[解二元一次方程组]典型例题代入
《解二元一次方程组》典型例题
(1) ⎧2x +3y +4=0,
例1 解方程组⎨
(2) ⎩5x +6y +7=0.
(1) ⎧3x +2y -2=0
⎪
例2 解方程组 ⎨3x +2y +1 2
-2x =-(2) ⎪55⎩
⎧y =2x -1(1)
例3 解方程组⎨
3x -2y =1(2) ⎩
⎧x +y =5,
例4 用代入法解方程组⎨
(x -2) a +2(y -2) =x (a ≠3). ⎩
⎧2
+⎪⎧5(x +y ) -3(x -y ) =2⎪x
例5 解下列方程组:(1)⎨ (2)⎨
⎩2(x +y ) +4(x -y ) =6⎪5-
⎪⎩x
3
=4y
7
=-19y
( 1)⎧x -2=2(y -1),
例6 解方程组⎨
(2)⎩2(x -2) +(y -1) =5.
1⎧
⎧x =3⎪mx +ny =1
例7 若⎨是方程组⎨的解,求m -2n 的值. 2
⎩y =-2⎪⎩3mx +ny =5
⎧x y 13
+=, (1)⎪⎪232
例8 解方程组⎨
x y 3⎪- =. (2)⎪⎩342
⎧3x -y =7(1)
例9 用代入法解二元一次方程组⎨
⎩5x +2y =8(2)
参考答案
例1 分析: 先从方程组中选出一个方程,如方程(1),用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,把它代入另一个方程中,得到一个一元一次方程,解这个方程求出一个未知数的值,再代入求另一个未知数的值.
-3y -4
, (3) 2
-3y -4
+6y +7=0,解得y =-2 把(3)代入(2)中,得5⋅
2
-3⨯(-2) -4
把y =-2代入(3)中,得x =,∴ x =1
2
解: 由(1),得x =
⎧x =1, ∴ ⎨是原方程组的解.
y =-2. ⎩
例2 解:由(1)得 3x +2y =2 (3)
2+121
-2x =-,解得 x =. 552
111把x =代入(3),得 3⨯+2y =2,解得 y =.
224
把(3)代入(2),得
⎧
y =⎪⎪
∴ 方程组的解为 ⎨
⎪y =⎪⎩1
, 2 1. 4
说明: 将3x +2y 作为一个整体代入消元,这种方法称为整体代入法,本题把3x +2y 看作一个整体代入消元比把(1)变形为y =多.
例3 分析:由于方程(1)和(2)中同一字母(未知数)表示同一个数,因此将(1)中y 的值代入(2)中就可消去y ,从而转化为关于x 的一元一次方程.
解:将(1)代入(2),得 3x -2(2x -1) =1,解得,x =1.
把x =1代入(1)得 y =2⨯1-1=1,
2-3x
再代入(2)简单得2
⎧x =1,
∴ 方程组的解为 ⎨
y =1. ⎩
例4 分析:首先观察方程组,发现方程(x -2) a +2(y -2) =x 的形式不是很好,
将其整理成(a -1) x +2y =2(a +2) ,再由x +y =5得x =5-y 或y =5-x 代入其中进行求解;也可由x +y =5得y -2=3-x 代入原式第二个方程先求x ,再求y .
(1)⎧x +y =5
解法一:化原方程组为⎨
(a -1) x +2y =2(a +2) (2)⎩由(1)得y =5-x . (3)
把(3)代入(2),得 (a -1) x +2(5-x ) =2(a +2). 即(a -3) x =2(a -3) . 又 a ≠3,可得x =2. 将x =2代入(3),得y =3.
⎧x =2,
所以⎨
y =3. ⎩
解法二:由x +y =5得y -2=3-x . 将y -2=3-x 代入(x -2) a +2(y -2) =x , 得(x -2) a +2(3-x ) =x . 即(a -3) x =2(a -3). 又 a ≠3,∴x =2.
将x =2代入x +y =5,得y =3.
⎧x =2, ∴⎨
y =3. ⎩
说明:用代入法解方程组,一种是一般代入;另一种是整体代入,这需要结合方程组的形式加以分析,此题用第一种方法解时,不能直接由
(a -1) x +2y =2(a +2) 得x =
2(a +2) -2y
(为什么?).
a -1
⎧a 1x +b 1y =c 1
例5 分析:(1)小题可以先去括号,把方程组整理为一般形式⎨后
a x +b y =c 22⎩2
再解;也可以把(x +y ) 、(x -y ) 看成一个整体,令x +y =m 、x -y =n ,把原方
⎧5m -3n =2
程组变形为⎨求解.
⎩2m +4n =6
(2)小题可以设
⎧2s +3t =411
=s ,=t ,将原方程组化为⎨来解. x y ⎩5s -7t =-19
⎧5m -3n =2x +y =m , x -y =n 解:(1)设则原方程组可化为:⎨
2m +4n =6⎩⎧m =1⎧x +y =1
解这个方程组得 ⎨ 则有⎨
⎩n =1⎩x -y =1⎧x =1
解这个方程组得 ⎨ ∴ 原方程组的解为
y =0⎩(2)设
⎧x =1
⎨y =0⎩
⎧2s +3t =411
=s ,=t 则原方程组可化为⎨ x y ⎩5s -7t =-19
⎧x =-1
⎪⎨1 y =⎪2⎩
⎧1
=-1⎪s =-1⎧⎪x
解这个方程组得 ⎨ 则有⎨ 解得
1t =2⎩⎪=2⎪⎩y
⎧x =-1
⎪把⎨1代入原方程组检验,是原方程组的解.
y =⎪2⎩⎧x =-1
⎪
∴ 原方程组的解为 ⎨1
y =⎪2⎩
例6 解:把(1)代入(2),得2⋅2(y -1) +(y -1) =5.
解得y =2. 把y =2. 代入(1),得x -2=2(2-1) ,
⎧x =4,
∴x =4. ∴⎨
⎩y =2.
说明:本题考查用整体代入法解二元一次方程组,解题时应观察方程组的结构特征,找出其中技巧.
⎧x =3例7 分析:把⎨代入方程组就可以得到关于的二元一次方程,解之即可
⎩y =-2
求出m , n 的值.
⎧3m -n =1(1) ⎧x =3
解:把⎨代入方程组得⎨
⎩9m -2n =5(2) ⎩y =-2
由(1)得n =3m -1 (3), 把(3)代入(2)得9m -2(3m -1) =5, 解得m =1. 把m =1
代入(3)得n =2,
∴ m -2n =-3
说明:本题考查方程的解的性质,当一对数值是方程组的解时,它必能使
方程组中每一个方程都成立.
(3)⎧3x +2y =39,
例8 解:原方程化简,得⎨
(4)⎩4x -3y =18.
由(3)得 y =
39-3x 39-3x
. (5) 把(5)代入(4)=18. ,得4x -3⨯22
⎧x =9,
解得x =9. 把x =9. 代入(5),得y =6. ∴原方程组的解为⎨
⎩y =6. 说明:本题考查较复杂的二元一次方程组的用代入法求解,关键是先对方程组进行化简,再选取系数简单的方程进行变形.
例9 分析:方程中y 的系数的绝对值为1,可选取对它进行变形,用含x 的代数式表示y . 比较下面三种解法, 看哪一种解法最简单.
解法1:由(1)得y =3x -7. (3)
把(3)代入(2)得5x +2(3x -7) =8. 即11x =22, x =2.
⎧x =2
把x =2代入(3),得y =3⨯2-7,即y =-1. ∴⎨是原方程组的解.
⎩y =-1
8-5x
. (3) 2
8-5x
=7. 化简,得11x =22, x =2. 把(3)代入(1)得3x =2
解法2:由(2)得y =
把x =2代入方程(3),得y =
⎧x =28-5⨯2
, y =-1. ∴⎨是方程组的解. 2⎩y =-1
解法3:由(2),得x =
8-2y 8-2y
. (3) 把(3)代入(1)-y =7. ,得3⨯55
8-(-1) ⨯2
24-6y -5y =35, ∴ y =-1. 把y =-1. 代入(3),得x =,
5
⎧x =2,
∴x =2. ∴⎨是方程组的解.
y =-1⎩
说明:本题考查用代入法解二元一次方程组,从上面三种解法可以看出,选择适当的方程变形可使计算简便.