球坐标下用换元法求椭球积分
01-12
x 2y 2z 2
2直角坐标系中一椭球面 2+2+2=R ，求其围成的体积V 。 a b c
解：求体积V 也就是求密度为f(x , y , z ) =1体积为V 的质量，即：V =⎰⎰⎰f(x , y , z ) dxdydz
Ω
⎧X =⎪⎪y ，2222换元法，令⎨Y =代入椭球面得：X +Y +Z =R , 即在XYZ 空间下其为一球面。 ⎪⎪Z =⎩
代入积分表达式得：V =abc ⎰⎰⎰f(aX , bY , cZ ) dXdYdZ =abc ⎰⎰⎰dXdYdZ ，问题就转化为
OO
在直角坐标系XYZ 下求球面X +Y +Z =R 围成的几何体积。我们可以用球坐标简单求的： 2222
⎧X =r sin θcos ϕ⎪令⎨Y =r sin θsin ϕ，则：dXdYdZ =r 2sin θdrd θd ϕ，所以体积 ⎪Z =r cos θ⎩
V =abc ⎰r dr ∙⎰sin θd θ∙⎰d ϕ000R 2π2π
1=abc ∙R 3∙2∙2π3
4πR 3
=abc 3