空间向量讲义(答案)
空间向量
本节知识点是:
1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;
(1) 向量:具有的量. (2) 向量相等:方向2.共线向量
(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 .
(2) 共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b0),a∥b等价于存在实数,使 .
(3) 直线的向量参数方程:设直线l过定点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l上等价于存在tR,使 .3.共面向量
(1) 共面向量:平行于 的向量.
(2) 共面向量定理:两个向量a、b不共线,则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x,y),
使P .
共面向量定理的推论: .4.空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底:的三个向量.
(2) 空间向量基本定理:如果a,b,c三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有
序实数组x,y,z,使 .
空间向量基本定理的推论:设O,A,B,C是不共面的的四点,则对空间中任意一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z,使 .
5.空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角: (2) 空间向量的长度或模:.(3) 空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a、b,则a·b=6.空间向量的数量积的常用结论:
(a) cos〈a、b〉= (b) a2= ;(c)ab.(4) 空间向量的数量积的运算律:(a) 交换律a·b= (b) 分配律a·(b+c)=.
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
(1) a±b=a=(3) a·b=(4) a∥b;ab
(5) 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)则= ,AB
AB的中点M的坐标为 空间向量在立体几何中的应用
(n为的法向量,n1为的法向量,n2为的法向量)(a,b,l,l1,l2分别是直线a,b,l,l1,l2上对应的向量)
证平行
1. 线线平行 l1//l2l1//l2l1l2且l1和l2无公共点;2. 线面平行 ⑴ l//ln
;
⑵ l//lxayb且l和无公共点;
(a,b为内的两条相交直线a,b对应的向量)
3. 面面平行//n1//n2n1n2且和无公共点 证垂直
1.线线垂直 l1l2l1l2l1l20 2.线面垂直 ⑴ ll//nln
; ⑵ lla,lb且abP
;
3.面面垂直 n1n2n1n20 常用求角公式
1. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a,b〉
(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3))
2.异面直线a,b的夹角为,则cos
abab
.
3.直线AB与平面所成角sin
ABm|AB||m|
(m为平面的法向量).
4.二面角l的平面角arccos常用距离公式
mnmn
或arccos(m,n为平面,的法向量).
|m||n||m||n|
1.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 dA,B=|AB|
.
2.异面直线间的距离 d为l1,l2间的距离).
|CDn|
(l1,l2是两异面直线,其公共法向量为n,C、D分别是l1,l2上任一点,d|n|
|ABn|
(n为平面的法向量,AB是经过面的一条斜线,A). |n|
3..点B到平面的距离 d
基础知识
1.在ABC中,已知D是AB边上一点,若AD2DB,CD
1
CACB,则_________ 3
2.已知A,B,C为不共线的三点,P平面ABC,M平面ABC,且满足PM则x_________。
11
PAPBxPC,32
1
6
4 3
3.若a(2x,1,3),b(1,2y,9)为共线向量,则xy______。
→
4.已知B是点A(3,7,-4)在xOy平面上的射影,则OB2等于______. →→
解析:A在xOy平面上射影为B(3,0,-4),则OB=(3,0,-4),OB2=25
5.正方体AC1中,O为AC,BD的交点,则C1O与A1D所成的角的余弦值等于__ 6.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于3
例1如图,平行六面体AC1中,AE=3EA1,AF=FD,AG=1GB,过E、F、G的平面与对角线AC1交
2
于点P,求AP:PC1的值.
B解:设m1
AC11B1114
323
4
∴3mm2m3
又∵E、F、G、P四点共面,∴3mm2m1∴m
433
∴AP︰PC1=3︰1619
例2. 若a=(1,5,-1),=(-2,3,5)(1)若(ka+b)∥(a-3b),求实数k的值; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数k的值;(3)若kk的值. 解:(1)k; (2)k
1
3
1068
; (3)k 327
变式训练1.若n1,n2分别是平面,的法向量且,n1(1,2,x),n2(x,x1,x),则x的值为__-1或-2___
变式训练2. 已知O为原点,向量OA3,0,1,OB1,1,2,OCOA,BC∥OA,求AC.
解:设OCx,y,z,BCx1,y1,z2,
∵OCOA,BC∥OA,∴OCOA0,BCOAR,
3xz0,x13,3xz0,
∴,即
x1,y1,z23,0,1y10,
z2.
解此方程组,得x
∴OC
7211
,y1,z,。 101010
7213711,1,,ACOCOA,1,。 10101010
例3、已知四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形,AB//DC,DAB90,PA底面ABCD,
1
AB1,M是PB的中点 2
(1)证明:平面PAD平面PCD;
(2)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值; (3)求直线BC与平面ACM所成角的正弦值; 答案:(1)证明:DC平面PAD,故平面PAD平面PCD;
且PAADDC
(2)解:建系,因(1,1,0),(0,2,1),|AC|PB|ACPB2,
cosAC,PB
ACPB|AC||PB|
(3)BC(1,1,0),AC(1,1,0),
1
AM(0,1,)
2
设(x,y,
xy0ACn0,即, z)为平面ACM的一个法向量,则1AMn0y0
2
令x1,则
y111,故(1,1,2),则cosn,BC
326z2
设直线BC与平面ACM所成角为,则
sinsin[n,BC]cosn,BC2例4 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E
为PD的中点.
(1) 在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离; (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离.
B
1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,
1
12
, 1),依题设N(x, 0, z),则=(-x,
12
, 1-z),由于NE⊥平面PAC,
z10(x,,1z)(0,0,2)0303x2∴即, 0, 1), 6,即点N的坐标为(1
61x0NEAC0(x,,1z)(,1,0)02z1
2
从而N到AB、AP的距离分别为1,
6
.
31,0,1)(,,0)|
166212121
|(,,0)|
62
(2) 设N到平面PAC的距离为d,则d|(
.
例5 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2,
AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。 (1) 证明:直线EE1//平面FCC1; (2) 求二面角B-FC1-C的余弦值。
B1
解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 A等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M, 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, E,则D(0,0,0),A),F(),C(0,2,0),
)
所
以
C1
(0,2,2),E(
,
12
,0
EE11
,1),CF1,0),CC1(0,0,2)FC1(,2)设平面CC1F的法向量为2
1y0nCF0
所以取n,则nEE11100,所n(x,y,z)则
2z0nCC10
以nEE1,所以直线EE1//平面FCC1.
y10n1FB0
(2)FB(0,2,0),设平面BFC1的法向量为n1(x1,y1,z1),则所以,
1y12z10n1FC10
取n1,则nn121002,
|n|2,|n1|,
所以cos
n,n1
nn1,由图可知二面角B-FC1-C为锐角,所以二面角B-FC1-C的余弦值
7|n||n1|. 例6如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
(向量法)以A为坐标原点,BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标
系(如图)
n1AB0xy0
设平面ABF的法向量n1(x,y,z),则由得
n1AF02y2z0
令z1,得
x
n1(1,1)
y1
同理,可求得平面ADF的法向量n21,1)。 由n1n20知,平面ABF与平面ADF垂直, 二面角B-AF-D的大小等于
。 2
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而PAC,HPAC.
2HPHPAPPC
1,得HP。
3CFAEACAC
1
又因为S菱形ABCDACBD
2
由
故四棱锥H-ABCD的体积V
1S菱形ABCDHP 39