勾股定理的应用教学设计
勾股定理的应用教学设计
饶阳二中 刘立红
教学目标
知识与技能:1、熟练掌握勾股定理的内容,能利用勾股定理进行简单计算。 2、掌握勾股定理的简单应用,探究最短距离问题。
过程与方法:1、通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化
思想,培养学生解决现实问题的意识和应用能力。 2、通过探究勾股定理在实际问题中的应用,将学生的空间想象、
动手操作和思考有机的结合起来,同时熟悉并恰当的运用勾股定理。
情感态度与价值观
在数学中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯;体会勾
股定理的应用价值,通过本节的学习,让学生体会到数学来源于生活,又应用到生活中去,增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。同时在学习的过程中体会获得成功的喜悦,提高了学习数学的兴趣和信心。
教学重点:1、熟练运用股股定理解决实际问题,掌握最短距离问题。
2、探究空间与平面图形的关系。
教学难点:灵活运用勾股定理解决最短距离问题。 课前准备:两个圆柱,一个长方体
教学方法:互动式教学,合作探究学习 教学过程:
一、 问题引入
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a:b=1:2,c=5, 求a。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。 2. 已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。 A D
二、探究新知
如图,一圆柱形油罐底面周长为24m,高为6m,一只壁虎从距底面1m的A处爬行到B处去捕食,它爬行的最短路线长为多少?
B
分析:由于壁虎是沿着圆柱的表面爬行的,把圆柱侧面沿AC展开成平面图形,可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽边上,距离左下角1m处和长边的中点处,根据两点之间线段最短,知道AB的长为最短路线。
解:由题意,知AC=6-1=5,BC=24×0.5=12 由勾股定理得,AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13. 所以壁虎爬行的最短路线长为13m.. 解题锦囊:“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用,一般的,求最短路线要把立体问题转化为平面问题,再利用两点之间线段最短或者点到直线的所有连线中,垂线段最短以及勾股定理等有关知识来解决,这类问题设计的集合体主要有长方体、正方体、圆柱等,在将集合体的便面展开时,要注意确定展开图中两点的相应位置。另外,由于将几何体的表面展开时可能有集中不同的情况,因此,有些问题可能会求的几个不同结果,这就需要通过分析比较选出适合题意的答案。
三、衍生训练
衍生1 有一个长方形纸盒,如图,小明所在的数学小组研究由长方体的底面上的A点经过表面到长方体上与A点相对的B点的最短距离,若长方体的长为12,宽为9,高为5,请你帮助数学小组求出由A点到B点的最短距离(结果精确到0.01,21.592≈466, 442≈340)。
解:点A到点B的面上的距离有三种情况:四边形ACDF和四边形CEBD展开在同一平面上;四边形ACDF与四边形FDBG展开在同一平面上;四边形AHGF和四边形FDBG展开在同一平面上。应在这三种情况下进行求解,再比较哪种距离最短。
(1)将四边形ACDF和四边形CEBD展开在同一平面上,如图(1)
所示。AB=AE+BE=5+(12+9)=466.
(2)将四边形ACDF和四边形FDBG展开在同一平面上,如图(2)
所示。
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AB2=AC2+BC2=122+(5+9)2=340.
(3) 将四边形AHGF和四边形FDBG展开在同一平面上,如图(3)
所示。 AB=AD+BD=9+(5+12)=370.
因为340<370<466,所以由A到B最短距离是图(2)的情况,此时AB≈18.44,所以由A到B的最短距离是18.44。
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衍生2 如图,有一个圆柱,其高为12厘米,底面半径3厘米,在原著下A处有一只小虫,它想得到上底面B处的食物,则小虫经过的最短距离为多少厘米?
解析:小虫在圆柱上从
A点到
B点是沿着曲面走的,所以走的是曲线,而如果把圆柱展开后,圆柱中曲面将变为平面,这时再求小虫从A点走到
B点的最短距离就转化为平面问题了。把圆柱沿BC剪开,展开
后成为图b,小虫沿线段AB走是最短的。
因为点A是CD的中点, 所以AC=1/2CD, 又CD是圆柱的底面周长,所以CD=2π×3=6π 所以AC=3π≈9,
又因为BC=12,所以AB=
AC
2
BC
2
15,
所以小虫经过的最短距离为15厘米。
四、练一练
如图所示是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别等于165cm、30cm和18cm.A和B是这个台阶上的两个相对的端点.A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短路程是多少?
五、课堂小结
1、能利用勾股定理解决最短距离问题。
2、能够利用转化思想,将实际问题转化成数学问题,还要注意渗透数形结合的思想。 六、作业布置 七、课后反思
本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力,让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣,突现教学过程中的师生互动,使学生真正成为主动学习者。
在老师的积极引导下,同学们能够将立体图形转化为平面图形,从而抽象出数学模型,利用勾股定理解决实际问题。
只是对于长方体的三种不同情况,有些学生理解较为吃力,借助于教具和多媒体课件的演示也能启发一部分学生思考讨论,最终得出结论。