数学专业发展前沿学习心得

数学专业发展前沿学习心得

李阳 数学0801 40763014

数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。

基础数学的知识与是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚 及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因着和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。

今日，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，但之后会发现许多应用。

1. 运筹与最优化

1）历史上的运筹·最优化问题

古老的运筹问题：道路交通设计

今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？

2）运筹学的应用领域：

军事 经济 计划 金融 物理 化学 生物

信息 分类 人工智能 图像处理 数字信号处理 医疗 社会学

天文 工业设计 航空航天 农业 通信 等等

3）从线性规划到整数规划

线性规划的可行域为空间中的超多面体；

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法

单纯形方法

椭球法

内点法（障碍法）

单纯形法

Dantzig, 1947: 单纯形法；

Lemke, 1954; Beale, 1954: 对偶单纯形法；

Dantzig, 1953: 改进单纯形法

椭球法

Shor, 1970 - 1979

Yudin & Nemirovskii, 1976

Khachiyan, 1979

M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver, 1988

给定一个线性规划，如何能求得一个可行解？

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法：不会再有人用了

单纯形方法：很不错

对偶单纯形方法：更好

椭球法：理论上还算有意思

内点法/障碍法：经常是最快的

能够在较短时间内求解的LP 规模

500,000 个变量

5,000,000 个约束

比较容易解的整数规划：

最小支撑树；

匹配问题；

最大流问题；

最小费用流问题；

整数规划问题的解法：

分支定界；

割平面。

TSP 问题及其应用

上界：近似求解方法

下界：LP 松弛

TSP 问题的工业应用：芯片制造 打孔

2. 数学中的“混沌”

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N. 洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。

与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。

混沌系统对初始条件很敏感。

3. 多尺度数学方法在材料科学凝固过程中的应用

1）数学流体力学发展历史的回顾

主要是航空航天产业的百年辉煌，从人类历史上第一次飞行到向宇宙深处的不断探索，涉及到了理想不可压缩流体的绕流问题。

2）材料科学中金属凝固理论研究进展

背景：材料是人类文明的物质基础，是社会进步和高新技术发展的先导。自20世纪70年代开始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术列为高新技术革命的重要标志。新材料技术的研究、开发与应用反映了一个国家的科学技术和工业化水平。

典型凝固加工的加工技术、理论体系和工艺技术：

理论进展有：

a ． 液固相变形核理论-----1940s-50s 年代，Turnbull 建立了液—固相变中的形核理论

b ． 晶体界面生长动力学理论-----1951年Burton 、Cabrera 和Frank 建立了晶体光滑界面的结构模型与生长动力学理论

c. 成分过冷理论-----1953年Chalmers 等提出了界面稳定性概念和成分过冷理论，揭示单相凝固组织出现复杂形态的内在原因

d . 界面稳定性线性动力学理论-----1963和1964年Mullins 和Sekerka 提出界面稳定性的线性动力学理论, 确立界面稳定性与溶质边界层、温度梯度和界面能的关系。

目前的研究方法：

（1）实验方法 合金成分的优化、组织性能的测试、组织形态的形成机制

（2）数值模拟的方法 计算材料科学、利用相场法模拟组织与形态等

（3）数学物理的方法 利用数学方法建立数学模型，分析求解微分方程

3）多尺度数学方法数学在材料科学凝固过程中的应用-----数学物理中的渐近方法

研究背景：新材料的开发与应用，提出了大量的旨在探究与揭示现象的物理本质与机制的基础性课题。对各种形态材料生长系统中的研究，人们发现，复杂纷纭、形态各异地出现在自然界的动力学现象，能呈现出一些普遍的共性特征。服从于具有相似的数学形式的规律； 并且能运用共同的数学概念、途径、工具进行研究。

一些重要的、基础研究领域与学科方向：

微米尺度上的材料生长与制备过程动力学的研究；

纳米尺度上的材料生长与制备过程动力学的研究；

宏观尺度上的材料生长与制备过程动力学的研究。

4. 现代控制理论

1）定义：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。

2）现代控制理论的发展过程：现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。1960～1961年，美国学者R.E. 卡尔曼和R.S. 布什建立了卡尔曼-布什滤波理论, 因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立。

现代控制理论所包含的学科内容十分广泛, 主要的方面有:线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。

线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。

5. 微分方程理论与应用

1）主要内容：边界层传输问题研究

2）研究方向：常微分方程、泛函微分方程的稳定性与定性理论、解析数论及其应用、非牛顿流体力学 、生物数学

3）研究内容：非线性传输问题的动力学基础及定性行为；传输问题非线性微分方程的近似

解析分析方法；分形介质动力学与分数维粘弹性流体的解析理论；微分方程非线性边界值问题；微分方程理论在非线性动力学系统中的应用研究等

4）边界层传输问题研究：研究背景、数学描述、实验台的搭建与测试方法、数值模拟、 理论分析和近似计算

5）边界层：流体在大雷诺数下绕壁面流动时，可把流体的粘性和导热看成集中作用在流体壁面的薄层，即边界层内

6）研究背景：边界层传输问题研究内容，边界层传输问题大多通过分析边界层内微元体的动量、热量和质量守恒，采用一组非线性偏微分方程组进行数学描述；

求解通量守恒方程组来分析确定边界层内速度、温度和浓度分布，探析边界层内剧烈的动量、热量和质量传递规律。 得出工程中需要的重要参数——物面上的摩擦阻力和传热量。

7）边界层问题研究：研究背景、数学描述、实验台的搭建与测试方法、数值模拟、 理论分析和近似计算

8）利用拆分思想改进同伦分析方法，定义并建立了同伦拆分法。基于一系列合理的假设，完成同伦拆分方法的收敛性的证明，首次为使用提供了理论依据。利用收敛定理求解实际流体边界层问题，验证了理论研究的科学性和有效性，初步做到理论与实际结合。

9）渐近方法在边界层问题中应用

求解思路：本课题是非牛顿磁性流体边界层问题上的渐近解研究，求解思路是先引入流函数利用李群变换对现有的边界层无量纲非线性偏微分方程组进行转化，转化成一个常微分方程，将一个描述边界层流动的偏微分方程转化成非线性边值问题来求解；然后同伦分析方法进行求解. 研究幂率速度运动表面非牛顿磁流体边界层问题，结合Adomian 拆分方法和同伦拆分方法进行求解。随磁场参数 的增加，壁摩擦力增大；随幂律指数的增大，壁摩擦力减小。磁性参数M 的增加，壁面摩擦力增大（两种相符）。随磁性参数M 的增加，流体无量纲速度变小。

心得收获：

通过小学期的学习，我了解了本专业的培养目标，基本规格，培养目标，就业状况以及学习专业知识的基本要求和能力素质等。在专业学习中，我们应该运用所学的知识进行创造性思维，提出新思路，拓宽思路。平时多参加数学建模，计算机应用大赛等，提高自己的动手的实践能力与思维能力。总之，通过学习我们要培养自己良好的数学素质，能运用所学的知识与技能去分析和解决相关的实际问题，成为一名专业知识精深的人才。