高三数学附加题训练04
2012届赣马高级中学高三数学附加题训练04
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．．．．
区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证．．．．．
明过程或演算步骤.
选修4-2：矩阵与变换
⎡1⎤1⎥⎡10⎤届南京一摸）已知矩阵A =⎢⎥, B =⎢2⎢⎥⎣02⎦⎢⎣01⎥⎦. （2012，若矩阵AB 对应的变换把直线
l ：x +y -2=0变为直线l ' ，求直线l ' 的方程.
⎡⎡10⎤⎢1答案要点：易得AB =⎢⎥ ⎢⎣02⎦⎢0⎣1⎤⎡12⎥=⎢⎥⎢1⎥⎦⎢⎣01⎤2⎥, ⎥2⎥⎦在直线l 上任取一点P (x ', y ') ，经矩阵AB
1⎧x '=x -y ⎪⎪4代入⎨⎪y '=y
⎪2⎩变换为点Q (x , y ) ，则1⎤1⎤⎡⎡⎡x ⎤⎢1⎡x '⎤⎢x '+y '⎥⎥2⎢⎥=2⎢y ⎥=⎢⎥y '⎦⎢⎣⎦⎢02⎥⎣⎥⎢2y '⎦⎥⎣⎦⎣，∴1⎧⎪x =x '+y '2，即⎨⎪⎩y =2y '
x '+y '-2=0中得x -1y y +-2=0, 42
∴直线l '的方程为4x +y -8=0
选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =1+2t , ⎧x =3cos α, 求直线⎨（t 为参数）被圆⎨（α为参数）截得的弦长． ⎩y =1-2t ⎩y =3sin α
答案要点：：把直线方程⎨⎧x =1+2t , 化为普通方程为x +y =2． y =1-2t ⎩
⎧x =3cos α, 将圆⎨化为普通方程为x 2+y 2=9． ⎩y =3sin α
圆心O
到直线的距离d ∴
弦长L ==．
⎧x =1+2t , ⎧x =3cos α, ⎨⎨y =1-2t y =3sin α所以直线⎩被圆⎩
截得的弦长为
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第22题
（2012年3月·福州市质检）假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午
第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X .
（Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变. 记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.
答案要点：（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，X B (4,0.5)， 110⎛1⎫1⎛1⎫∴P (X =0) =C 4，， =P (X =1) =C =4 ⎪ ⎪⎝2⎭16⎝2⎭4
312⎛1⎫3⎛1⎫，， P (X =2) =C 4=P (X =3) =C =4 ⎪ ⎪2824⎝⎭⎝⎭
1⎛1⎫P (X =4) =C ⎪=， ⎝2⎭164
444444
X 的分布列为
（Ⅱ）Y 的所有可能取值为3，4， P (Y =3) =P (X =3) =13， P (Y =4) =1-P (Y =3) =， 44
Y 的分布列为
第23题
已知f (x ) =1+x -x 2, g (x ) =ln
的取值范围.
11答案要点:设ϕ(x ) =f (x ) -g (x ) =1+x -x 2-ln a -ln(2x -1) , 则对任意x >, 都221若对任意x >, 都有f (x ) ≤g (x ) , 试求a 2有f (x ) ≤g (x ) , 即ϕ(x ) max ≤0, 因为ϕ'(x ) =-2x +1+14x (1-x ) =, 2x -12x -1
当110；当x >1时, ϕ'(x )
1
2ϕ(x ) 在(,1) 上时减函数, 所以ϕ(x ) max =ϕ(1)=1-ln a , 所以1-ln a ≤0, 即a ≥e 时, ϕ(x ) max ≤0, 故a 的取值范围是[e , +∞) .