正弦定理试题及答案
1. 一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ） A.26 B.36 C.22 D.3
2［答案］ C
2. 已知△ABC 中，a =1,b =, ∠A =30°, 则∠B =（ ） A.
［解析］ 设所求边长为x, 由正弦定理得，
x 4
=, ∴x =22, 故选C.
sin 30︒sin 45︒
5π2ππ2π
B. C. 或π D. π或
633336
［解析］ 由
［答案］ C
a b b sin A π23·sin 30︒ 3
＝, 得sin B =, ∴sin B = =, ∴B =或π. sin A sin B a 3312
3. 已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B.
：2：1 C. ：2：1 D.2：：
1
=1：
［答案］ D ∴A =90°, B =60°, C =30°∴a ：b ：c =sinA ：sin B ：sin C
二、填空题
4. 在△ABC 中，若b =1,c =, ∠C =
3
2
：
1
=2：3：1. 2
2π
, 则a =31
1
［答案］1由正弦定理，得
=, ∴sin B =. ∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角，∴∠B =
sin B 2sin
3
ππ
, ∴∠A =, ∴a=b=1. 66
5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c =［答案］ 2
［解析］ 由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°，∵
1
b c
= sin B sin C
b sin C 2sin 30︒22⨯
=2. ∴c ===
sin B sin 45︒2
2
三、解答题
6. 在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C=180°, ∴C =105°. ∵
b c c sin B 10
sin 30︒=, ∴b ==, sin B sin C sin C sin 105︒
又∵sin105°=sin(60°＋45°) ＝
36+2212
×+×=, ∴b=5(6-2).
22422
1. 在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）
A. a>bsin A B. a=bsin A C. a
2. 在△ABC 中，已知（b+c) ：(c+a) ：(a+b)=4：5：6, 则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：
3
C.3：5：7 D.4：5：6
a b b sin A 1
＝, ∴a =, 在△ABC 中，0
［答案］ B ［解析］ 设b+c=4x , c+a=5x , a+b=6x (x >0),从而解出a =∴a ：b ：c =7：5：3. ∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.
753
x , b =x , c =x . 222
3. 已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（
） A.75° B.60° ［答案］ B ［解析］ 由题意，得
4. 不解三角形，下列判断中不正确的是 ( ) A. a =7,b =14,A =30°, 有两解C. a =6,b =9,A =45°, 无解［答案］ A
B. a =30,b =25,A =150°, 有一解
C.45° D.30°
1×4×3sin C ＝3, ∴sin C =, 又0°
D. b =9,c =10,B =60°, 有两解
［解析］ 对于A ，由于a=bsin A , 故应有一解；对于B ，a>b, A =150°, 故应有一解；对于C, a
故无解；对于D ，c sin B
π
，则A 等于（
） 6
πππ3ππ2πA. B. C. 或 D. 或［答案］ C
434433
5. △ABC 中，a =2,b =2，B=［解析］ ∵
6.(2012·潍坊高二期末) 在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（
） A.-
a b 3ππ2
=, ∴sin A =, ∴A =或A =, sin A sin B 442
∵a ＞b , ∴A ＞B , ∴A =
π3π
或, ∴选C.
44
22226
B. C.- D. 3333
10⨯
3
=3
. 153
［答案］ D ［解析］ 由正弦定理，得
151010sin 60︒
=∴sin B ==
sin 60︒sin B 15
∵a>b,A=60°, ∴B 为锐角. ∴cos B =-sin 2B =-（
7. 在△ABC 中，a =10,B =60°, C =45°, 则c 等于 ( ) A.10+ B.10（3-1
）
6
32
. ）=33
C.10（+1） D.103
［答案］ B ［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
6+2
, 4
c=
a sin C 10⨯sin 45︒
==10(3-1) . sin A sin 75︒
8. 已知△ABC 中，a=x，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A. x >2 B. x
二、填空题
9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝
C.2
π
, a =, b =1,则c =3
［答案］2［解析由正弦定理得sin B =
b πππ-131·sin A =×=, 又∵b =1
由勾股定理得c =a 2+b 2=+3=2.
10. 在△ABC 中，A =60°, C =45°, b =2.则此三角形的最小边长为. ［答案］ 2-2 ［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c , 由正弦定理，得
b c
＝, sin B sin C
∴
c 236+2221=],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=×+×＝,
sin 75︒sin 45︒22422
22⨯sin 45︒＝23-2. ∴c =＝sin 75︒6+2
4
2⨯
11. △ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c . 若a =
b , A =2B , 则cos B =. ［答案］ 2 4
a sin A sin A s in 2B 5［解析］ 由正弦定理，得 =, ∴a =b 可转化为=. 又∵A =2B ，∴=, ∴cos B =.
b sin B sin B 2s in B 224
12. 在△ABC 中，已知tan B =,cos C =［答案］ 62+81
, AC =36, 求△ABC 的面积3
［解析］ 设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b .
由tan B =3, 得B ＝60°，∴sin B =
1132
2
，cos B =. 又cos C =, ∴sin C =-cos 2C ＝.
2322
22
3=8.2
由正弦定理，得c =
b sin C 3
=sin B
6⨯
又∵sin A =sin(B+C)=sinB cos C +cosB sin C =
32+, 63
∴S △ABC =
112
bc sin A =×36×8×(+)=62+8. 2263
三、解答题
13. 在△ABC 中，已知a =, b =2, B =45°，求A 、C 及边c .
［解析］ 由正弦定理得，sin A =
a sin B ⨯sin 45︒
=＝b 2
⨯
2
2 =
，
2∵a ＞b , ∴A ＞B=45∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°，
36+2221
sin75°=sin(45°+30°)= ×+×=,
22422
当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°，
2⨯b sin C 2sin 75︒
c===sin B sin 45︒2
2
-
2,
4
6+
2=
6+2
， 2
sin15°=sin(45°-30°)=
6-2 b sin C 6-26+22⨯-22sin 15︒c =＝= =∴A =60°, C =75°, c ＝，或A =120°，C =15°，c =. 4
sin B 222sin 45︒2
2
14. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =
πB 2,cos =，求△ABC 的面积. 425
［解析］ 由题意知cos
B 25
=, 25
cos B =2cos2
3B
-1=，
52
B 为锐角,
2 10
. 2=7
7210
∴sin B =
4, 5
sin A =sin(π-B-C ) =sin(
3a sin C 72π-B )= 由正弦定理，得c ＝=5sin A 10
2⨯
∴S △ABC =
111048
ac sin B =×2××=. 22577
15. 已知方程x 2-(b cos A ) x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.
［解析］ 设方程的两根为x 1、x 2, 由韦达定理得
x 1+x 2=b cos A , x 1x 2=a cos B , 由题意得b cos A =a cos B ,
由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sinA cos B -cos A sin B =0.
即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π. ∴A-B =0，即A=B. ∴△ABC 为等腰三角形.
16. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c . 且b=acos C , 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为
1
. （1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积. 3
［解析］ （1）因为b=acos C , 所以由正弦定理得： sin B =sinA cos C ,
从而sin(A+C)=sinA cos C , 所以sin A cos C +cosA sin C =sinA cos C ；所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0. 所以cos A
=0
所以∠A =
π
, 所以△ABC 为直角三角形. 3
c 11
=12,且sin C =, ∴c =4,从而b =a 2-c 2=82, ∴S △ABC =bc =162
. sin C 32
(2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则