临界力和欧拉公式
第二节 临界力和欧拉公式
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第二节 临界力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。这个
压力的限度称为临界力P cr 。它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。 为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：
(1) 压杆的材料，P cr 与材料的弹性模量E 成正比，即
(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr 与压杆横截面的轴惯性矩J 成正比，即
(3) 压杆的长度，P cr 与长度的平方l 2成反比，即
(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数μ，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数
为计算方便，写成
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力
P cr ，的作用下处于不稳定直线
形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。这是压杆稳定问题中最简单的一种。由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3) 。现假设压杆轴线在临界力
P cr 作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。在图示的坐标系下，压力P cr
取正值，位移忙V=f(x)以沿y 轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。压杆任一x 截面上弯矩为
将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)
中，并利用压杆支承处的边界
条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力力实际也就是使压杆维持微弯平衡的最小压力。 ．．．．．．．．．．．．．． 将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得
P cr 。
这个临界
其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。令
公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程
其通解为
式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。 由x =0，v =0的边界条件可得因此式(7-1e) 可化为
利用杆的另一边界条件x =L ,
v =0代入式(7-1f)可得
这就要求A =0或sin k L =0。若A =0，则由式(7-1f)可得v =0，即杆的挠度为零，这和假定杆在临界力
P cr 作用下维持微弯状态的平衡的前提相矛盾。
因此，只可能
这就是压杆有可能在微弯形态下维持平衡的必备条件。由此还可进一步求出压杆的临界力由式(7-1g)
可知故
P cr 。
将此关系代入式(7-lc)得
所以
由于使杆维持微弯平衡的最小压力才是临界力，故在公式(7-1i)中应取n =l。于是得欧拉(L.Euler)在1774年推得的公式，常称欧拉公式，即
由于杆的两端系球铰，它对端截面的转动约束在各方向上都是相同的，而杆的弯曲变形总是发生在抗弯能力最弱的主惯性平面内，故上式中的，应是横截面的最小形心主惯性矩
I min 。
L 另外，当x =2时，令v =δ代入式(7-1f)，考虑到当n =l时，k =故式(7-1f)可化为
这说明两端铰支压杆的挠曲线是一个半波正弦曲线。式(7-2b)中δ的具体值无法确定，似乎压杆在临界压力作用下于微弯状态时的平衡是随遇的，δ可取任意值。之所以这样，是因为推导过程中采用了挠曲线近似微分方程的缘故。若采用挠曲线的精确微分方程，则挠曲线中点的挠度δ与轴向压力P 存在一一对应关系(见图7-2(b))。
不同杆端约束-F 细长压杆临界力的
欧拉公式·压杆的长度系数
在工程中，除了两端铰支的压杆外，还会遇到其他不同形式的杆端约束的情况。对于这些情况下压杆临界力的公式，可用与上节相同的方法来推导。当然这里我们仍然强调，压杆在临界力的作用下于微弯状态时仍处于弹性范围内。压杆的临界力也可通过变形类比的方法得出。以一端固定、一端自由的细长压杆为例，其在微弯状态的平衡如图7-4(b)所示。将它和两端铰支杆在微弯形态下的挠曲线(图7-4(a))相比较，可见它的变形曲线和两端铰支杆的变形曲线的上半部是一样的。设想将图7-4(b)所示的曲线对称的延长一倍，所得的曲线将完全和图7-4(a)所示的曲线一样。在弹性范围内，相同的变形对应相同的力，故一端固定，一端自由，长为L 的压杆的临界力就等于两端铰支但长度为2L 的压杆的临界力，故此种压杆的临界力应为
对于两端固定的细长压杆，其失稳后挠曲线如图7-4(c)所示。在距两端为上L 4处，挠曲线有拐点，此处的弯矩为零，因而可把该处视为一个铰，这样就可把其中长为L 2的中间部分当作是两端铰支的杆。因此，由前面相似的论证可知，两端固定，长为L 的压杆的临界力就等于两端铰支但长度为2的压杆的临界力，故此种压杆的临界力应为
同样，对一端固定，一端铰支的细长压杆，其失稳后挠曲线如图7-4。对于这种情况可近似地把长为0.7L 他的那一部分杆当作两端铰支杆，故
综上所述，以上各式可统一写成
这就是细长压杆欧拉公式的普遍形式。式中μL 是把不同支座约束条件下的压杆折算成和其临界力相当的两端铰支杆时所用的一个折算长度，称为相当长度。称为长度系数，图7-4中列出了各种情况下压杆的长度系数。
以上几种约束只是几种典型的情况，实际问题中压杆的支座还可有其他形式。例如杆端与其他弹性构件固接的压杆，这种情况相当于压杆的端面是介于固定支座和铰支座之间的弹性支座。另外，作用在压杆上的荷载也可以有不同的形式。例如压力可以是沿压杆轴线分布而不是集中作用在杆的两端。所有这些因素对压杆临界力的影响，可以用不同的长度系数μ值来反映。在有关的设计规范中对各种压杆μ值的选取均有具体的规定。
例题7-1 例题7—1图(a)所示为两端固定，但上端可有水平位移的等截面细长中心受压直杆，其长度为l ，抗弯刚度EL 。试推导其临界力
P cr ，的欧拉公式，并求出挠曲线方程。
解：在临界力
P cr 作用下，
压杆可在图(b)所示的微弯状态下维持平衡。此时杆上端B 处有支反
力偶矩m ，转向如图示。杆任意x 横截面上的弯矩为此时，压杆挠曲线近似微分方程为
引入参数可得
此微分方程通解为其一阶导数为
'
由下端A 处的边界条件x =0, v =0, v =0可得
于是由式(7-5a) 有
v = , v ' =0可得 再由上端B 处的边界条件x =l，
由式(7-5e)可知，使压杆微弯条件下维持平衡的条件为满足此条件的最小非零解为
故此压杆临界力的欧拉公式为
将kl =π代入式(7-5d)得
将
代入式(7-5c) ，
压杆挠曲线方程
现在讨论此挠曲线的拐点。为此，取二阶导数
当
M
故杆的中点C 即为挠曲线的拐点，亦即该点处的弯矩
l
() 2
=0
又由式(7-5f)可知，该点处挠
δ
度为2。