小五奥数 专题一 数阵图
小五奥数 专题一 数阵图
数阵图就是将一些数,按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。
类型一般分为三种:辐射型数阵图;封闭型数阵图;复合型数阵图
一、辐射型数阵图
例一,把1~8这8个数填入下面的□中,使每一横行、每一竖列相邻的三个数的和相等。
解答:设中心数为a ,中心数在求和过程中使用了2次。 每条边上的3数之和为k 。
3k =(1+2+3+4+5+6+7+8) +a
=36+a
k =(36+a ) ÷3
经实验:
当a =3时,k =39÷3=13;
当a =6时,k =42÷3=14。
例二,请你将1~7这七个数分别填在○内,使每条线段上的三个数的和相等。
解答: 设中心数为a ,中心数在求和过程中使用了3次。 每条边上的3数之和为k 。
3k =(1+2+3+4+5+6+7) +2a
=28+2a
k =(28+2a ) ÷3
经实验:当a =1时,k =30÷3=10;
当a =4时,k =36÷3=12,
当a =7时,k =42÷3=14。
例三,请你将1~7这七个数字填入下图的○中,使每条线段上的三个○内的数的和相等。
分析:设中心数为a ,中心数在计算和的过程中用到了3次。 解答:每条边上的3数之和为k 。
3k =(1+2+3+4+5+6+7) +2a
=28+2a
k =(28+2a ) ÷3
当a =1时,k =30÷3=10;
当a =2时,k =32÷3,有余数,舍去;
…… ……
例四,将1~11这11个数字填入下图的○中,使每条线段上的三个○内的数的和相等。
解答:设中心数为a ,中心数在求和过程中使用了5次。 每条边上的3数之和为k 。
5k =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11) +4a =66+4a k =(66+4a ) ÷5
经实验:当a =1时,k =70÷5=14;
当a =6时,k =90÷5=18,
当a =11时,k =110÷5=22。
二、封闭型数阵图
例五,将1~6这六个数分别填在下图的6个○中,使每条边上的三个○内的数的和相等。
思考:在这6个○内的数字中,哪几个数最关键呢?
分析:三个顶点上的数在求和过程中要使用两次,只要确定了这三个数,并且知道每条边上三个数的和,另外三个数就很容易确定了。 解答:设顶点上的数分别为a ,b ,c ,每条边上三个数的和为k 。 3k =(1+2+3+4+5+6) +(a +b +c )
=21+a +b +c
k =(21+a +b +c ) ÷3
当a =1,b =2,c =3时,k =27÷3=9(最小值)
当a =4,b =5,c =6时,k =36÷3=12(最大值)
因此,k 的值是9、10、11、12。
例六,将1~8这八个数字填在下图的8个○内,使每条边上的和都相等。
解答:设顶点上的数分别为a ,b ,c ,d ,每条边上三个数的和为k 。 4k =(1+2+3+4+5+6+7+8) +(a +b +c +d )
=36+a +b +c +d
k =(36+a +b +c +d ) ÷4
当a =1,b =2,c =3,d =4时,k =46÷4=11. 5,k 为整数,最小值
为12。
当a =5,b =6,c =7,d =8时,k =62÷4=15. 5,k 最大值为15。 因此,k 的值是12、13、14、15。
例七,把1~9这九个数分别填在三角形三条边的9个○内,使每条边上4个○内的数的和相等。(求出两个基本解)
解答:设顶点上的数分别为a ,b ,c ,每条边上四个数的和为k 。 3k =(1+2+3+4+5+6+7+8+9) +(a +b +c )
=45+a +b +c
k =(45+a +b +c ) ÷3
当a =1,b =2,c =3时,k =51÷3=17(最小值)
当a =7,b =8,c =9时,k =69÷3=23(最大值)
因此,k 的值是17、18、19、20、21、22、23。
(1)当k =19时,a +b +c =12,a =2,b =3,c =7。
(2)当k =21时,a +b +c =18,a =3,b =7,c =8。