最新北师大版七年级数学下册导学案
1、《同底数幂的乘法》导学案
1、经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,了解正整数指数幂的意义。 2、了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题。 一、 学习过程 (一) 自学导航
1、a n 的意义是表示相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。 叫做底数, 叫做指数。 阅读课本p 16页的内容,回答下列问题: 2、试一试:
(1)32×33=(3×3)×(3×3×3)=3() (2)23×252() (3)a 3∙a 5a () 想一想:
1、a m ∙a n 等于什么(m,n 都是正整数)?为什么?
2、观察上述算式计算前后底数和指数各有什么关系?你发现了什么? 概括:
符号语言: 。
文字语言: 。 计算:
(1) 53×57 (2) a ∙a 5 (3) a ∙a 5∙a 3
(二) 合作攻关
判断下列计算是否正确,并简要说明理由。
(1)a ∙a 2= a 2 (2) a +a 2= a 3
(3)a 2∙a 2=2a 2 (4)a 3∙a 3= a 9 (5) a 3+a 3=a 6 (三) 达标训练 1、 计算:
(1)103×102 (2)a 3∙a 7 (3)x ∙x 5∙x 7
2、 填空:
x 5∙( )=x 9 m ∙( )=m 4 a 3∙a 7∙( )=a 11 3、 计算:
(1)a m ∙a m +1 (2)y 3∙y 2+y 5
(3)(x+y)2∙(x+y)6
4、灵活运用:
(1)3x =27,则x=。 (2)9×27=3x ,则x=。 (3)3×9×27=3x ,则x=。 (四) 总结提升
1、怎样进行同底数幂的乘法运算? 2、练习:
(1)35×27
(2)若a m =3,a n =5,则a m n = 。 能力检测
1.下列四个算式:①a 6·a6=2a6;②m 3+m2=m5;③x 2·x·x8=x10;④y 2+y2=y4.其中计算正确的有(• )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.m 16可以写成( )
A.m 8+m8 B.m 8·m8 C.m 2·m8 D.m 4·m4 3.下列计算中,错误的是( )
A .5a 3-a 3=4a3 B.2m ·3n =6 m+n C .(a-b )3·(b-a )2=(a-b )5 D.-a 2·(-a )3=a5
4.若x m =3,x n =5,则x m+n的值为( ) A.8 B.15 C.53 D.35 5.如果a 2m-1·am+2=a7,则m 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5
6.同底数幂相乘,底数_________,指数_________. 7.计算:-22×(-2)2=_______.
8.计算:a m ·an ·ap =________;(-x )(-x 2)(-x 3)(-x 4)=_________. 9.3n-4·(-3)3·35-n =__________.
2、《幂的乘方》导学案
一、学习目标
1、 经历探索幂的乘方的运算性质的过程,了解正整指数幂的意义。 2、 了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题。 二、 学习过程 (一)自学导航
1、 什么叫做乘方?
2、 怎样进行同底数幂的乘法运算? 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
53
(1)(23)=23⨯25=2() (2)(32)()
3
(3)(a 4)a () 想一想:
,为什么? (a m )n =a () (m,n 为正整数)
概括:
符号语言: 。
文字语言:幂的乘方,底数 指数 。 计算:
45
(1)(53) (2) (b 2)
(二)合作攻关
1、判断下列计算是否正确,并简要说明理由:
33
(1)(a 4)=a 7 (2)a 3∙a 5=a 15 (3)(a 2)∙a 4=a 9
2、计算:
45
(1)(22) (2)(y 2)
3
2
5
(3)(x 4) (4)(y 3)∙(y 2) 3、能力提升:
(1)32⨯9m =3() (2)y 3n =3, y 9n =。
(3)如果2a =3, 2b =6, 2c =12,那么a,b,c的关系是。 (三)达标训练 1、 计算:
44
(1)(33) (2)(a 2)
m n
(3)(a 2) (4)(a m ) (5)[(-x )] 2、选择题:
(1)下列计算正确的有( )
32
A 、a 3∙a 3=2a 3 B 、x 3+x 3=x 3+3=x 6
442
C 、(x 3)=x 3+4=x 7 D 、(a 2)=(a 4)=a 8 (2)下列运算正确的是( ).
A .(x 3)3=x3·x 3 B.(x 2)6=(x 4)4 C .(x 3)4=(x 2)6 D.(x 4)8=(x 6)2 (3)下列计算错误的是( ).
A .(a 5)5=a25; B.(x 4)m =(x 2m )2; C .x 2m =(-x m )2; D.a 2m =(-a 2)m (4)若a n =3, 则a 3n =( )
A 、9 B 、6 C 、27 (四)总结提升
1、 怎样进行幂的乘方运算? 2、(1)x 3·(x n )5=x13,则n=_______. (2)已知a m =3,a n =2,求a m+2n的值;
(3)已知a 2n+1=5,求a 6n+3的值.
D 、18
3、《积的乘方》导学案
一、学习目标:
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,了解正整数指数幂的意义。 2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题。 二、学习过程: (一)自学导航: 1、复习:
(1)103×102 (2)(33)4
(3)a 3∙a 7
(4)x ∙x 5∙x 7 (5)(a m )n
阅读课本p 18页的内容,回答下列问题: 2、试一试:并说明每步运算的依据。 (1)(ab )2=(ab )∙(ab )=(aa )∙(bb )=a ()b ()
(2)(ab )3a ()b () (3)(ab )4a ()b () 想一想:
(ab )n =a ()b (),为什么? 概括:
符号语言:(ab )n n 为正整数)
文字语言:积的乘方,等于把 ,把 。 计算:
(1)(2b )3 (2)(2⨯a 3)2
(3)(-a )3 (4)(-3x )4
(二)合作攻关:
1、判断下列计算是否正确,并说明理由。
(1)(xy 3)2
=xy 6 (2)(-2x )3=-2x 3
2、逆用公式:(ab )n =a n b n ,则a n b n
2011
(1)22011⨯⎛ ⎝-1⎫
2⎪
⎭
(2)(-0. 125)2010⨯82011
3
(3)(-9)3
⨯⎛ ⎝-2⎫⎛1⎫
3
3⎪⎭⨯ ⎝-3⎪⎭
(三)达标训练:
1、下列计算是否正确,如有错误请改正。
(1)(-ab 4)3
=ab 7 (2)(-3pq )2=-6p 2q 2
再
2、计算:
2
(1)(3⨯105) (2)(2x )2
(3)(-xy )3 (4)(ab )3∙(ab )4
3、计算:
5⎫
(1)⎛ ⎪
⎝13⎭
2009
⎛3⎫⨯ 2⎪⎝5⎭
2010
(2)0. 252009⨯42010-8670⨯0. 52010
(四)总结提升
1、怎样进行积的乘方运算? 2、计算:
2
n
(1)(xy 3n )+(xy 6) (2)(-3x 3)-[(2x )2]
3、已知:x n =5 y n =3 求﹙xy ﹚3n 的值
2
3
4、《同底数幂的除法》导学案
1、回忆同底数幂的乘法运算法则:a m ⋅a m =,(m、n 都是正整数) 语言描述: 二、深入研究,合作创新 1、填空:
(1)()⨯28=212 212÷28=(2)()⨯53=58 58÷53=(3)()⨯105=109 109÷105=(4)()⨯a 3=a 8 a 8÷a 3=2、从上面的运算中我们可以猜想出如何进行同底数幂的除法吗?
同底数幂相除法则:同底数幂相除, 。 这一法则用字母表示为:a ÷a =(a≠0,m 、n 都是正整数,且m >n)
说明:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0。
3、特殊地: a m ÷a m =1,而a m ÷a m =a (______)=a (__)
∴a 0=,(a 0)
总结成文字为: ; 说明:如100=1 (-2. 5)0=1,而00无意义。 三、巩固新知,活学活用
1、下列计算正确的是( )
52
A. (-a )÷(-a )=-a 3 B.x 6÷x 2=x 6÷2=x 3 C. (-a )÷a 5=a 2 D.(-x )÷(-x )=-x 2 2、若(2x +1) 0=1,则( )
A. x ≥- B.x ≠- C.x ≤- D.x ≠
3、填空:
412÷43=; x 11÷x 6=
5⎛1⎫⎛1⎫
-a ÷(-a )= = ;-÷-=() 2⎪ 2⎪
⎝⎭⎝⎭
72
(-xy )÷(-xy )= 32m +1÷3m -1=
7
8
6
m n
12121212
42
(-1)
2009
÷(-1)=(a +b )÷(a +b )=x 9÷x 3÷x 2=232
= = 5n +1÷53n +1= = = ;
4、若a m +2÷a 3=a 5,则m =; 若a x =5, a y =3,则a y -x =1⎫,⎛1⎫ ,则a , b , c , d 的大小关系为 5、设a =-0.32,b =-32,c =⎛d = -⎪ -⎪
2
⎝3⎭⎝3⎭
6、若32x -1=1,则x =(x -2)=1,则x 的取值范围是四、想一想
()
10000=104 1=10() 16=24 1=2
1000=10() 0. 1=10() 8=2() 100=10() 0. 01=10() 4=2()
1
=2(2
)
1
=2() 4
8
10=10() 0. 001=10() 2=2() 1=2()
总结:任何不等于0的数的-p 次方(p 正整数),等于这个数的p 次方的倒数;或者等于这个数的倒数的p 次方。即a -p =;(a≠0, p 正整数) 练习:10-3=;3-3=5-2=
⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫
⎪= = ; ⎪= = ; ⎪= = ; ⎝4⎭⎝2⎭⎝3⎭
1. 6⨯10-4=
1. 3⨯10-5=; 1. 293⨯10-3=;
-2
-3
-3
五、课堂反馈,强化练习
1.已知3m =5,3n =2,求32m-3n+1的值.
2. 已知32m =5,3n =10, 求(1)9m -n ;(2)92m -n
5、《单项式乘以单项式》导学案
同底底数幂的乘法: 幂的乘方: 积的乘方: 1. 叫单项式。 叫单项式的系数。
3计算:①(a 2) 2= ②(-23) 2=③[(-1) 2]3= ④-3m 2·2m4 =
2
5
2
4. 如果将上式中的数字改为字母,即ac ·bc,这是何种运算?你能算吗? ac 5·bc2=( )×( )= 5. 仿照第2题写出下列式子的结果
(1)3a2·2a3 = ( )×( )= (2) -3m2·2m4 =( )×( )= (3)x2y 3·4x3y 2 = ( )×( )= (4)2a2b 3·3a3= ( )×( )= 4. 观察第5题的每个小题的式子有什么特点?由此你能得到的结论是:单项式与单
项式相乘, 新知应用(写出计算过程)
12
a )·(6ab ) ②4y · (-2xy 2) ③(-2ax 2) 2⋅(-3a 2x ) 3
3
= = =
④(2x 3)·22 ⑤ (-3x 2y 3) ⋅(5x 3y 4z ) ⑥(-3x2y) ·(-2x) 2 = = =
归纳总结:(1)通过计算,我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点:一是先把各因式的__________相乘,作为积的系数;二是把各因式的_____ 相乘,底数不变,指数相加;三是只在一个因式里出现的________,连同它的________作为积的一个因式。(2)单项式相乘的结果仍是 .
推广: (-3ab )(-a 2c ) 2⋅6ab (c 2) 3一. 巩固练习
1、下列计算不正确的是( )
A 、(-3a 2b )(-2ab 2) =6a 3b 3 B、(-0. 1m )(10m ) =-m 2 C 、(2⨯10n )(⨯10n ) =⨯10n D、(-2⨯102)(-8⨯103) =1. 6⨯106 2、x 2y ⋅(-3xy 3) 的计算结果为( )
A 、-x 3y 4 B、-x 2y 3 C、-x 2y 3 D、-x 3y 4 3、下列各式正确的是( )
A 、2x 3+3x 3=5x 6 B、4xy ⋅(-2x 2y ) =-2x 3y 2 C 、-a 2b ⋅(ab 2) 3=-a 5b 7 D、(-2. 5m 3n ) 2⋅(-4mn 2) 3=400m 8n 7 4、下列运算不正确的是( )
12
18
52
32
52
32
12
25
45
2
A 、2a 2⋅(-3ab 2) =-5a 3b 2 B、(-xy ) 2⋅(-xy ) 3=(-xy ) 5 C 、(-2ab ) 2⋅(-3ab 2) 3=-108a 5b 8 D、5x 2y -x 2y =x 2y
14
A 、2a 8b 14 B、-2a 8b 14 C、a 8b 11 D、-a 8b 11
124
6. (-ax 2)(-2b 2x ) =;7. (abc ) ∙(-ac 2) =;
433
53
8. (6⨯107)(4⨯108)(5⨯1010) = ;9. (-ab 3c ) (a 2bc )⋅(-8abc 4)
310
11
10. (-3mn 2) ⋅m 2n =11. 2xy (-2x 2y 2) ⋅(-xy ) 2=;
32
3
2
72
12
5、计算(-ab 3) 3⋅(-ab ) ⋅(-8a 2b 2) 2的结果等于( )
11. 计算
12⎫⎛1⎫3
(1) (-3ab )(-a 2c ) 2⋅6ab (c 2) 3 (2)⎛ -ab c ⎪⋅ -abc ⎪⋅12a b
⎝2⎭⎝3⎭
2
3
()
⎛⎫23⎫⎛5⎫23n +1n 2
(3)⎛ -a bc ⎪⋅ -c ⎪⋅ab c (4)(-3a b )⋅ ab ⎪⋅(-a c )
⎭
2
⎝3
3⎭⎝4
1⎭2
1⎝3
6、《单项式乘多项式》导学案
一.练一练:
(1)(-0. 25x 2) ⋅(-4x ) (2)(2. 8⨯103) ⨯(5⨯102) (3)(-3x ) 2⋅(2xy 2) = = =
二.探究活动
1、单项式与单项式相乘的法则:
2、2x 2-x-1是几次几项式?写出它的项。
3、用字母表示乘法分配律
三. 自主探索、合作交流
观察右边的图形:回答下列问题
二、 大长方形的长为 ,宽为 ,面积为 。 三、 三个小长方形的面积分别表示为 , , , 大长方形的面积= + + =
(3)根据(1)(2)中的结果中可列等式:
(4)这一结论与乘法分配律有什么关系? (5)根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算?
单项式乘多项式法则: 2、例题讲解: (1).计算 1.2ab (5ab 2+3a 2b ) 2.(ab 2-2ab ) ∙ab
3.(-2a )(2a 2-3a +1) 4.(-12xy 2-10x 2y +21y 3)(-6xy 3) (2).判断题:
(1)3a 3·5a 3=15a 3 ( )
23
12
(2)6ab ∙7ab =42ab ( ) (3)3a 4∙(2a 2-2a 3) =6a 8-6a 12 ( )
(4)-x 2(2y2-xy) =-2xy 2-x 3y ( ) 四.自我测试
1.计算:(1)a (a 2+2a ) (2)y 2(y -y 2) ; (3)2a (-2ab +ab 2)
(4)-3x (-y -xyz ) ; (5)3x 2(-y -xy 2+x 2) ; (6)2ab (a 2b -a 4b 2c ) ;
(7)(a +b 2+c 3) ·(-2a ); (8)[-(a 2) 3+(ab ) 2+3]·(ab 3);
2.已知有理数a 、b 、c 满足|a ―b ―3|+(b +1)2+|c -1|=0, 求(-3ab )·(a 2c -6b 2c )的值.
3.已知:2x ·(x n +2)=2x n +1-4,求x 的值.
4.若a 3(3a n -2a m +4a k )=3a 9-2a 6+4a 4,求-3k 2(n 3mk +2km 2)的值.
13
16
12
13
7、>导学案
一. 复习巩固
1.单项式与多项式相乘,就是根据______________________________________. 2.计算:(1)(-3xy ) 3=________ (2)(-32
x 3y ) 2=________
(3)(-2⨯107) 4=________ (4)(-x ) ⋅(-x ) 2=_________
(5)(-a 2) 3⋅a 5=______ (6)(-2a 2b ) 3⋅(-a 5bc ) 2=______ 3、计算:(1)-2x (2x 2-3x -1) (2)(-1
25
2
x +3
y -
12
)(-6xy )
二.探究活动
1、独立思考,解决问题:如图,计算此长方形的面积有几种方法?如何计算.你从计算中发现了什么?
方法一:__________________________________. 方法二:__________________________________. 方法三:__________________________________ 2.大胆尝试
(1)(m +2n )(m -2n ) (2)(2n +5)(n -3)
总结:实际上,上面都进行的是多项式与多项式相乘,那么如何进行运算呢 多项式与多项式相乘,_____________________________________________ _______________________ ___________________ _______________. 3.例题讲解
例1计算:(1)(1-x )(0. 6-x ) (2)(2x +y )(x -y )
(3)(x -2y ) 2 (4)(-2x +5) 2
例2 计算:
(1)(x +2)(y +3) -(x +1)(y -2) (2)a 2(a +1) -2(a -1)(a +2)
三.自我测试
1、计算下列各题:
(1)(x +2)(x +3) (2)(a -4)(a +1) (3)(y -)(y +)
(4)(2x +4)(6x -) (5)(m +3n )(m -3n ) (6)(x +2) 2
(7)(x +2y ) 2 (8)(-2x +1) 2 (9)(-3x +y )(-3x -y )
2.填空与选择 (1)、若(x -5)(x +20) =x 2+mx +n 则m=_____ , n=________ (2)、若(x +a )(x +b ) =x 2-kx +ab ,则k 的值为( ) (A ) a+b (B ) -a -b (C )a -b (D )b -a (3)、已知(2x -a )(5x +2) =10x 2-6x +b 则a=______ b=______ (4)、若x 2+x -6=(x +2)(x -3) 成立,则X 为3、已知(x 2+mx +n )(x +1) 的结果中不含x 2项和x 项,求m ,n 的值.
34
1213
8、《平方差公式》导学案
一.探索公式
1、沿直线裁一刀,将不规则的形,并用代数式表示出你新拼图
2、计算下列各式的积
(1)、 (x +1)(x -1) (2)、(m +2)(m -2) = =
(3)、 (2x +1)(2x -1) (4)、(x +5y )(x -5y ) = =
观察算式结构,你发现了什么规律?计算结果后,你又发现了什么规律? ①上面四个算式中每个因式都是 项.
②它们都是两个数的 与 的 .(填“和”“差”“积”) 根据大家作出的结果,你能猜想(a+b)(a -b )的结果是多少吗? 为了验证大家猜想的结果,我们再计算: ( a+b)(a -b )= = . 得出:(a +b )(a -b = 。其中a 、b 表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式,这个公式叫做整式乘法的 公式,用语言叙述为 。
右图重新拼接成一个矩形的面积
1、判断正误:
(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x 2-3b 2; ( ) (2)(4x+3b)(4x-3b)=16x 2-9; ( )
2、判断下列式子是否可用平方差公式
(1)(-a+b)(a+b)( ) (2) (-2a+b)(-2a-b) ( ) (3) (-a+b)(a-b)( ) (4) (a+b)(a-c) ( ) 3、参照平方差公式“(a+b)(a -b )= a2-b 2”填空
(1)(t+s)(t-s)= (2) (3m+2n)(3m-2n)= (3) (1+n)(1-n)= (4) (10+5)(10-5)= 二、自主探究
例1:运用平方差公式计算
(1)(3x +2)(3x -2) (2)(b +2a )(2a -b ) (3)(-x +2y )(-x -2y )
例2:计算
(1)102⨯98 (2)(y +2)(y -2)-(y -1)(y +1)
达标练习
1、下列各式计算的对不对?如果不对,应怎样改正?
(1) (x +2)(x -2)=x 2-2 (2) (-3a -2)(3a -2)=9a 2-4 (3) (x +5)(3x -5)=3x 2-25 (4) (2ab -c )(c +2ab )=4a 2b 2-c 2 2、用平方差公式计算:
1)(3x+2)(3x-2) 2)(b+2a)(2a-b ) 3)(-x+2y)(-x-2y ) 4)(-m+n)(m+n)
5) (-0.3x +y )(y +0.3x ) 6) (-a -b )(a -b )
3、利用简便方法计算:
(1) 102×98 (2) 20012 -19992
(1) (x +y )(x 2+y 2)(x 4+y 4)(x -y ) (2) (a +2b +c )(a +2b -c ) (3) (+5)2 -(-5) 2
探索:1002-992+982-972+962-952+„„+22-12的值。
x 2
x 2
12
12
9、《完全平方公式》导学案
一、探索公式
问题1. 利用多项式乘多项式法则,计算下列各式,你又能发现什么规律? (1)(p +1)2=(p +1)(p +1)=__________________________. (2)(m +2)2=____________=_______________________. (3) (p -1)2=(p -1)(p -1)=(4) (m -2)2=____________ =_________________________. (5) (a +b )2=____________=_________________________ . (6) (a -b )2=____________ =________________________. 问题2. 上述六个算式有什么特点?结果又有什么特点?
问题3.尝试用你在问题3中发现的规律,直接写出(a +b )2和(a -b )2的结果.
即:(a +b ) 2=(a -b ) 2=问题4:问题3中得的等式中,等号左边是 ,等号的右边: ,把这个公式叫做(乘法的)完全平方公式 问题5. 得到结论:
(1)用文字叙述: (3)完全平方公式的结构特征: 问题6:请思考如何用图15. 2-2和图15. 2-3中的面积说明完全平方公式吗?
问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异 二、例题分析
例1:判断正误:对的画“√”,错的画“×”,并改正过来. (1)(a +b ) 2=a 2+b 2; ( ) (2)(a -b ) 2=a 2-b 2; ( ) (3)(a +b ) 2=(-a -b ) 2; ( ) (4)(a -b ) 2=(b -a ) 2. ( ) 例2. 利用完全平方公式计算 (1) (4m +n )
2
1⎫2
(2)⎛ (3) (x +6) (4) (-2x +3y )(2x -3y ) y - ⎪
2⎭⎝
2
例3. 运用完全平方公式计算:
(5) 1022 (6) 992
三、达标训练
1、运用完全平方公式计算:
13
(1) (2x -3) 2 (2) (x +6y ) 2 (3)(-x + 2y )2
(4)(-x - y )2 (5) (-2x +5)2 (6) (x -y ) 2
2. 先化简,再求值:(2x +3y )2-(2x +y )(2x -y ),
34
23
11
其中x =, y =-
22
3. 已知 x + y = 8,xy = 12,求 x 2 + y 2 的值
4. 已知a +b =5 ab =3,求a 2+b 2和 (a -b ) 2的值
10、《单项式除以单项式》导学案
一、复习回顾,巩固旧知
1. 单项式乘以单项式的法则:
2. 同底数幂的除法法则: 二、创设情境,总结法则
问题1:木星的质量约是1.90×1024吨.地球的质量约是5.08×1021吨.•你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
问题2:(1)回顾计算(1. 90⨯1024)÷(5. 98⨯1021)的过程, 说说你计算的根据是什么?
(2)仿照(1)的计算方法,计算下列各式: 8a 3÷2a
分析: 8a 3÷2a 就是(8a 3)÷(2a )的意思, 解:
6x 3y ÷3xy
分析: 6x 3y ÷3xy 就是(6x 3y )÷(3xy )的意思 解:
12a 3b 2x 3÷3ab 2
分析: 12a 3b 2x 3÷3ab 2就是12a 3b 2x 3÷3ab 2的意思
()()
解:
(3)讨论(2)中的三个式子是什么样的运算.
答 问题3同学们你能根据上面的计算,尝试总结一下单项式除以单项式的运算法则吗?(提示:从系数、相同字母、只在被除式中出现的字母三个方面总结)
得到结论:单项式除以单项式的法则: 三、例题分析
例1. (1)28x 4y 2÷7x 3y (2)-5a 5b 3c ÷15a 4b
(3)(2x 2y )3·(-7xy 2)÷14x 4y 3 (4)5(2a +b )4÷(2a +b )2
达标训练 1. 计算:
(1)10ab 3÷(-5ab ) (2)-8a 2b 3÷6ab 2
(3)-21x 2y 4÷(-3x 2y 3) (4)(6⨯106)÷(3⨯105)
2. 把图中左边括号里的每一个式子分别除以2x 2y ,然后把商式写在右边括号里.
⎧2x
⎧4x 3y ⎫⎪⎪⎪43⎪-12x y ⎪⎪⎪⎪÷2x 2y ⎪2→⎨⎨-16x yz ⎬−−−⎪⎪⎪⎪1x 2y ⎪⎪⎪⎪⎪⎩2⎭
⎩
⎫⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎭
课后练习
2
1. (1)24x 2y ÷(-6xy ) (2)(-5r 2)÷5r 4
123⎫
(3)7m (4m p )÷7m (4)-12s t ÷⎛ s t ⎪
⎝2⎭
2
2
2
(
46
)
2
11、《多项式除以单项式》导学案
一、 课前预习
1、单项式除以单项式法则是什么?
2、计算:
(1)4a 2b ÷2a = (2)3a 2b 2÷(-ab ) =(3)a 4÷(-a ) 2=2n 2÷2m 2n=
(5) 10a 4b 3c 2÷(-5a 3b )= (6) (-2x 2y ) 2÷(4xy 2)= 二、自主探究
请同学们解决下面的问题: (1)(ma +mb ) ÷m =__________;ma ÷m +mb ÷m =_________ (2)(ma +mb +mc )÷m =________;ma ÷m +mb ÷m +mc ÷m =__________ (3)(x 2y 2-xy +x ) ÷x ________;x 2y ÷x -xy ÷x +x ÷x =_________ 通过计算、讨论、归纳,得出多项式除单项式的法则
多项式除单项式的法则:多项式除以单项式,先把 ,再把 。 用式子表示运算法则
想一想(ma +mb +mc ) ÷m =ma ÷m +mb ÷m +mc ÷m 三、 例题分析 1、计算:
(1) (6a 2b -2b ) ÷b (2) (3ab -2a ) ÷a
(3)(4x 3+2x 4y ) ÷(-x ) 2 (4) (a 2+ab )÷a
(5 (9x 4+15x 2+6x ) ÷3x (6) (4x 3y -6x 2y 2+xy 2) ÷2xy
2、练一练
(1)(9a 4+12a 2+6a 3) ÷6a (2)(5ax 2+15x ) ÷5x
2
(3)(12m 2n +15mn 2-6mn ) ÷6mn (4)(12x 5y 4-6x 4y 5+4x 3y 3) ÷(-x 2y )
(5)(8x 4y 3-12x 2y 2-20x 3y 3) ÷(-2xy ) 2
四、 能力拓展 1、计算:
(1) (8a 3b -5a 2b 2) ÷4ab (2)[(x +y )(x -y )-(x -y ) 2]÷2y
2
3
(3)(8a 2-4ab ) ÷(-4a ) (4)(6x 4-8x 3)÷(-2x 2)
⎫32
(5)(8a 3b -5a 2b 2)÷4ab (6)⎛ y -7y +y ⎪÷y
2
⎝5
223⎭3
2. 已知:2x -y =10, 求⎡(x 2+y 2)-(x -y )+2y (x -y )⎤÷4y 的值 ⎣⎦
2
12《 因式分解(1)》
问题一:1. 回忆:运用前两节所学的知识填空: (1)2(x +3)=___________________; (2)x 2(3+x )=_________________;
(3)m (a +b +c )=_______________________. 2. 探索:你会做下面的填空吗? (1)2x +6=( )( ); (2)3x 2+x 3=( )( ); (3)ma +mb +mc =( )2.
3. 归纳:“回忆”的是已熟悉的 运算,而要“探索”的问题,其过程正好与“回忆” ,它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式,这就是因式分解(也叫分解因式).
4. 反思:①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式. ②分解后每个因式的次数要 (填“高”或“低”)于原来多项式的次数. 问题二:1. 公因式的概念.
⑴一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为a ,b ,c ,宽都是m ,用两个不同的代数式表示这块场地的面积.
① _______________________________, ② ___________________________
⑵填空:①多项式2x +6有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式.
23
②3x+x有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ③ma+mb+mc有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ※多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式各项的公因式.
2.提公因式法分解因式. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以 ,从而将多项式化成两个 的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如:ma +mb +mc =m (a +b +c ) 3. 辨一辨:下列各式从左到右的变形,哪是因式分解?
22
(1)4a(a+2b) =4a +8ab ; (2)6ax -3ax =3ax(2-x) ;
22
(3)a -4=(a+2)(a-2) ; (4)x -3x +2=x(x-3) +2.
b +⎪ (5)36a 2b =3a ∙12ab (6)bx +a =x x ⎭⎝
4. 试一试: 用提公因式法分解因式:
(1)3x+6=3 ( )(2)7x 2-21x=7x ( )
(3)24x 3+12x2 -28x=4x( ) (4)-8a 3b 2+12ab3c-ab=-ab( ) 5. 公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;②字母:各项都含有的相同字母;③指数:相同字母的最低次幂.
6. 方法技巧: (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤:a 、确定公因式b 、把公因式提到括号外面后,用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. (2)、为了检验分解因式的结果是否正确,可以用整式乘法运算来检验. 问题三:1. 把下列多项式分解因式:(1)-5a 2+25a (2)3a 2-9ab
⎛
a ⎫
分析(1):由公因式的确定方法,我们可以这样确定公因式:
①定系数:系数-5和25的最大公约数为5,故公因式的系数为( ) ②定字母:两项中的相同字母是( ),故公因式的字母取( ); ③定指数:相同字母a 的最低指数为( ),故a 的指数取为( ); 所以,-5 a2+25a 的公因式为:( ) 2.练一练:把下列各式分解因式:
(1)ma+mb (2)5y3-20y 2 (3)a2x2y-axy 2 (4)-4kx-8ky
2232
(5)-4x+2x2 (6)-8m2n-2mn (7)ab-2ab +ab (8)3x–3x –9x
(9)-20x2y 2-15xy 2+25y3 (10)a(a+1)+2(a+1) (11)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
达标检测,体验成功(时间20分钟,满分100分)
1.判断下列运算是否为因式分解:(每小题10分,共30分)
(1)m(a+b+c)= ma+mb+mc. ( )(2)a 2-b 2 = (a+b)(a-b) ( )
442222
(3) a2-b 2+1= (a+b)(a-b)+1 ( )④x -y =(x +y )(x -y )( ) 2.①3a+3b的公因式是: ②-24m 2x+16n2x 公因式是: ③2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是: ④ 4ab-2a 2b 2的公因式是:
(2)把下列各式分解因式:①12a2b+4ab = ②-3a 3b 2+15a2b 3 = ③15x3y 2+5x2y-20x 2y 3 = ④-4a 3b 2-6a 2b+2ab =
⑤4a4b-8a 2b 2+16ab4 = ⑥ a(x-y)-b(x-y) = 3.若分解因式x 2+mx -15=(x +3)(x +n ),则m 的值为 .
22
4.把下列各式分解因式:⑴8mn+2mn ⑵12xyz-9xy ⑶ 2a(y -z )-3b(z-y)
5.利用因式分解计算:21×3.14+62×3.14+17×3.14
6. 已知a+b=5,ab=3, 求a 2b+ab2的值.
13 《因式分解(2)》
1.因式分解概念:把一个多项式化成 的 的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与 互为逆运算. 2. 判断下列各变形,属于整式乘法还是因式分解: (1) x2-9= (x+3)(x-3) ( ) ⑵(x +1)(x -1)=x2-1( )
22
3. (1)(a +b )(a -b )=________;(2)(a +b )=___ __.(3)(a -b )=__________. 4. 探索:你会做下面的填空吗? (1)a 2-b 2=( )( );(2)a 2+2ab +b 2=( )2. (3)a 2-2ab +b 2=( )2.
5. 归纳: 公式1:a 2-b 2= = (a+b)(a-b) 平方差公式
公式2:a 2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方公式.
6. 试一试:用公式法分解因式:(1)m 2-16= ; (2)y 2-6y+9= 问题二:1、基础知识探究
⑴观察a-2b 2=(a+b)(a-b)左右两边具有哪些结构特征?如果要分解的多项式含有公因式应如何处理?⑵观察a 2±2ab+b2=(a±b)2左右两边具有哪些结构特征? 2、选择恰当的方法进行因式分解.
(1)25x 2 -16y2= (2)-z 2+(x-y)2 = (3)9(m+n)2-(m-n)2= (4)3x 3 -12xy = (5)x2+4xy+4y2= (6) 3ax2+6axy+3ay2= (7)(m+n)2-6(m+n)+9=
1. 直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时,可以直接利用公式法分解因式. (1)x 2-9; (2)9x 2+6x +1.
2. 提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时,一般要先提公因式,然后再看是否能利用公式法. (1)x 5y 3-x 3y 5; (2)4x 3y+4x2y 2+xy3.
3. 系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式, 往往需要调整系数, 转换为符合公式的形式, 然后再利用公式法分解.
(1)4x2-25y 2; (2)4x2-12xy 2+9y4.
4. 指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式, 然后利公式法分解因式, 应注意分解到每个因式都不能再分解为止.
(1)x4-81y 4; (2)16x4-72x 2y 2+81y4.
5. 重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时,可以将所给多项式交换位置,重新排列,然后再利用公式.
(1)-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).
6. 整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时,可以先将其中的项去括号整理,然后再利用公式法分解. 分解因式: (x-y)2-4(x-y-1).
7. 连续用公式:当一次利用公式分解后,还能利用公式再继续分解时,则需要用公式法再进行分解,到每个因式都不能再分解为止. 分解因式:(x2+4)2-16x 2.
达标检测,体验成功(时间20分钟) 一、判断题:
1.(a 2-b 2)(a 2+b2)=a4-b 4 ( )2.a 2-ab+b 2=(b-a )2 ( )
23.4a 3+6a2+8a=2a(2a 2+3a+4a)( )4.分解因式a 3-2a 2+a-1=a(a-1)-1 ( ) 5.分解因式(x -y )2-2(x -y )+1=(x -1)2 ( ) 二、填空题:
6.若n 为整数,则(2n+1)2-(2n -1)2一定能被________整除. 7.因式分解-x 3y 2-x 2y 2-xy=_______
8.因式分解(x -2)2-(2-x )3=_______ 9.因式分解(x+y)2-81=_______ 10.因式分解1-6ab 3+9a2b 6=_______
11.当m______时,a 2-12a -m 可以写成两数和的平方. 12.若4a 2-ka+9是两数和的平方,则k=_______.
13.利用因式分解计算:1998×6.55+425×19.98-0.1998×8000=________. 三、选择题:
14.下列各式从左边到右边的因式分解中,正确的是( ) A .x 2+y2-2xy=(x+y)2-2xy B.(m-n )(a-b )2-(m+n)(b-a )2=-2n(a-b )2 C .ab (a-b-c )=a2b-ab 2-abc D.a m +am+1=am+1(a+1) 15.把a 2(x -3)+a(3-x )分解因式,结果是( ) A .(x-3)(a+a) B.a (x-3)(a+1)C .a (x-3)(a-1)D .a 2(3-x )(1-a ) 16.若x 2+mx+4能分解成两个一次因式的积,则m 为( )
A.±1 B .±5 C.±2 D.±4 四、把下列各式分解因式: 17.2x 4-32y 4 18.(a-b )+2m(a-b )-m 2(b-a ) 19.ab 2(x-y )-ab (y-x )
1412
20.125a 2(b-1)-100a (1-b ) 21.m 4+2m2n+4n2 22.-a 4+2a2b 2-b 4 23.(x+y)2-4z 2 24.25(3x -y )2-36(3x+y)2
14
13 >
一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列运算正确的是( ) A .x 2+x 2 =x4 B .(a-1)2=a2-1 C.3x +2y=5xy D.a 2 . a3=a5 2.下列由左到右的变形中,不属于因式分解的是( ) A .x(x-2)+1=(x-1)2 B.a 2b +ab 3=ab(a+b 2) C .x 2+2xy +1=x(x+2y) +1 D .a 2b 2-1=(ab+1)(ab-1) 3.用乘法公式计算正确的是( )
A .(2x-1)2=4x2-2x +1 B.(y-2x)2=4x2-4xy +y 2
C .(a+3b) 2=a2+3ab +9b 2 D .(x+2y) 2=x2+4xy+2y2 4.已知a+b=5,ab=-2,那么a 2+b 2=( )
A .25 B.29 C .33 D.不确定 5.下列运算正确的是( )
A .x 2 · x3=x6 B.x 2+x2=2x4 C.(-2x)2=-4x2 D .(-2x2) (-3x3)=6x5 6.若a m =3,a n =5,则a m+n=( )
A .8 B .15 C.45 D.75 7.如果(ax-b)(x+2)=x2-4那么 ( )
A .a=1,b=2 B .a=-1,b=-2 C .a=1,b=-2 D.a=-1,b=2 8、下列各式不能用平方差公式计算的是( ) A .(y-x )(x+y) B.(2x-y)(-y-2x) C.(x-3y)(-3y+x) D.(4x-5y)(5y+4x) 9.若b 为常数,要使16x 2+bx+1成为完全平方式,那么b 的值是( ) A .4 B .8 C.±4 D .±8 10.下列计算结果为x 2y 3的式子是( )
A .(x3y 4)÷(xy) B.(x3y 2)·(xy2) C.x 2y 3+xy D.(-x3y 3) 2÷(x2y 2) 二、填空题(每题3分,共21分) 11.(10a3-3a 2b +2a)÷a=__________ 12.(x+2)(x-3)= _____________
13. 如果x n y 4与2xy m 相乘的结果是2x 5y 7,那么m=______n=_______ 14. an b n+1·(abn ) 3________________ 15. x2+ +49=(x+ )2
16. 若(x+a)(2x+7)的积中不含有x 的一次项,则a 的值是________ 17. 有三个连续自然数,中间一个是x ,则它们的积是___________ 三、解答题 (共69分) 19.计算:(每小题5分,共20分)
(1)(-x 2+3y)(-2xy) (2)[5xy2(x2-3xy) +(3x2y 2) 3]÷(5xy)2
(3)(2m+1)(2m-1)-m·(3m-2) (4)10002-998×1002 (简便运算)
20.请把下列多项式分解因(每小题为5分,共15分)
(1)ab 2-2ab +a (2)a 2-2 (3)x 2-9+8x
21.先化简,再求值. (7分)(1)y(x+y)+(x+y)(x-y)–x 2 ,其中x =-2 , y = 1
22.(7分)实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示, 化简(b -
a ) 2-a 2
23.(10分)如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,•规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米?•并求出当a=3,b=2时的绿化面积.
24.(10分)2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标图案如图所示. (1)它可以看作由四个边长为a 、b 、c 的直角三角形拼成,请从面积关系出发,写出一个a 、b 、c 的等式. (要有过程)
(2)请用四个边长为a 、b 、c 的直角三角形拼出另一个图形验证(1)中所写的等式,并写出验证过程