线性代数试题及答案
答案在最后面
班级姓名
(符号说明:E 表示单位矩阵,R 表示矩阵的秩,一、填空题(每题3分,共15分) ⎛1
1.设3阶矩阵A =0
2⎝
113
1⎫⎛1⎪ 2, B =0⎪ ⎪ 04⎭⎝
220
表示行列式,T 表示矩阵的转置。)
3⎫
⎪
5,则AB = 。 ⎪6⎪⎭
2.设三阶矩阵A 的特征值为1,-1,3,再设B =A 3-5A 2, 则B = . 。 3.设n 阶矩阵A 的各行元素之和等于零,且A 的秩为n -1,则齐次线性方程组A X =0的
通解为 。 4.设向量α=(2,
1k
, -1, 0) , β=(0,1,k , -1) 为属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向
T
T
量,则k = 。
5.已知A 2-A -2E =0,则A -1=。 二、选择题(每题3分,共15分)
⎛-2⎫⎛-1⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪ ⎪1-31 ⎪ ⎪ ⎪
1.设齐次方程组A X =0的一个基础解系为α1= 1⎪, α2= 0⎪, α3= 0⎪,则
⎪ ⎪ ⎪01 ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
( ).
(A ) R (A ) =5 (B ) R (A ) =4 (C ) R (A ) =3 (D ) R (A ) =2
2.设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值λ1, λ2, , λs ,而且R (λi E -A ) =n -r i , i =1, 2, , s 。
如果A 与对角矩阵相似,则( ).
s
s
i
s
i
s
i
(A)
∑r
i =1
≤n (B )
∑r
i =1
≥n (C)
∑r
i =1
=n (D)
∑r
i =1
i
≠n
3. 若向量组α1, α2, α3线性无关,向量组α1, α2, α4线性相关, 则 ( ).
(A ) α4必不可由α1, α2, α3线性表示 (B ) α4必可由α1, α2, α3线性表示
(C ) α2必不可由α1, α3, α4线性表示 (D ) α2必可由α1, α3, α4线性表示
4. 设m ⨯n 阶矩阵R (A ) =r , 则如下结论正确的是( ).
(A )R (A T A ) =R (A ) (B)R (A T A ) R (A ) (D) R (A T A ) ≠R (A T ) 5. 对于矩阵方程A B =A C ,以下结论正确的是( ).
(A) B =C (B)B ≠C (C)如A 可逆, 则B =C (D )以上均不正确. 三、(10分) 计算下行列式
x +a 1a 1
a 2x +a 2
a 2 a 2
+x a 3a 3a 3
a 3
+x
n n n
a a a D =
a 1 a 1
n
⎛2
四、(10分)设三阶矩阵A = 4
-1⎝
X .
052
0⎫⎪
0满足矩阵方程AX +A 2=3X +9E ,试求矩阵⎪4⎪⎭
五、(14分)设向量α1=(3,2,1, 3), α2=(1,-3, -1, -4), α3=(7,1,1,2), α4=(-1,1, -3, -2),
α5=(0,7, -4, 3) ,求向量组的秩和极大无关组,并把极大无关组以外的向量用极大无关
组线性表示.
六、(13分)当a , b 为何值时,线性非齐次方程组
x 3+x 4=0⎧x 1+x 2+
⎪
3x 3+3x 4=1⎪x 1+2x 2+
⎨
-x 2+(a -3) x -2x 4=b 3⎪
⎪3x +2x +x 3+a x 4=-12⎩1
无解、有唯一解、或有无穷多组解?在有无穷多解时,求出其通解.
222
七、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+3x 2+3x 3+4x 2x 3,试回答下列问题
1) 写出此二次型的矩阵A ;
2) 利用正交变换X =QY 该二次型化为标准型,并给出所使用的正交变换和标准型; 3) 判断该二次型是否具有正定性。
八、(8分)Housesholder 矩阵是计算数学中一类重要的变换(镜面反射)方法,一般用来化
矩阵为上Hesseberg 矩阵。设实向量u =(u 1, u 2, , u n ) T 且u T u =1,则其一般形式为
T
H =E -2uu 试回答下列问题:
1) 证明:Householder 矩阵是实对称正交矩阵; (3分)
2) 证明:一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或-1,并确定Householder 矩阵的特征值(3
分) 3)
对于u =
一、填空题(每题3分,共15分)
(1) 0 (2.) -432 (3) k (1,1, ,1) T , k 为任意常数. (4) 1或-1 (5)1/2(A -E ) . 二、选择题(每题3分,共15分) (1) D (2) C (3) B (4) A (5) C 三、(10分)
n
T
,1) ,试给出此Householder 矩阵属于各特征值的特征向量. (2分)
x +
x +a 1a 1
a 2x +a 2a 2 a 2
a 3a 3x +a 3 a 3
a n a n a n x +a n
x +=x +x +
∑a
i =1n
i
a 2x +a 2a 2
a 3a 3x +a 3 a 3
a n a n a n x +a n
∑a
i =1n
i
解:D =
a 1 a 1
∑a
i =1
i
n
∑a
i =1
i
a 2
(从第二列至第n 列加到第1列)――――――――――――――――――――5分
1
n
a 2x +a 2a 2 a 20x 0 0
00x 0
a 3a 3x +a 3 a 3
00
a n a n a n x +a n
1
i
=(x +
∑a )
i =1
111
(提取公因子)
n
1
i
=(x +
∑a )
i =1
11
0(c i -a i c 1(i ≥2) )――――――――――8分 x
n
=x
n -1
(x +
∑a ) ―――――――――――――――――――――――10分
i
i =1
四、(10分)解:由AX +A 2=3X +9E 得
(A -3E ) X =-(A -3E ) (A +3―――――――6分 E 又A -3E ≠0,故A -3E 可逆,上式两边同时左乘(A -3E ) -1得
00⎫⎛-5
⎪
X =-(A +3E ) = -4-8⎪0。――――――――10分
1⎪-2-7⎝⎭
T T T
五、(14分)解:以α1, α2, , α2为列生成矩阵A ,并对A 施行初等行变换将其化为行
最简形. ⎛3
2A =
1 ⎝3
r 2-2r 131r 4-3r 1
1-3-
1-4⎛1 0 0 ⎝0⎛1 0 0 ⎝0
7112
-11-3-2-1-14-1-1-100
0⎫⎪7
⎪r r 13
-4⎪3⎭1-14-11-100
-3787-3790
⎛1 2 3 ⎝3
-1-31-4
1-3-⎫4
⎪
117
⎪ ⎪7-10⎪
2-23⎭⎛1 0 0 ⎝0
-1
-3-⎫4
⎪
-1-1715
⎪ ⎪1123⎪
0000⎭⎛1 0 0 ⎝0
-1100
1-3
-⎫4⎪
1-7-15
⎪―6分 ⎪012⎪
000⎭1
-4⎫
42⎪15⎭
r 3+r 2
-4⎫⎪
-r 15
⎪2
1/9r 318⎪
⎪0⎭
r 2+7r 3r 1+3r 3
⎛1 0 0 ⎝0
-1100
1100
0010
2⎫⎛1⎪ -10⎪ r +r
12
02⎪
⎪ 0⎭⎝0
0100
2100
1⎫
⎪0-1
⎪―――8分 ⎪12⎪00⎭
所以R (α1, , α5) =3,一个极大无关组为α1, α2, α4,―――――――(12分) 且α3=2α1+α2, α5=α1-α2+2α4. ―――――――――――――――(14分) 六、(13分)对方程组的增广矩阵进行初等行变换 ⎛1
1
(A |b ) =
0 ⎝3
12
13
1 3
0⎫⎪
r -r 11
⎪2
r 3-3r 1b ⎪⎪-⎭1
⎛1
0 0 ⎝0
11
12
12
0⎫⎪1⎪ b ⎪⎪-⎭1
-1a -3-2 211
112a
120
-1a -3-1
-2
-2 a -
3
⎛1
r 3+r 20
0r 4+r 2
⎝0
0a -10
a -1
0⎫⎪1
⎪=B ------------------------5分 b +⎪1
⎪0⎭
显然可见: 当a =1, b ≠-1时方程组无解,当a ≠1时方程组有唯一解,当a =1, b =-1时方程组有无穷多组解. ――――――――――――――――――――――――8分 当a =1, b =-1时继续将矩阵B 化为行最简形得 ⎛1 0 B = 0 ⎝0
1100
1200
1200
0⎫⎛1⎪ 10⎪ r -r
12
00⎪
⎪ 0⎭⎝0
0-1-1 100
200
2 0 0
-⎫1
⎪1⎪ ⎪0⎪0⎭
与原方程组等价的方程组为 ⎧x 1=-1+x 3+x 4
⎨
⎩x 2=1-2x 3-2x 4
⎛-1⎫ ⎪1⎛x 3⎫⎛0⎫
令 ⎪= ⎪,得原方程组的一个特解为η= ⎪。――――――――11分
0⎪⎝x 4⎭⎝0⎭
⎪0⎝⎭
⎧x 1=x 3+x 4
与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 ⎨
x =2x -2x 34⎩2
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪-2-2⎛x 3⎫⎛1⎫⎛0⎫
⎪, η= ⎪. 令 ⎪= ⎪, ⎪得齐次方程组的一个基础解系为η1= 2
1⎪ 0⎪⎝x 4⎭⎝0⎭⎝1⎭
⎪ ⎪01⎝⎭⎝⎭
故原方程组有无穷多组解时的通解为X =η+k 1η1+k 2η2,k 1, k 2为任意常数. ―――13分 七、(15分)解:1)二次型的矩阵为 ⎛2
A =0
0⎝
032
0⎫⎪
2―――――――――――――3分 ⎪⎪3⎭
2)先计算矩阵的特征多项式
2-λ
03-λ2
03-λ
=(2-λ
) (-1λ
) (-λ 5
)
f A (λ) =A -λ0
故矩阵的特征值分别为λ1=1, λ2=2, λ3=5. ――――――――――――6分 再计算矩阵的属于各特征值的特征向量:
当λ1=1时,求解方程组(A -λ1E ) x =
0得一个特征向量为q 1=1/
-1,1) .
T
T
当λ2=2时,求解方程组(A -λ2E ) x =0得一个特征向量为q 2=(1,0, 0) .
当λ3=5时,求解方程组(A -λ3E ) x =
0得一个特征向量为q 2=1/
.
T
令Q =(q 1, q 2, q 3) ,作变换X =QY ,则此变换即为正交变换,该二次型在此变换下的标准型为f (y 1, y 2, y 3) =y 1+2y 2+5y 3。――――――――――――12分
3)因为矩阵的特征值都是正的,故该二次型为正定二次型. ―――――――15分 八、1)显然H 为实矩阵,又 H
T
222
=(E -2u u ) =E -2u u =,H
T
2
T
T
T T T
-2u u ) =. E H H =H =(E -2u u ) (E
所以H 为实对称正交矩阵. ――――――――――――――――――――3分 2) 设x 是实对称矩阵正交矩阵H 的属于特征值λ的特征向量,则
x x =x Ex =x H H x =(H x , H x ) =(λx , λx ) =λx x ,
T
而x x ≠0,则必有λ=1或-1. 容易验证 H u =-u ,即-1是H 的一个特征值,设v 是和u
T
T
T
T
2
T
正交的非零向量,则有H v =v ,又R(u)=1,这种非零向量v 可以求出n -1个。所以1是H 的n -1重特征值。―――――――――――――――――――――――――6分
3)由2
)可知u =
T
1, , 1) 是H 的属于特征值-1的一个特征向量,而方程组
x 1+x 2+ +x n =0的一个基础解系即为属于特征值1的n -1个特征向量,比如
η1=(-1, 1, 0,
T
, 0η2) =,
-(
1, 0, 1, 0 , η, 0) =, -, n -1
T
( 1, 0,
T
, 0, 1) .
即是属于特征值1的n -1个特征向量。―――――――――――――――8分