基本不等式的拓展
基本不等式的拓展
选自人民教育出版社，高中数学选修4-5，第10页
5、设a,b 都>0，且a ≠b. 求证： （1）、
a b
+>2。
a
b
分析：这一道题很容易便联想到基本不等式的定理2：
如果a,b>0,那么
a +b 2
≥ab ，当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 2
对于这个定理中的不等式≥ab ，可变形为：a+b≥2ab .
针对这道题，首先先让学生观察：题目中已知哪些条件，这些条件是否满足定理2的条件，如果满足该如何利用？与定理2的条件有什么区别？ 解：根据基本不等式，可得，
a b
+≥2
a
b a b
⨯
b a
=2
b a
因为a ≠b, 即则
a b
b
a b
≠所以等号不成立。
+>2。
a
a b
注意：⑴这里因为a,b 都>0，得是≠
b a
b a
，>0，满足定理2的条件，与定理2不同的
a
b
，使得不等式不能取得等号。
a b
⑵观察不等式+>2的规律，右边只有数字，不含字母，右边则是两个
a
1x +1
b
互为倒数的两个数之和。根据这个规律完成下面的扩展题目 扩展1：若x>-1,则x 取什么值时，x+
的值最小。
分析：这道题中x>-1，这意味着什么？式子分母是x+1,又有什么联系呢？回顾
练习题5，不等式左边是两个互为倒数的数，而这道题是求最小值，也就是
要求式子x+
1x +1
>？，这个？号是一个数字。这根练习题5有点类似，解
1x +1
题的关键就是将式子x+成x++1
1x +1
化成互为倒数。不妨在式子x+
1x +1
加上1，变
, 这道题就迎刃而解了。
解：因为x>-1,则x+1>0.
那么根据基本不等式，可得，
x+1+
1x +1
1x +1
≥2 (x +1)⨯≥2-1=1
1x +1
=2，
则，x+
所以，当x>-1时，x+
1x +1
的最小值是1。
注：（1）这道题扩展的目的，让学生能够加强掌握练习题5的规律，明白定理2中的a,b 可以不仅仅代表数字和字母，也可以是一个式子，也让他们寻找解决问题关键，可以添加辅助元素。
(2)引导学生仔细推敲，可知式子x+
x +1x
2
1x
=
x +1x
2
，式子x+
1x +1
=
x +x +1x +1
2
，
若是碰到求类似结构x +x +1x +1
2
的最值问题的题目，可将其化成两个数的
和。
请下面的扩展题目 扩展2：求证
x +2x +1
22
≥2.
分析：观察不等式，右边是一个数字，根据练习题5，不等式左边可否化成互为
倒数的两个数的和呢？再根据扩展1，如何将式子 考
x +2x +1
22
x +2x +1
2
2
转化呢？ ，
得
，
虑
2
到
x +1+1x +1
2
分=
x +1x +1
22
母+
1
2
的形式
1x +1
2
==x 2+1+, 这就化成互为倒
x +1
数的式子的和了，根据练习题5，便可证。 解:
x +2x +1
2
22
=
x +1+1x +1
2
2
1x +11x +1
22
=
x +1x +1
2
+
=x 2+1+
1x +1
2
因为x 2>0,得x 2+1 >0，x 2+1， 所以根据基本不等式，可得，
x +2x +1
22
>0，
≥2
x +1⨯
2
1x +1
2
=2， 不等式得证。
注：这道是在扩展1的基础上难度加深了，从明显到不明显，从简单的式子到比较复杂的式子，一层一层的难度加深。