关于一类超椭圆丢番图方程
第３３卷第４期
２
哈尔滨工业大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＩＮＳｒｒＩＴＵ７ＩＥＯＦ７ＩＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏｌ－３３．Ｎｏ
＾“ｇ
４
００
１年８月，２００ｌ
关于一类超椭圆丢番图方程
曾珍富
（哈尔滨工业太学数学系，黑龙江哈尔滨１５０００１）
摘要：获得求解超椭圆丢番图方程如２，‘＋口Ⅱ一。ｚ皿１＋…＋ｑｚ＋‰＝妒的快速算法，这里４，ｄ，ｋ
（０２—２）＝，和口２ｚ‘一ｚ３＋２（矿＋１）ｘ２一ｘ＋（０２＋２）＝ｙ２的全部整数解．
关麓词：超椭圆丢番图方程；高次丢番图方程；算法中田分类号：０１５６
７
Ｅ
Ｎ．
ｄ无平方因子且Ⅱ。∈ｚ（ｉ＝ｏ．１，２，…，２＾一Ｉ）．给出了超椭圆丢番图方程ｄ。ｚ４＋ｚ３＋２（。２一１）ｚ。＋ｘ＋
文献标识码：Ａ
文章编号：０３６７．６２３４（２００１）０４删＿０３
ｍｏｐｈａｎｔｉ耻ｅｑｕａｔｉｏ璐
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ｋｉｌＩｄｏｆｓＩｌｐｅｒｅｍｐｔｉｃ
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０ｆＭａｄｌｅｍａｔｉｃｓ，ＨａｒｂｉｎＩｎＢｔｉｔｕｔｅ
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１５０００ｌ，ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｋｔｏ，ｄ，矗∈Ｎ，ｎ。ＥｓｕｐｅＴｅｕｉ埘ｃ
Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ
ｚ（卜Ｏ，ｌ，…，２七一１）们ｄｄｓｑｌｌａｒｅｆｒｅｅ．Ａｆａｓｔ８１９０ｒｉｔｈｍｆｏｒ
ｄ口２ｘ２‘＋ｎ２¨ｘ¨＋…＋ⅡＩｚ＋‰。毋２
Ｄｉ叩ｂ彻矗ｎｅｅｑｕ８ｄ册ｓ
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ｉｎ把ｇ叫蚰ｌｕ６０ｎｓ口２Ｊ４＋ｚ３＋２（口２一
ｙ２．
‘
１）ｚ２＋ｚ＋（口２—２）＝广ａｎｄⅡ２ｘ４一ｘ３＋２（ａ２＋１）＊２一ｘ＋（０２＋２）２
ｗ咖ｓ：ｓｕｐｅＩｅⅡｉｐｔｉｃｄｉ叩ｈａｎｄｎｅ。ｑＬｌａｔｉｏｎ’ｈｉ曲ｅｒｄｅｇｒｅｅ
设Ｚ，Ｎ和Ｑ分别是整数．正整数和有理数
ｄｉｏｐｈ明ｔｉｎｅｅｑｕ撕ｏ“；ａｌｇｏ＾ｔｈｍ
么丢番图方程
口＊４＋＊３＋ｚ一Ⅱ＝ｙ２
的集合．本文恒假设ｏ，ｄ，＾∈Ｎ，ｄ无平方因子．众所周知．丢翻图方程
没有整数解．
ｄ口２ｐ＋口２Ｉ—ｌｘ２¨＋…＋口Ｉｚ＋Ⅱｏ＝咖２（１）
是一类重要的超椭圆方程，其中ｏ。∈ｚ（ｆ－ｏ，１，…，２＾一１）．ｓｉｅｇｅｌ…曾证明，如果式（１）的左端没有线性因子的平方，那么丢番图方程（１）仅有有限组整数解．１９８９年，ｓｉｎｈａ和ｓｉｎｇ｝Ｉ”１证明了以下两个结果：
（１）丢番图方程
ｘ４＋ｘ，＋ｘ—ｌ
２
１９９６年，本文作者与赵东滨”３曾改进了ｓｉＩｌｈａ和ｓｉｎ曲的工作，证明了较一般的两个结果：
（１）设４＋ｎ２是素数，。Ｅｚ，则丢番图方程
，＋Ⅱ，＋∞一Ｉ＝，仅有整数解１Ⅱｌ＝１，ｘ＝２３，（ｍｏｄ４），则丢番图方程
ｄ
ｌ，ｙ＝±５；
（２）设６２＋４口２是素数，ｏ，６∈ｚ，且口；２，
础４＋如３＋如一口＝，。ｚ≠ｏ
没有整数解．
１９９８年，本文作者”。又对于丢番图方程Ⅱ一＋ｚ３＋２（口一１）ｚ２＋ｘ＋（ａ一２）。ｙ２，口Ｅ
Ｎ．
ｙ２
仅有整数解ｚ＝２，ｙ＝±５；
２）如果Ｉ＋４Ⅱ２是素数，口；±２（ｍｏｄ８），那
收蔫日期：２０。Ｄ一１ｌ一２０．
基盒项目：国家自然科学基金（６９７７２０３７，６００７２０１８）；黑龙江省
自然科学基金（９８００４））资助项目
作者筒介：曹珍富（１９６２一），男，教授，博士生导师
（２）
证明了以下的结果：如果Ｊａｃｏｂｉ符号（塾蔷！）＝
１，那么丢番图方程（２）除口＝６２，，＝２，ｙ＝±５６
万方数据
哈尔滨工业大学学报
第３３卷
和ｕ一２＝６２，ｚ＝ｏ，ｙ＝±６外，无其他的整数解．这里６∈ｚ，＾；±２（ｍｏｄ６），｛仉｝表示由下式定义的Ｌｕｃａｓ序列：
Ｑ。＋２＝ｐ。＋．＋Ｑ。，Ｑ。＝２，ＱＩ＝１．设｛，。｝表示Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ序列，即有
Ｆ。．１＝Ｆ．川＋Ｆ。，Ｆｏ＝Ｏ，Ｆ１＝１．
如果ｍ∈Ｎ，那么丢番图方程
只“ｘ４＋ｚ３＋２（，；“一１）ｘ２＋
ｚ＋（，；。．一２）＝ｙ２
（３）
仅有整数解ｚ＝２，，＝±５Ｆ：。．并且部分的解
决ｒ丢番图方程
ｆ；，ｘ４一ｚ３＋２（Ｅ。＋１）ｚ２一
ｘ＋（Ｆ；。＋２）＝ｙ２
（４）
的求整数解问题．上述结果的证明见文献［５］．
最近，ｓｚａｌａｙ。“得到丢番图方程（１）当。＝ｄ＝１时一个快速的求解算法．本文的目的是给出丢番图方程（１）对于任意ｏ，ｄ的情形的求解算法．同时，应用这个求解算法解决文献［４］中的遗留问题，即证明了如下的定理．
定理设ｎ
ｅ
Ｎ，那么丢番图方程
ｎ２２４＋ｘ３＋２（Ⅱ２—１）ｘ２＋ｘ＋（口２—２）＝ｙ２（５）
和丢番图方程
Ⅱ２２４一ｘ３＋２（０２＋１）ｚ２一￡＋（。２＋２）＝广
（６）
分别仅有整数解ｚ＝２，ｙ＝±５ｎ．
这显然是方程（３）和方程（４）结果的推广．当然，也可以不限制４＋ｎ２是素数而给出丢番图
方程ｚ４＋口ｚ３＋ｎｚ—ｌ＝广的全部整数解．
１
求解算法
现在给出丢番图方程（１）的一个一般求解算
法．
设方程（１）有整数解（ｚ，ｙ），并且设，（ｚ）＝如２ｚｎ＋口２Ｉ—ｌ＊舡１＋…＋０１ｚ＋‰，这里ｎ，ｄｅ
Ｎ，ｄ无平方因子．显然，（ｚ）可以写
成
，（ｚ）＝矾２（ｚ）＋＾（ｚ），ｄｅｇ∽（ｚ））＝＾，ｄ。ｇ∽（ｚ））＜女，
（７）
这里＾（ｚ），＾（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，＾（ｘ）是首项系数为。的有理系数多项式．如果五（ｚ）＝Ｏ，那么方程（１）有无穷多组整数解，并且可能的整数解都能由（ｘ，±＾（ｚ））求出．
如果工（ｘ）≠Ｏ，那么可求出一个最小的Ａ
Ｅ
Ｎ使Ｍ（ｚ）和ＡＺ（ｘ）都是整系数多项式，即
Ｍ（ｘ），Ａｚ（ｘ）ｅｚ［ｚ］．这样，就得到两个＾次
万
方数据整系数多项式
ｇ。（ｚ）＝２ｄＭ（Ｔ）一ｄ＋ＡＺ（ｚ）
和
９２（ｚ）＝２ｄＭ（ｚ）＋ｄ—ＡＺ（ｘ）．
在实数范围内，求出方程ｇ。（ｚ）＝０和ｇ：（ｚ）＝ｏ的全部解，并设这些解中最小与最大的一个分别为ｒ．、ｒ：．分两种情形：
（１）对区间！ｒ．，ｒ：］中的每一个整数ｘ计算
以ｚ）的值．如果以ｚ）是一个整数的平方，则得到方程（１）的整数解（ｚ，±ｙ）；
（２）对于整数ｚ岳［ｒ．，ｒ２］，由于ｇ。（』）和ｇ：（ｘ）的首项系数足正的，所以必有ｇ．（ｘ）＞Ｏ，
ｇ：（ｚ）＞ｏ或当矗为奇数时９１（ｘ）＜ｏ，ｇ：（ｚ）＜
Ｏ．
对于ｇ．（』）＞０。＆（Ｙ）＞０的情形，有
一２ｄＭ（￡）＋ｄ＜ＡＺ（ｘ）＜２ｄＭ（Ｔ）＋ｄ．两个不等式两端同时加上ｎＺ（ｚ），得
ｄ（Ｍ（ｚ）一１）２＜＾２（胡（ｚ）＋正（ｘ））＜ｄ（Ｍ（ｚ）＋１）２．
（８）
由方程（１），式（７）、（８）知
（Ｍ（ｚ）一１）２＜＾２ｙ２＜（Ｍ（ｚ）＋１）２（９）
由于当ｘ是整数时，（Ｍ（ｚ）一１）２与（＾＾（ｚ）＋
１）２是两个相差２的整数的平方，所以式（９）表明ｙ２＝』２（ｘ），故由式（１）、（７）知，厶（ｚ）＝ｏ．此时只需求出方程正（ｘ）＝ｏ的全部整数解ｚ，即可得到方程（１）的所有可能的整数解（ｚ±■（＊））．
对于ｇ。（ｚ）＜Ｏ，ｇ：（ｘ）＜０的情形，同理可
得广＝＾２（＊）．故类似的由求出方程五（ｘ）＝ｏ
的全部整数解ｘ而得到方程（１）的所有可能的整数解（ｘ，±＾（ｘ））．
上述算法表明，形如方程（１）的超椭圆丢番图方程的求解问题可以较容易的获得解决．
２算法的应用
本节利用前面提出的求解方程（１）的算法，给出一些具体的形如方程（１）的超椭圆丢番图方程的求解例子．２．１定理的证明
首先给出定理的证明．由于证明方法相同，仅给出方程（６）仅有整数解ｚ＝２，ｙ＝±５。的证
明．
对于八ｚ）＝ａ２ｘ４一ｘ３＋２（口２＋１）ｚ２一ｚ＋（Ⅱ２＋２），这里ａ∈Ｎ，首先求出＾（＃），五（ｚ）ｅＱ［ｚ］如下：
＾ｃｚ，＝。ｚ２一刍＋（。＋吉一士），
第４期
曹珍富：关于一类超椭圆丢番图方程
＾ｃｚ，＝（÷一去）ｘ＋（一砉＋去一赤）．
显然，Ａ＝８０３是最小的正整数使“（ｘ）和ＡＺ（ｚ）都是整系数多项式、于是得到两个２次整
系数多项式
ｇ
Ｌ（ｚ）＝１６口４２２＋１６Ⅱ２（４口２～１）ｘ＋
（一３２口４＋２４口２—４）．
＆（ｚ）＝１６０４２２一“０４ｚ＋（６４ｎ４—８ｎ２）．利用一元二次方程的解法ｒ．＝一２＋Ｉ／２ｎ２一／６—７／２口２＋】／２日４，■＝２＋ｌ／√２口．由此可见，区间［ｒ。，ｒ２】中的整数＊仅可能为一４、一３、一２、一ｌ、ｏ、ｌ、２．分别代人“ｚ）中计算知
，（一４）＝１７２ｎ２＋６・１７，／（一３）＝】０２口２＋５・１０，“一２）＝５２Ⅱ２＋４－５，，（一１）＝４ｎ２＋６，／（Ｏ）＝ｄ。＋２，八１）＝４∥＋２，，（２）＝２５口２，这时方程（１）仅有整数解（ｚ，ｙ）＝（２，±５ｄ），由于方程正（ｚ）＝０显然没有整数解，从而得到方程（１）的所有整数解仅有（２，±５口）．证毕．
用类似的方法，能够给出丢番图方程ｘ４＋ｏｘ３＋Ⅱ』一１＝ｙ２的全部整数解．２．２算法的其他应甩举例
例丢番图方程
２２４＋ｘ３＋１＝２ｖ２
（１０）
仅有整数解ｚ＝一Ｉ，ｙ＝±１．
证明对于，（ｚ）＝２２４＋ｘ３＋１，求出＾（ｘ），工（。）ｅＪＱ［ｚ］如下：
＾（ｚ）＝ｚ２＋｝一壶，正（ｚ）＝参＋豪．
显然，Ａ＝３２是最小的正整数使Ｍ（ｘ）和＾Ｚ（ｘ）都是整系数多项式．于是得到两个２次整
系数多项式：
万
方数据ｇｌ（ｘ）＝８（１６２２＋８ｚ＋１２７），ｇ：（ｘ）＝１２８（ｚ２—８）．
利用一元二次方程的解法ｒ。＝一２在，ｒ：＝２厄．
由此可见，区间［＿，乃］中的整数。仅可能为～２、一ｌ、Ｏ、ｌ、２．由于ｘ＝０，±２时式（１０）左边是奇数，式（１０）此时不成立．又八一１）＝２，，（１）＝４，这时给出方程（１）仅有整数解（ｚ，ｙ）＝（一ｌ，±１）．由于方程五（ｘ）＝０显然没有整数解ｘ，从而得到方程（１０）的所有整数解仅有（ｘ，ｙ）＝（一ｌ，±ｉ）．证毕．
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Ｆ够ｔａ１９０ｄｔｈｍ
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ｅｑｕａｄｎ３０ｆｃｅｎａｉｎ‘ｙｐｅｓ［Ｊ］．ＡｃｔａＡｃａｄ
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（责任编辑王小唯）
关于一类超椭圆丢番图方程
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
曹珍富
哈尔滨工业大学数学系
哈尔滨工业大学学报
JOURNAL OF HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY2001,33(4)1次
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引用本文格式：曹珍富 关于一类超椭圆丢番图方程[期刊论文]-哈尔滨工业大学学报 2001(4)