从一道多解题看平面向量数量积的求法
平面向量数量积是平面向量一章中的重要内容,也是高考考查的热点.本文通过一道多解题介绍平面向量数量积的五种解法. 例题,如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AD=CD=2,AB=3,O为线段CD的中点,求■·■. 解法一:(定义法)过点O作OH⊥AB于H,△OHB则为直角三角形,其中OH=DA=2. ∵O为线段CD的中点,∴OD=OC=1, BH=AB-HA=AB-OD=2,∴|■|=■=2■. 在△OHB中,|■|=■=■, 又S■=■AB×OH=■×|■|×|■|×sin∠AOB, sin∠AOB=■=■=■,∴cos∠AOB=■, ∴■·■=|■||■|cos∠AOB=2■×5×■=2点评:平面向量数量积的公式:■·■=|■||■|cos,由定义知,欲求两个平面向量的数量积只需求这两个平面向量的模和夹角就可以了,这也是求平面向量数量积最根本的方法. 解法二:(坐标法)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,则点A(0,0),B(3,0),D(0,2),C(2,2),因为O为线段CD中点,所以O的坐标为(1,2),则■=(-1,-2),■=(2,-2), ∴■·■=-1×2+(-2)×(-2)=2. 点评:题目中有明显的直角,通过建立直角坐标系,表示出各点的坐标,算出相应的向量的坐标,利用数量积的坐标公式计算出来,简单易操作,是平面向量数量积的常用求法. 解法三:(转化法)由已知可得|■|=2,|■|=3,■·■=0 又■=■+■=-■■-■,■=■+■+■=■■-■ ∴■·■=(-■■-■)·(■■-■)=-■■■+■■=-2+4=2 点评:在求两个平面向量数量积时,这两个平面向量的模和夹角不容易求出时,经常用其他已知或容易算出模和夹角的两个不共线向量来表示这两个向量,这样未知难求的向量数量积就转化为已知易求的向量的数量积,问题得以解决,也体现了等价转化的思想. 解法四:(投影法)过点A作AG⊥OB于G,则■在■方向上的投影为■,由解法一可知∠OBA=45°,∴|■|=|■|=■■, ∴|■|=|■|-|■|=2■-■■=■. ∴■·■=■·■=|■||■|=2■×■=2 点评:两个向量的数量积等于其中一个向量的模乘以另一个向量在这个向量方向上的投影.若容易找到一个向量在另一个向量方向上的投影,运用定义求数量积就会使解题过程简洁、清新. 解法五:(公式法)取AB中点M,连接OM,则■+■=2■ 在直角梯形ODAM中,|■|■=■■+2■=■, ∴■·■=■=■=■=2. 点评:应用公式■·■=■解数量积,有时能达到事半功倍的效果.