三角形中位线性质的应用
三角形中位线性质的应用
三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.三角形中位线性质,兼有位置和大小关系,可以用它判定平行,计算线段的长度.
例1如图1,已知:△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN,P是BC的中点.求证:PM=PN
证明:作ME⊥AB,NF⊥AC,垂足E,F
因为△ABM、△CAN是等腰直角三角形 所以AE=EB=ME,AF=FC=NF, 根据三角形中位线性质,可知, PE=
12
12
N
AC=NF,PF=AB=ME
PE∥AC,PF∥AB
所以∠PEB=∠BAC=∠PFC
所以∠PEB+ ∠MEB=∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM=∠PFN 所以△PEM≌△PFN 所以PM=PN.
P
图1
例2如图2,已知:△ABC中,AD是角平分线,BE=CF,M、N分别是BC和EF的中点.求证:MN∥AD .
证明:连结EC,取EC的中点P,连结PM、PN
根据三角形中位线性质,可知, MP∥AB,MP=
12
12
BE,NP∥AC,NP=CF
因为BE=CF,所以MP=NP,
所以∠3=∠4=
180MPN
2
,
M
∠MPN+∠BAC=180(两边分平行的两个角相等或互补)
180MPN
2
所以∠1=∠2=, 所以∠2=∠3.
图
2
C
因为NP∥AC , 所以MN∥AD.
练一练:
1.如图3,已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点. 则①四边形EFGH是 形;
②当AC=BD时,四边形EFGH是 形; ③当AC⊥BD时,四边形EFGH是 形; ④当AC和BD 时,四边形EFGH是正方形形.
2.如图4,已知△ABC中,AB=10,AC=7,AD是角平分线,CM⊥AD于M,且N是BC
图3
的中点.求MN的长. (提示:延长CM交AB于E)
参考答案:
1. 平行四边形;菱形;矩形;垂直且相等. 2. 1.5
N
D
图4