[一次函数]经典例题解析(学生用)
类型一:正比例函数与一次函数定义
1、当m 为何值时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数?
举一反三: 【变式1】如果函数是正
比例函数,那么( ). A .m=2或m=0 B .m=2 C .m=0 D .m=1 【变式2】已知y-3与x 成正比例,且x=2时,y=7. (1)写出y 与x 之间的函数关系式; (2)当x=4时,求y 的值; (3)当y=4时,求x 的值.
类型二:待定系数法求函数解析式
2、求图象经过点(2,-1),且与
直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
举一反三:
【 变式1】已知弹簧的长度y (cm )在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x (kg )的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm ,挂4kg 的重物时,弹簧的长度是7.2cm ,求这个一次函数的表达式.
【变式2】已知直线y=2x+1.
(1)求已知直线与y 轴交点M 的坐标;
(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y 轴对称,求k ,b 的值.
【变式3】判断三点A (3,1),B (0,-2),C (4,2)是否在同一条直线上.
类型三:函数图象的应用
3、图中的图象(折线ABCDE )
描述了一汽车在某一直线上的行驶过程
中,汽车离出发地的距离s(km)和行驶时
间t(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)汽车共行驶了___________ km;
(2)汽车在行驶途中停留了
___________ h;
(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h; (4)汽车自出发后3h 至4.5h 之间行驶的方向是___________.
举一反三:
【变式1】图中,射线l 甲
、l 乙
分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s 与时间t 的函数关系,求它们行进的速度关系。
【变式2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A ,再走下坡路到达点B ,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如图所示。放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时, 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y (升)与时间x (分钟)之间的关系如图所示:
根据图象解答下列问题:
(1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升? (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.
①求排水时y 与x 之间的关系式;
②如果排水时间为 2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量.
类型四:一次函数的性质
4、己知一次函数y=kx十b 的图
象交x 轴于点A (一6,0),交y 轴于点B ,且△AOB 的面积为12,y 随x 的增大而增大,求k ,b 的值.
举一反三:
【变式1】已知关于x
的一次函数
.
(1)m 为何值时,函数的图象经过原点?
(2)m 为何值时,函数的图象经过点(0,-2)?
(3)m 为何值时,函数的图象和直线y=-x 平行?
(4)m 为何值时,y 随x 的增大而减小?
【变式2】 若直线()不经过第一象限,则k 、b
的取值范围是______,______. 【变式3】直线l 1
:与直线l 2
:
在同一坐标系中的大致位置是
( ).
A . B . C . D .
【变式4】函数在直角坐
标系中的图象可能是( ).
类型五:一次函数综合
5、已知:如图,平面直角坐标系
中,A ( 1,0),B (0,1),C (-1,0),
过点C 的直线绕C 旋转,交y 轴于点D ,交线段AB 于点E 。
(1)求∠OAB 的度数及直线AB 的解析式; (2)若△OCD 与△BDE 的面积相等,①求直线CE 的解析式;②若y 轴上的一点P 满足∠APE=45°,请直接 写出点P 的坐标。
、
举一反三:
【变式1】在长方形ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm,点P 沿边按A→B→C→D的方向向点D 运动(但不与A ,D 两点重合)。求△APD 的面积y() 与点P 所行的路程x (cm )之间的函数关系式及自变量的取值范围。
【答案】:当P 点在AB
上运动时,
当P 点在BC
上运动时,
当P 点在CD
上运动是,
∴
【变式2】如图,直线与x 轴y 轴分别交于点E 、F ,点E 的坐标为(-8,0),点A 的坐标为(-6,0)。 (1)求的值;
(2)若点P (,)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P 的运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)探究:在(2)的条件下,当点P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为,
并说明理由。
解:(1)将
E (-8,0)代入
,得;
(2)设P 点坐标为()
S=
(-8
,解得
,
代入,算出P 点纵坐
标为
当P 点的坐标
为时, △OPA 的面积为
.