高三数学集体备课记录[函数与方程]
高三数学（理）集体备课记录
实施教学过程
一、 考点知识自主梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )(x ∈D ) ，把使f (x ) ＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D ) 的零点．
(2)几个等价关系
方程f (x ) ＝0有实数根⇔函数y ＝f (x ) 的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x ) 有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x ) 在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )
2．二分法
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )
3．二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系
2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )
(2)函数y ＝f (x ) 在区间(a ，b ) 内有零点(函数图象连续不断) ，则f (a )·f (b )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)在b －4ac
(5)若函数f (x ) 在(a ，b ) 上单调且f (a )·f (b )
题型一 函数零点的确定
命题点1 函数零点所在的区间
⎛1x －2例1 已知函数f (x ) ＝ln x － 的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) ⎝2⎭
A ．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
命题点2 函数零点个数的判断
⎧⎪x －2，x ≤0，例2 (1)函数f (x ) ＝⎨⎪⎩2x －6＋ln x ，x >02D ．(3,4) 的零点个数是 ．
(2)若定义在R 上的偶函数f (x ) 满足f (x ＋2) ＝f (x ) ，且当x ∈[0,1]时，f (x ) ＝x ，则函数y ＝f (x ) －log 3|x |的零点个数是( )
A ．多于4 B．4 C．3 D ．2
命题点3 求函数的零点
例3 已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) ＝x －3x ，则函数g (x ) ＝f (x ) －x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{27，1,3} D．{－2－7，1,3} 思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数． 2
题型二 函数零点的应用
例4 若关于x 的方程2＋2a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．
思维升华 对于“a ＝f (x ) 有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x ) 的值域来解决，解的个数可化为函数y ＝f (x ) 的图象和直线y ＝a 交点的个数． 2x x
题型三 二次函数的零点问题
例5 已知f (x ) ＝x ＋(a －1) x ＋(a －2) 的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．
思维升华 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 22
三、课时小结
易错警示
忽视定义域导致零点个数错误
典例 定义在R 上的奇函数f (x ) 满足：当x >0时，f (x ) ＝2 016＋log 2 016x ，则在R 上函数f (x ) 的零点个数为 3 ．
易错分析 得出当x >0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R 上的奇函数，导致漏掉x x
温馨提醒
(1)讨论x >0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定．(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视．
方法与技巧
1．函数零点的判定常用的方法有
(1)零点存在性定理；
(2)数形结合：函数y ＝f (x ) －g (x ) 的零点，就是y ＝f (x ) 和y ＝g (x ) 图象交点的横坐标．
(3)解方程．
2．二次函数零点可利用求根公式、判别式、根与系数关系或结合函数图象列不等式(组) ．
3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. 失误与防范
1．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
2．判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确．
四、课后作业
《练出高分》 P281