称轴为x ＝－1，从而求得m 的值，

2

进而可用含n 的式子表示出顶点B 的坐标，再由“点A 与y 1的顶点B 的距离是4”求得n 的值；（2）由（1）中所求y 1的函数解析式求得y 2与x 轴的交点，利用待定系数法求出y 2的解析式. 注意“y 2随着x 的增大而增大”这一条件的限制.

解：（1）∵y 1的对称轴与y 2交于点A （－1,5）， ∴y 1的对称轴为x ＝－1. ∴-

m

＝－1，解得m ＝－2.

2⨯-12

2

∴y 1＝－x －2x ＋n ＝－（x +1）＋n ＋1. ∴顶点B 的坐标为（－1，n ＋1）.

∵AB ＝4，∴|（n ＋1）－5|＝4，解得n 1＝0，n 2＝8. 当n ＝0时，y 1＝－x －2x ；当n ＝8时，y 1＝－x －2x ＋8. 即y 1的解析式为y 1＝－x －2x 或y 1＝－x －2x ＋8. （2）当y 1＝－x －2x 时，

将y ＝0代入y 1＝－x －2x ，得x 1＝0，x 2＝－2，∴y 1与x 轴的交点为（0,0），（－2,0）. ∵y 2随x 的增大而增大，∴k ＞0.

2

2

2

2

2

2

①当y 2经过A （－1，5），（0，0）时，则有⎨舍去）.

⎧-k +b =5, ⎧k =-5,

，解得⎨，∴y 2＝－5x . （不合题意，

⎩b =0⎩b =0

⎧-k +b =5, ⎧k =5,

②当y 2经过A （－1，5），（－2，0）时，则有⎨，解得⎨，∴y 2＝5x +10.

-2k +b =0b =10⎩⎩

当y 1＝－x －2x +8时，将y ＝0代入y 1＝－x －2x +8，得x 1＝2，x 2＝－4，∴y 1与x 轴的交点为（2,0），（－4,0）.

2

2

5⎧

k =-, ⎪⎧-k +b =5, 510⎪3

①当y 2经过A （－1，5），（2，0）时，则有⎨，解得⎨，∴y 2＝-x +. （不合

10332k +b =0⎩⎪b =⎪3⎩

题意，舍去）.

5⎧

k =, ⎪⎧-k +b =5, 520⎪3

②当y 2经过A （－1，5），（－4，0）时，则有⎨，解得⎨，∴y 2＝x +.

2033-4k +b =0⎩⎪b =⎪3⎩

综上可知，y 2的解析式为y 2＝5x +10或y 2＝

520

x +. 33

24．（2017广东广州）（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED ．

（1）求证：四边形OCED 是菱形； （2）连接AE ，若AB ＝6cm ，BC

. ①求sin ∠EAD 的值；

②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段P A 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．

思路分析：（1）根据矩形的性质和轴对称的性质证明四边形OCED 的四条边都相等；（2）①连接OE ，设直线OE 交AB 于点F ，交DC 于点G ，可知∠EAD ＝∠AEF ，在△AEF 中求得sin ∠AEF 即可；②过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M . Q 由O 运动到P 所需时间就是OP +MA 最小.

解：（1）证明：∵四边形ABCD 是为矩形，

∴AC ＝BD .

∵AC 与BD 交于点O ，且△COD 与△CED 关于CD 对称， ∴DO ＝CO ，且DO ＝DE ，OC ＝EC ， ∴DO ＝OC ＝EC ＝ED ， ∴四边形OCED 是菱形.

（2）①连接OE ，设直线OE 交AB 于点F ，交DC 于点G . ∵△COD 与△CED 关于CD 对称，∴OE ⊥DC . ∵DC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，EF ∥AD .

∵G 为DC 的中点，O 为AC 的中点，∴OG 是△CAD 的中位线，∴OG ＝GE

＝

2

9

同理可得OF

＝AF ＝3，∴AE

. 22∵∠EAD ＝∠AEF ，∴sin ∠EAD ＝sin ∠AEF ＝

AF 32

==

. AE 3

2

①过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M . ∴Q 由O 运动到P 所需时间为3s . 由①可知AM ＝

2

AP . 3

∴点Q 以1.5cm /s 的速度从点P 到A 所需时间等同于以1cm /s 的速度从M 运动到A , 即t ＝t OP +t P A ＝

OP MA OP +MA

+=， 111

∴Q 由O 运动到P 所需时间就是OP +MA 最小. 如图，当P 运动到P 1，即P 1O ∥AB 时，所用时间最短. ∴t ＝

OP +MA 3

=＝3s . 11

2

⎛22222

在Rt △AP 1M 1中，设AM 1＝2x ，则AP 1＝3x ，∵AP 1＝AM 1+P 1M 1，∴（3x ）＝（2x ）+ 2，

⎝⎭

解得x 1＝113，x 2＝－（舍去），∴AP ＝. 222

3cm ，点Q 走完全程需时3s

. 2答：AP 的长为

，AB ＝2，连接25．（2017广东广州）（本小题满分14分）如图14，AB 是⊙O 的直径， AC BC

AC

.

（1）求证：∠CAB ＝45°；

（2）若直线l 为⊙O 的切线，C 是切点，在直线L 上取一点D ，使BD ＝AB ，BD 所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．

①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；

②错误！不能通过编辑域代码创建对象。是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

思路分析：（1）连接BC ，根据“同弧所对的圆周角等于圆角角的一半”求解；（2）①当BD ＝AB 时，有∠ABD 为锐角和∠ABD 为钝角两种情形；②分D 在点C 左侧或D 在点C 右侧两种情况求解.

解：（1）证明：如图，连接BC .

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.

∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝1（180°－90°）＝45°. 2

（2）①当∠ABD 为锐角时，如图所示，作BF ⊥l 于F .

由（1）可知△ABC 为等腰直角三角形.

∵O 是AB 的中点，∴CO ＝AO ＝BO ，∴△COB 为等腰直角三角形.

∵l 是⊙O 的切线，∴OC ⊥l .

∵BF ⊥l ，∴四边形OBEC 为矩形.

∴AB ＝2BF ，∴BD ＝2BF ，∴∠BDF ＝30°，∴∠DBA ＝30°，

∴∠BDA ＝∠BAD ＝75°，∠CBE ＝15°，∠CEB ＝90°－15°＝75°，∴∠CEB ＝∠DEA ，∴AD ＝AE .

②当∠ABD 为钝角时，如图所示，同样BF ＝1BD ，∠BDC ＝30°， 2

1（180°－150°）＝15°， 2∴∠ABD ＝150°，∠AEB ＝90°－∠CBE ＝15°，∠ADB ＝

∴∠AED ＝∠ADE ，∴AE ＝AD

.

②当D 在C 左侧时，由①可知CD ∥AB ，∠ACD ＝∠BAE ，∠DAC ＝∠EBA ＝30°， ∴△CAD ∽△BAE

，∴AC CD ==，∴AE

. BA AE ∵BA ＝BD ，∠BAD ＝∠BDA ＝15°，∴∠IBE ＝30°.

在Rt △IBE 中，BE ＝2EI ＝2

＝2CD . ∴EB =2. CD

当D 在C 右侧时，过E 走EI ⊥AB 与I .

由①可知∠ADC ＝∠BEA ＝15°.

∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ACD ，

∴△ACD ∽△BAE ，

∴AC CD ==，∴AE

. BA AE ∵BA ＝BD ，∠BAD ＝∠BDA ＝15°，∴∠IBE ＝30°.

在Rt △IBE 中，BE ＝2EI ＝2

＝2CD . ∴EB =2. CD

综上所述，错误！不能通过编辑域代码创建对象。为定值，其值为2.