第3章_矩阵力学基础--力学量和算符

第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符

上一章，中我们系统地介绍了波动力学。它的着眼点是波函数(x,t)。薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数(x,t)猫述粒子的运动状态。通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。着眼点是力学量和力学量的测量。他们将力学量看成算符。通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r和p的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。这种量子化，通常称为正则量子化。在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。算符的运算归结为矩阵的运算。本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。 §3. 1力学量的平均值

在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。例如处于基态的氢原子。其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。但电子坐标具有某一确定值x0的概率，或电子动量具有某一确定值p0的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。相应地，坐标x的平均值和动量p的平均值也完全确定。既然一切力学量的平均值原则上均可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。

在§2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系是:pi，动能



22

，定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。现在问:这种力学量用算符来表示的对是T2m



应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外，是否任何力学量，均可用

1

算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相应的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题。

为此，先讨论力学量的平均值。对以波函数(r,t)描述的状态，按照波函数的统计解释，

r,tdr表示在t时刻在rrdr中找到粒子的概率,因此坐标r的平均值显然是

2

r(r,t)rdr*(r,t）r(r,t)dr (3. 1.I)







2



坐标r的函数f(r)的平均值是

f(r)*(r,t)f(r)(r,t)dr （3.1.2）





这里已经假定，波函数(x,t)满足归一化条件(2. 1 .6)式。

现在讨论动量算符的平均值。显然,p的平均值不能简单地写成

2







(r,t)pdr因为

2

(r,t)dr只表示在rrdr中的概率而不代表在ppdp中找到粒子的概率。要计算，

应该先找出在t时刻，在ppdp中找到粒子的概率C(p,t)dp按§2.2的讨论，这相当于对

2

(r,t)作傅里叶变换，而C(p,t)由公式

(Erpr)1

C(p,t)(r,t)dr （3.1.3） 3/2(2)

i

给出，动量p的平均值可表示为

pC*(p,t)pC(p,t)dp （3.1.4）

这里已经用了若(r,t)归一，则C(p,t)也归一的结论。但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦。应该找出一种直接从(x,t)计算动量平均值的方法。为此，我们先计算动量p在x方向的分量px的平均值。由(3.1.4)式得

px

ii

prp.r11*hdper,tdrper,tdr x3222

i

prrh

1

drr,tdrr,t32

2*

*

pxe



dp (3.1.5) 

利用公式

1(2)3

2

pe

x

i

p(rr')

p(rr')13

dp(i)edpi(rr') (3.1.6) 3xx(2)

i

可将(3.1.5)式改写为



pxdr*r,tidrr,t3rr

x





*r,tir,tdr (3.1.7)

x

同理有

py*(r,t)(i



)(r,t)dr (3.1.8) y

py*(r,t)(i



)(r,t)dr (3.1.9) z

、x

由此得出结论:要在状态(x,t)中求动量px 、py 、pz的平均值，只需以相应的微分算符i

i

*

、i，作用在(r,t)上，然后乘以(r,t),再对全空间积分就可求得。将(3. 1. 7)、yz

(3.1.8)及(3.1.9)式写成矢量式，得

p*(r,t)(i)(r,t)dr （3.1.10）

记动量算符为

pi (3 .1.11)

可将(3.1.10)式写成



(r,t)p(r,t)dr (3 .1.12)

同理，不难证实，当n为正整数时解的平均值可写成

n

px*(r,t)(in

*



n

)(r,t)dr (3.1.13) x

n

同理还可给出对py、pz的平均值。对于任何动量p的解析函数fp，总可将fp按p作泰勒展

开并逐项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，从而有

f(p)(r,t)f(p)(r,t)dr (3. 1.14)

比方，动能的平均值是

*



p222*

()dr (3.1.15)

2m2m

角动量L的平均值是

Lrp)*r(i)dr (3.1.16)

3

(3. 1. 10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度。这正是波粒二象性的反映。按德布罗意关系(1.4.3)式，波长越短，动量越大。显然，若越大，则越短;因而动量的平均值越大。综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。在用坐标表象中的波函数(r,t)计算动量平均值时，需要引进动量算符。除动量算符pi外，能量算符和角动量算符分别为



22

HU(r,t)

2m

Lr(i)





(3.1.17)

z)zy

 Lyzpxxpzi(zx)

xz

Lzxpyypxi(xy)

yxLxypzzpyi(y







(3.1.18)

体系的任何一个力学量O的平均值总可以表示为

Odr (3.1.19)

O是与力学量O相应的算符。在本章中，算符在它的顶上用“”表示。在对算符比较熟悉以后，

为避免书写麻烦，我们将略去记号“”。在§2.2中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数(r,t)表示，也可用动量表象中的波函数C(p,t)表示。与在坐标表象中，动量用算符来表示相似，在动量表象中，坐标也必须用算符来表示。可以证明，在动量表象中的坐标算符是



*



ˆix

平均值是



ˆip (3.1.20) , r

px

C*(p,t)(ip)C(p,t)dp

(3.1.21)

FrC*(p,t)F(ipC(p,t)dp (3.1.22)

相应地，在动量表象中的定态薛定愕方程是

4

p2

U(ipC(p)EC(p) (3.1.23) 2m

请读者自己证明动量表象中的这些结论。 §3.2算符的运算规则

若某一运算将函数二变为函数u,记作

uF （3.2.1）

则表示这一运算的符号F称为算符。若算符F满足







ˆ(CC)CFˆˆF112211C2F2 （3.2.2）

其中1、2 是任意函数，C1、C2是常数，则F称为线性算符。动量算符、积分算符等均为线性算符。若算符I满足





ˆ （3.2.3） I

为任意函数，则称I为单位算符。

ˆ，将集合F中的元素x(xF),映照到集合F之中的元素在数学上，若存在映照F11121ˆxx。若集合F和F均为数集，则称Fˆ：xx或Fˆ为函数;若F是x2(x2F2)，记作F1212211



ˆ为泛函；若F和F均为一般集合，则称Fˆ为算子或算符。 一般的集合而F2是数集，则称F21

1.算符的运算规则 算符的一般运算规则如下: （1）算符之和

算符A和B之和(A十B)，定义为





ABAB (3.2.4) 









必为任意函数。显然，算符之和满足交换律和结合律

ABBA











ABCABC



5



而且，线性算符之和仍为线性算符。

（2）算符之积

算符A和B之积AB，定义为





ABAB (3.2.5) 









算符AB对任意函数的运算，等于先用B对运算，得出B，然后再用算符A对B进行运算得到的结果。一般说来，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律



ABBA (3 .2.6)

比如，取Ax；Bpxi









，则 x



xpxix

但



 x

pxxi

因此有



xiixxx



xpxpxxi (3.2.7) 

由于是任意函数，从(3.2.7)式得

xpxpxxi (3.2.8)

从(3.2.8)式可见xpxpxx。

记AB和BA之差为











A,BABBA (3.2.9)







称为算符A、B的对易关系或对易子。(3.2.8)式表明，x与px的对易子x,pxi。若算符A









和B的对易子为零，则称算符A和B对易。这时A、B之积AB满足交换律：ABBA。例如，



px与y就是相互对易的算符。

利用对易子的定义(3.2.9)式，容易证明，存在下列恒等式：





A,BB,A 

6



A,A0 

A,C



0 （若C为常数） A,BCA,B

A,C

A,BCBA,C

A,CB (3.2.10) AB,CBA,CA,B

C A,

BC

BC,ACA,B0

最后一式称为雅可比恒等式。





作为例子，我们讨论角动量算符Lrp，它的三个分量分别是

L



p

xyp

zzyiyzzy

L

yzp





xxpzizx

xz (3. 2.11)

L





zxpyypxixyyx

它们和坐标算符的对易子是

L,x0，Lx,y

iz，Lxx,z

iy Ly,xiz，Ly,y0，Ly,z



ix (3.2.12)

(3.2.12)式可表示为

L,x



ixr (3.2.13) 上式中1,2,3表示相应的分量，称为列维一斯维塔（Levi－Civita）记号，满足

1231

7

 (3. 2.14)

任意两个相邻下脚标的对换。改变正负号。因此，若任意两个下脚标相同。则为零。比如有

1121210。

同理.可以证明角动童算符和动量算符的对易子是





L,pipr (3. 2.15) 

角动量算符各个分量之间的对易子是



L,LiLr (3.2.16) 





(3.2.16)式表明，角动量算符的三个分量Lx、Ly、Lz之间，彼此互不对易。(3.2.16)式中不为零的等式也可写成



LLiL (3.2.17)

而坐标和动量的对易子(3.2.8)式也可写成

x,pi (3.2.18) 



其中



（3）算符的乘幂 算符A的n次幂定义为



10



(3.2.19)

AAAA (3.2.20) 

n

n





dndn

例如，若A，则A，算符之乘幂显然满足

dxdxn



A



mn

AA

mn



mnAA0 



2

作为例子，考察L。由

8

LLLL (3.2.21)

显然有

2

2x2y2z



222222L,LxLxLyLz,LxLy,LxLz,Lx





LyLy,LxLy,LxLyLzLz,LxLz,LxLz



iLyLzLzLyiLzLyiLyLz0



由于坐标轴x,y,z的选择本来就是任意的;只须保持右旋坐标系，（x,y,z）的顺序不变，定义哪个轴是x轴，哪个轴是y轴，不影响计算结果。因此有

2

L,L0 (3.2.22) 

即角动量的平方算符与任何一个角动量的分量算符均对易。事实上，(3.2.13), (3.2.15)和(3.2.16)式中的，正是表征了上述右旋坐标系的性质。

（4）算符的函数



若Fx是x的解析函数，则算符A的函数FA一般可定义为



F0n

A (3.2.23) FA

n0n!





n



例如，算符A的指数函数的定义是



eA

n0





A

(3.2.24) n!

n

（5）算符之逆 若算符A满足



Au

且能从上式中唯一地解出u来，则定义算符A的逆算符A

1





1

为

Au (3 .2.25)

并非所有算符都有逆算符存在。但若A

1

1

存在，则必有

1

AAAA



I (3.2.26)

9



1

A,A0 

(3.2.26)式中，I是单位算符。

2.算符的矩阵表示

算符所满足的上述运算规则使我们想起了一种数学工具—矩阵，因为算符运算和矩阵运算完全一样。为了解算符的矩阵表示，先讨论普通的矢量空间。

(1)矢量空间

以二维矢量空间为例。选e1,e2为二维矢量空间中的一组正交标准基，满足



ei,ejij

记A为二维矢量空间中的一个矢量

AA1e1A2e2

R为二维矢量空间中一个转角为的转动算符，经R作用后，矢量A变为矢量B，

BRA (3 .2.27)

或写成







BB1e1B2e2A1Re1A2Re2 (3.2.28)



,x2中的(3.2.28)式中的Re1,e2，就是将坐标系x1,x2中的基矢转动角后变成新坐标系x1,e基矢e12，由图3.2.1可见，

Re1cose1sine2 e1

e2Re2sine1cose2 (3.2.29)





e1Re1是新基矢e1在旧坐标系x1方向的基矢e1上的投影；式中：cose1e1

e2Re1是新基态e1在旧坐标系x2方向的基矢e2上的投影。将(3.2.29)式代入sine2e1

(3.2.28)式，得





B1A1cosA2sin

B2A1sinA2cos (3.2.30)

或写成矩阵形式

(3 .2.31)

10

因此，算符R可以用矩阵表示



cosR

sinsin

 (3.2.32) cos



相应地，新、旧坐标系中基矢的变化也可用矩阵表示为

e1cose

2sin

sine1e1T

R （3.2.33） ee2cos2

RT是R的转置矩阵。由(3.2.32)及(3.2.33)式，有

RTRI

即

RTR1 (3.2.34)

R是正交矩阵。

由此得出结论：在矢量空间中的一个转动，或者说一个算符，对应一个矩阵。这个矩阵的列向量为

R11cosR12sin

sin；RRcos

2221

Re1，e2Re2在旧坐标中的投影排列而成，是新基矢在旧基分别由新坐标系中的基矢e1

中的表示(3.2.31)和(3.2.33)式亦可写成





BiRijAj (3.2.35)

j

eiRije1 (3.2.36)

j

(2)希尔伯特(Hilbert)空间

现在将上述讨论推广到量子力学。比较矢量A在坐标系ei中的公式 A和

xxxxdx (3.2.38)

Ae

i

ii

(3.2.37)



可见，若将xx视为基矢ei，对x的积分dx视为对基矢的求和





i

，则x可视为态

11

A1

基矢x在基矢为xx的坐标系中的分量。与A的各个分量组成一个列矩阵A2相似，



x也对应一个列矩阵。所不同的，仅在于ei是组分立的基矢，而xx是个x的函数。Ai

是个分立的矩阵元为实数的列矩阵，而x是个连续的无限维的矩阵，而且它的矩阵元可以是复数。严格说来，以前的所谓波函数x，实际上是态矢量在以xx为基底的“坐标系”，或称x表

象中的分量或投影。在这种意义下，任何一个使态矢量变为另一个态矢量的算符运算，与

R

相似均对应一个矩阵。这个矩阵和原来描述态矢量分量的矩阵x的乘积，给出新的态

矢量矩阵。但是这里要注意，由于一般说来，是复数，因此描述的矢量是个复矢量，这个矢量所在的空间，是个复的函数空间。它的基矢是个函数。而且空间的维数既可以是有限的，也可以是无限的，对于连续谱的情况，甚至可以是不可数的。这种函数空间，称为希尔伯特空间。.

记eii1,2,为希尔伯特空间中的一组基，则任一态矢量x在ei中可表示为

x



xe

i

ii

(3.2.39)

以算符O作用于态矢量x后得

xOxOxieixiOei

i

i





即有

xO

iij

jii

exjej (3.2.40)

j

xj(3.2.40)式可写成矩阵形式，为

O

i

ji

xi (3.2.41)

O11O12x1x1



O21O22x2 (3.2.42) x2





综合上述，我们得出结论：

（i）体系的一个量子态，在希尔伯特空间中用一个矢量表示，这个矢量称为态矢量。 （ii）在希尔伯特空间中给定了一组基矢eii1,2,后，态矢量可以用它在基矢中的投影，

12

x1

即用分量表示，从而表示为一个列矩阵x2，即波函数。在量子力学中，给定了一组基矢，称为给



定了一个表象。给定表象后，量子态用波函数表示。

（iii）算符是在希尔伯特空间中从一个矢量到另一个矢量的运算。给定表象，即给定一组基矢后，一个算符对应一个矩阵，表示为

O11O12O21O22 

其它的矩阵元Oij由算符占作用后的新基矢ejOej在旧基矢ei上的投影给出。

（iv）一般说来，在量子力学中的希尔伯特空间，是复的函数空间。相互正交的基矢的数目，既可以是有限的，也可以是无限的。关于量子态和算符的矩阵表示，我们在下一章讨论表象理论时，还会作更详细的阐述。

§3.3厄米算符的本征值和本征函数

为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符—厄米算符。为此，先引进一些定义：

1.希尔伯特空间中矢量的内积

希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两个波函数和的内积为



dr (3 .3.1)

它具有下述性质：

(i) dr0。 (3 .3.2)

(ii)  (3 .3.3) (iii)若C1、C2为常数，则有

2



C11C22C11C22 (3. 3 .4)

C11C22C11C22 (3 .3.4)＇

2.转置算符O 若算符O满足

~



~





13

OO

~







(3.3.5)



OdrOdr (3 .3.5)＇ 



~





则称O为转置算符。转置算符O具有下述性质：

(i)转置算符O所对应的矩阵为O的转置矩阵，其矩阵元满足

~



~~

~

OmnOnm (3.3.6)

(ii)转置算符的乘积满足

~~

ABBA (3.3.7)

因为

~~~~

ABnmABmnAmlBlnBABAnm nllm

l

l



3.复共轭算符O

将算符O中的所有复量均换成它的共辘复量，称为O的复共轭算符O。例如算符pxi





的复共轭算符pipx。

x













x

x

4.厄米共轭算符O 定义厄米共轭算符O为

OO (3.3.8)

有



~

~







~

OOO



O



x



O (3.3.9)

x





容易看出px的厄米共扼算符p就是它自己，ppx，哈密顿算符的厄米共扼算符也是它自



己，即H

14



H，厄米共轭算符的乘积满足





ABCCBA (3.3.10) 

5.厄米算符

若OO，则称算符O为自厄米共扼算符，简称厄米算符。由(3.3.9)式，按定义，厄米算符满足

OO (3.3.11)

或写成

















Odr (3.3.12) Odr







厄米算符具有下述性质：

（i）两厄米算符之和仍为厄米算符.

(ii) 当且仅当两厄米算符A和B对易时，它们之积才为厄米算符。因为





ABBABA 





只在A,B0时，BAAB，才有ABAB，即AB仍为厄米算符。













11

(iii)无论厄米算符A、B是否对易，算符ABBA及ABBA必为厄米算符，因

22i





为

111

2iABBA2iBA2iAB





1

ABBA  2i

1

ABBA

2i

(iV)任何算符总可分解为







OOiO (3.3.13)

15

11

OOOO令O，O，则O和O均为厄米算符。 22i



在引进厄米算符的定义后，现在进一步讨论厄米算符的本征值和本征函数。在第二章中讨论的主要是能量算符的本征值和本征函数，现在把它推广到任意算符。

任意算符F，若作用于一函数u后，所得结果等于一常数和u的乘积：



Fuu (3.3. 14)

则称是F的本征值，u为F的本征函数，方程(3.3. 14)式是F的本征方程。一般说来，本征值入既可以是实数，也可以是复数。它的个数既可以有限，也可以无限。本征值既可以分立取值，也可以连续取值。因此，由全部本征值构成的本征值谱，既可以是连续谱，也可

以是分立谱。本征值和本征函数除决定于算符乡外，还决定于本征方程满足的边界条件。

对应于一个本征值，既可能只有一个本征函数，也可能有g个相互独立，彼此线性无关的本征函数。若对应于本征值有g个本征函数，且不能找到百个常数C1,C2,Cg，使等式









C1uC2u2Cgug0

成立，则称本征值简并，简并度为g。

现在证明，厄米算符的平均值、本征值、本征函数等具有下述重要性质： ①厄米算符的平均值是实数，因为



OOdrOdrOdrO (3. 3.15)









②在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。 证：O得



OOO (3. 3.16)

但由(3.3. 16)式不足以说明算符O厄米，因为是同一个态。要证明O厄米，必须按厄米算符的











2为两个任意的波函数。定义，

证明1O2O12成立。而且1、为此，令＝1＋2，

利用算符O在任何状态，包括态的平均值为实数，即由(3.3. 16)式得





1＋2O1＋2O1＋21＋2 (3. 3. 17) 

又因O在1、2态中的平均值也是实数，因此(3.3.17)式可改写为

16





1O22O1O12O21 (3.3.18)

对1和2作变换，令

11e,22e (a、b为任意实数)

代入(3.3.18)式后得

ia

ib



ˆOˆeibaOˆOˆ (3.3.19) ei

ba1O2122121

因为a,b任意，(3.3.19)式成立的充要条件为



1O2O12







2O1O21

因此，O必为厄米算符。得证。

由于力学量的观测值应为实数，而一般地，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，由性质①、②得。量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必为厄米算符。另外，在量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综合上述，我们得出结论:在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

③厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。 由本征方程O＝得











Odrdr (3.3.20)



因此，利用性质①，②得必为实数。

④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。 证： On＝Onn



Om＝Omm

且OmOnmn，因为O是厄米算符，它的本征值是实数，OmOm。本征方程的共扼方程为







ˆO Ommm

由

OmnOmmn



17

及O的厄米性质， OmnmOn及



ˆO mOnnmn

得



OmOnmn

又因OmOn

0

mn0 (3.3.21)

得证。若本征函数是归一化的，则有

mnmn

1

0

mn

(3.3.22)

mn

厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。

⑤厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。 假定本征值On有g度简并

ˆOOninni

i1,2,,g (3.3.23)

由于ni和nj对应同一个On，前面的证明不适用。这些简并的本征函数并不相互正交。但我们总可以把g个本征函数汽nii1,2,,g重新线性组合为个另外g个新的函数

njaijni

i1

g

i1,2,,g (3.3.24)

使得这些新函数、相互正交。的确，nj的正交归一条件





nj



njdrajiajininidrjj

i1i1

gg

j,j1,2,,g (3.3.25)

gg1gg1gg1个，共有g个。

222

中，归一化条件，jj有g个，正交条件jj有但待定系数aji有g个。当g1时，g

2

2

gg1，待定系数aji的数目大于aji所应满足的方程

2

的数目。因此可以有许多种方法选择aji，使简并的本征函数正交归一化。

综合性质③，④得出结论:无论是否简并，厄米算符的本征函数系正交归一。 ⑥厄米算符的本征函数系具有完备性。

18

设也可以是分立的。可以证明，nx是某一厄米算符的本征函数系，n取值既可以是连续的，任何与nx满足同徉边界条件且在同样区域内定义的波函数价x，都可按nx展开。由于厄米算符的本征函数系具有正交、归一和完备性，因此可以用它作为一组基矢，以构成希尔伯特空间。任何在这个空间中定义的波函数，都可按nx展开，得

xCnnx (3.3.26)

n

若本征值，连续，(3.3.26)式改为

xCnnxdn (3.3 .27)

n的取值部分连续，部分分立，则x可表示为(3.3.26)及（3.3.27)式的叠加。叠加系数可由

*

x乘(3.3.26)式的两端并对变数的整个区域作积分后，得 nx的正交归一性给出。以m

**

xxdxCmnmxnxdxCnmnCmmnCm (3.3.28)

n

n

本书不拟对厄米算符的本征数系的完备性作严格的证明，有兴趣的读者可参阅有关专著。

⑦厄米算符的本征函数系具有封闭性。

nx为某一厄米算符的本征函数系。由nx的完备性，利用(3.3.26)及(3.3.28)式得 取

*

xxdxnx xCnnxn

n

n



*

xxnnxdx (3.3.29)

n

因为x是任意函数，因此当且仅当

xxxx (3.3.30)

*

n

n

n

(3.3.29)式才能成立。公式(3.3.30)表示本征函数系具有封闭性。当本征值为连续谱时，(3.3.30)式可改为

*xxdxx (3.3.30)′

若本征值既有分立潜，又有连续谱，则封闭性表示为

xx＋xxdxx (3.3.30)″

*

n

*

n

n

厄米算符本征函数系的封闭性在实际运算中是非常重要的。在量子力学、量子统计乃至量子场论的实际运算过程中经常要插入“中间态”进行运算，就是利用{3. 3.30)式。

19

§3.4连续谱本征函数

鉴于厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭等极命重要的性质，可以用它作为希尔伯特空间的基矢;而且在量子力学中，可观测量对应线性厄米算符，因此在本节中我们将先罗列一些线性厄米算符的本征函数系，然后再讨论若本征函数为连续谱本征函数时，如何进行归一化。

1.线性厄米算符的本征函数示例

ˆ (1)坐标算符x

由本征方程

ˆxxxxx (3.4.1) x

ˆ在自身表象中的本征函数是xx。而了连续取值，是连续谱的本征函数。 可知算符x

ˆxi(2)动量算符p

由本征方程



x

ipxxipxepxex (3.4.2) x

ipxxi

ˆx的本征函数是平面波eˆ的本征函数为基矢的xˆ表象中，算符p可知在以x

取值。

，本征值px也连续

ˆrˆpˆrˆi (3)角动量L

引入球坐标

xrsincosyrsincos zrcos

对角动量算符作坐标变换，得出在球坐标中的角动量算符是

ˆiLsincotcosxˆiLcoscotsiny

ˆiLz



(3.4.3)

(3.4.4)

2z

2

2

11ˆLˆLˆLˆLsin

sin22sin2

2

x

2y

相应的本征方程是

ˆm,Lzmmm

20

12

eim (3.4.5)

或

ˆY,mY, (3.4. 6) Lzlmlm

ˆ2的本征方程是 而L

ˆ2Y,ll12Y, (3.4.7) Llmlm

ˆ有共同的本征函数Y,，球谐函数Y,是正交归一的，相应的本征值ll12和ˆ2与LLlmlmz

m为分立谱。

ˆ的本征函数和相应的本征值。 ˆ和L问题1求Lyx

（4)动能算符

在直角坐标系中，动能算符表示为

222222

ˆp2ˆT22

22m2m2mxyz



 (3.4.8) 

它的本征函数是平面波。在球坐标中，动能算符为

2ˆT

2mr2

ˆ2ˆr22112pL

 (3.4.9) sinr22rrsin2m2mrsin

22

ˆ2ˆr2是动量算符的径向分量。 其中pr，p

rrr

2r

2.连续谱本征函数的归一化 (1))无穷空间的归一化

ˆx的本征函数pxx以平面波为例。p

是平方可积的，

12

eipxx不能用普通的方法归一化，因为它的模不







pxdxpxdx px

x

x

2



x

不能使它归一化为1。在数学上，它只能归一化为函数。利用公式

1

xx

2

得







eikxxdk (3.4.10)

pp

x

x

1ipxpxxedxpxpx (3.4.11)

2

ˆ的本征函数xx也事实上，pxx的系数2就是通过归一化为函数得来的。同样，x

ˆ的本征函数xxxx满足 可以用同样的方式归一化。x

21

xxxxxxdxxx (3.4.12)

事实上，凡连续谱的本征函数都可用函数的方式归一化。 (2)箱归一化

如果我们仍然要求按通常的方式对动量本征函数归一化，即仍然要归一化为1而不是函数，就必须放弃无穷空同的积分，采用箱归一化的方法。先以一维情况为例。设一维平面波只能在

LLLL

－,的区间中运动，且满足周期性边界条件：波函数在－和处的数值相同

2222



－LL

 (3 .4.13) 22

则这时的本征值二将分立，且相应的本征函数可按通常的方式归一化。事实上，对于厄米算符，周

ˆx的厄米性，有 期性边界条件是最自然的边界条件。比如，由p

L2Ldx dxL2L2ixdxLixixL2



即



L

0dxdx

L2Lixix



L2L2

dxLiLxi

L2





得

LL



22C (3.4.14)

LL22



其中C为常数，由于和任意，因此(3.4.14)式只能是个常数。考虑到波函数本身可以差个常数因子，不失普遍性，可将(3.4. 14)式中的常数选为1，这就是周期性的边界条件(3.4. 13)式。

利用(3.4.13)式及pxxe

ipxx得

e e即

ipxL2

e

ipxL2

ipxx

1

pxL

2n

n0,1,

22

px

2nn

(3.4.15) 

LL

ˆx分立取值，构成分立谱。取分立谱时的平面波为 因此p

px

n

1L

ei2L (3.4.16)

它的正交归一条件是



Lpnpdxmn (3.4.17)

m

显然，若L，即箱的体积为无穷大时，由(3.4.15)式可知，px

n1nh0，

L

L

L

本征谱变成连续谱，回到无穷空间归一化的情况。在从分立谱过渡到连续谱时，存在如下对应关系：

h

dpx (3.4.18) L

11

dpx (3.4.19) Lnh

易将上述结果推广到三维情况。取体积VL，则箱归一化后的波函数为

p

3

1eiprh (3.4.20)

px

hhh

nx,pyny,pznzLLL

n,n

x

y

,nz0,1, (3.4.21)

h3

dp (3.4.22) 3L

1L3

1V

nx,ny,nz



1h3nx,ny,nz









dp

23

1



dp (3.4.23)

3

从(3.4.23)式可见，每个量子态在以粒子的动量、坐标为基底的相空间(称为空间)中对应h体积元。这正是量子统计中熟知的结果。

三维情况下，箱归一化的正交归一条件是



Ldx

2

dy

L2

L2

dzpppxpxpypypzpz (3.4.24)

其中p及p按(3.4.21)式的分立方式取值。在连续谱情况下，正交归一条件是

1

h3

e

ip(rr)

dprr (3.4.25)

23

§3.5量子力学中力学量的测量值

在量子力学中，力学鱼的测量是个比较复杂的问题。它不仅涉及物理学，而且涉及哲学。本节只讨论侧量过程中的物理学间题。

I.力学11有确定值的条件

记与某一力学量F相应的算符为F。按§3.3，F必为线性厄米算符.现在问，是否在任何一个状态中，测量力学量F都有确定值?为回答这个问题，先看一个特例。例如在平面波所描述的状态中，测量动量p，必有确定值，因为平面波具有确定的动量。但若测量坐标r则必无确定值，因为在平面波描述的状态中，粒子出现在空间各点的几率相同。因此显然不可能在任何状态中，测量任何力学量都同时具有确定的值。问题的关健在于，找出测量特定约力学量F，使它能有确定值的状态。

为此，先给“确定值”以严格的定义。在量子力学中，在某一状态中测量力学量F具有确定值的充要条件是在该状态中力学量F的平方平均偏差为零.即



F0 （3.5.1）

2

2

FFF



2

2

FFdr



由于F厄米，F的平均值F是个数，因此FF也必厄米，利用FF 厄米的条件可将上式写成 



F

2







FF







FFdr





于是得出：F

2



2

FFdr0 （3.5.2）





0的充要条件是FF0，即





FF (3.5.3)



由此得出结论：当且仅当是力学量F的本征态时，在F的本征态中测量F才有确定值。

而且这个确定值，就是F在这个态的平均值.(3-5.3)式实际上就是F的本征方程，F在态的平

均值F等于它的本征值。正因为F相应于态的本征值就是它的平均值，也是它的实验测量得到的准确值，因此本征值和平均值都必须是实数。

若1和2是属于同一本征值的两个不同的简并态，则显然在它们的线性组合给出的态





C11C22中测量F，也有确定值。而且这个确定值就是它的本征值，也等于F在态中

24

的平均值.

问题1 若1和2:是属于F两不同本征值的本征态，在C11C22（C1，C2是常数）中测量F，结果如何?





2.在非F的本征态中测量F 

设F所满足的本征方程为



FnFnn (3.5.4)

n正交归一完备，现在在一个非F的本征态中测量F。因为线性厄米算府F的本征函数系n展开 因此总可将按



Cnn (3.5.5)

n



F的平均值是



FFdr



mn



CCnrFnrdr (3.5 .6)

m

m

因此，在非F的本征态中测量力学量F无确定值，但有平均值，而且平均值是由F的本征值



Fn通过统计平均而得来。在F中出现Fn的几率是Cn,Cn是将态按n展开时出现n态

2



的概率幅。因此得出结论：在非F的本征态中测量F，虽然无确定值，但有各种可能值。这些可

能值就是F的本征值，而且可能值Fn出现的概率为Cn。这个结论无论对F的本征谱是分立谱、连续谱，还是既有连续潜又有分立谱都成立。

问题2. 若F的本征值既有连续谱，又有分立谱，任一波函数按F的本征函数系的展开式为

r



2





CrCrd (3.5 .6)’

n

n

n

试在这种情况下证明上述结论。 3.不同力学2同时有确定值的条件



若F在态有确定值，则必须是F的本征态，有



Ff (3.5.7)

同理，若另一力学量G在态中也有确定值，则必然也是G的本征态，有



25



Gg (3 .5.8)



必须是F和G的共同本征函数。由



FGgFgfGF

即

FGGF0 (3-5-9)











但(3-5-9)式并不能说明F和G对易，因为必只是一个特定的波函数而非任意波函数。事实上，两

个不对易的算符，如Lx和Lz，固然在一般状态下测量它们，不同时具有确定值。但在角量子数l0的状态中测量它们，却同时具有等于零的确定值。因为Y00



14

，是个与角度、无关的常

数。虽然Lx和Lz:不对易，但Y00,Y00,均为零



14

仍是它们的共同本征函数，而且本征值

关于算符的对易性和测量的关系，存在下述定理和逆定理:

ˆ有不止一个共同本征函数，且这些本征函数构成完备系，则Fˆ和Gˆ和定理 若线性厄米算符Fˆ必定可对易。 G

n.任何一个波函数均可证明：为方便起见，假定这些共同本征函数构成分立谱本征函数

展开为

Cnn

n

ˆGˆFˆGˆFˆGˆ)C(FˆGˆ)0 (Fnn

n

ˆGˆFˆ0，Fˆ对易。 ˆGˆFˆ,Gˆ和G由于是任意波函数，因此必有F



ˆ对易，则它们必有共同的本征函数系，而且这共同本征函数系ˆ和G逆定理 若线性厄米算符F

必为完备系。

证明： 先讨论无简并的情况。若n是乡的任一本征函数，满足

ˆF Fnnn

ˆFˆˆFG则 Gnnn

26

ˆFˆ，由上述两等式得 ˆ0，GˆFˆGˆ,G又因Fnn

ˆFGˆˆGFnnn (3.5.10)

ˆ也是Fˆ的任一本征函数，而且相应的本征值也是F。由于Fˆ的本征函(3.5.10)式表明，Gnn

ˆ与必然描述同一个态，一个，因此数无简并，对应于本征值Fn的本征函数只有一个，因此Gnn

己么与叭必然描述同一个态，它们之间只能相差一个常

数，以Gn记这一常数，得

GnGnn(3.5.11)

(3.5.11)式表明，n也G的本征函数。F和G有共同的本征函数n.由于上述证明可遍及F中的任何一个本征函数，而且厄米算符F

的本征函数构成完备系，于是得出对易算符F和G具有共同的完备的本征函数系。

再讨论有简并的情况:













FnFnn (a=1，2，„,f)

重复上述证明，显然有







FGnFnGn (3.5.13)

(3. 5. 13)式表明,Gn也是乡的本征函数，相应的本征值也是Fn.但由于F的本征函数有简并，我们不能直接得出Gn与n只差一个常数的结论。但由于(3.5.13)式，Gn的最一般的表示式只能是n的线性组合。即









nCn (3.5.14)

1

f

现在证明，总可适当选择Cα,使n为合的本征函数，满足

GnGnn

的确，如若(3.5.15)成立，有

GnG







C

n

1

f

GnCn (3.5.16)

1

*

f

在(3.5.16)式后一个等号的两边同时乘上n'并

27

C

1

n

f

'

GnGnC' (3.5.17)

1



f

(3.5.17)式是个线性齐次方程组。方程组具有非零解的条件是它 的系数行列式为零:

det

G'



Gn'0(3.5.18)



这是个f行f列的行列式。由于G厄米，有G'G'，可证明这时这个f次的代数方程的根存*

在。由(3.5.18)式解出f个根

28

