经典一次函数培优题(含答案及讲解)
一次函数培优讲解
已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x 轴交易点（-2，0），则不等式ax 大于b 的解集为（ ） A.x>2. B.x-2. D.x
此题正确选项为A
解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限
∴有a ＞0
将（-2，0）代入一次函数解析式则b=2a
∴ax ＞b 可化为ax ＞2a
又a ＞0
∴原不等式的解集为x ＞2
在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个．
因为直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点，让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
由题意得：{y=x+2y=kx-4，
解得：{x=6k-1y=6k-1+2，
∴k 可取的整数解有0，2，-2，-1，3，7，4，-5共8
个．
若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a 有解，则实数a 最小值是（ ）
绝对值的一元一次不等式．
算题；分类讨论．
类讨论：当x ＜1或1≤x ≤3或x ＞3，分别去绝对值解x 的不等式，然后根据x 对应的取值范围得
到a 的不等式或不等式组，确定
a 的范围
，最后确定a 的最小值．
＜1，解得a ＞6
当1≤x ≤3，原
不等式变为
：2x-2+9-3x≤a ，解得x ≥7-a ，
∴1≤7-a ≤3，解得4≤a ≤6；
当x ＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a ，解得x ＜
＞3，解得a ＞4；
综上所述，实数a 最小值是4．
已知实数a ，b ，c 满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限？
这个题目不需要证明，只需要判断即可。
首先，令x=0，则y=-3
显然只要k>0 则，过1，3，4象限。
只要k
由a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，显然 a=b=c=1的时候，满足所有条件，而此时 k 》0 所以过1，3，4象限。
再如a=b=c=-1的时候，也满足， 此时k=0 , 那么 y = -3 ，只过3、4象限。
设直线nx+(n+1)y=（n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n （n=1，2，„2000），则S 1+S2+„+S2000的值为（ ）
已知一次函数y=ax+b的图象过（0，2）点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a 的值为（ ）
把点（0，2）代入一次函数y=ax+b，得b=2；再令y=0，得x=-2a，即它与x 轴的交点坐标为（-2a ，0）；由图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，所以有|-2a|=2，解此方程即可得到a 的值．
∵一次函数y=ax+b的图象经过点（0，2），
即与y 轴的交点坐标为（0，2），∴b=2；
令y=0，则0=ax+2，得x=-2a，即它与x 轴的交点坐标为（-2a ，0）；
又∵图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，
∴|-2a|=2，解得a=±1．
所以a 的值为±1．
故选A ．
（2010•上海）一辆汽车在行驶过程中，路程y
（千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示．当
0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y=60x，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为．
y=100x-40
解：∵当时0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为y=60x，
∴当x=1时，y=60．
又∵当x=2时，y=160，
当1≤x ≤2时，
将（1，60），（2，160）分别代入解析式y=kx+b得，
k+b=10 2k+b=160
，
解得
k=100 b=-40
，
由两点式可以得y 关于x 的函数解析式y=100x-40．
由图象可知在前一个小时的函数图象可以读出一个坐标点，再和另一个坐标点就可以写出函数关系式．
函数y=|x+1|+|x+2|+|x+3|，当x=-2时，y 有最小值，最小值等于2
解：当x ≤-3时，y=-3x-6；
当-3＜x ≤-2时，y=-x；
当-2＜x ≤-1时，y=x+4；
当x ＞-1时，y=3x+6；
当x=-3时，y=3，当x=-2时，y=2，当x=-1时，y=3，
所以当x=-2时，y 的值最小，最小值为2．
故答案为：2
先分类讨论x 的取值范围，然后根据一次函数的性质即可得出答案．
已知一次函数y=ax+b的图像经过点A （√3，√3+2），B （-1，√3），C （c ，2-c ），求a -b+c的值
解：题意得
√3a+b=√3+2 -a+b=√3
∴a=√3-1 b=2√3-1
∵过C
∴（√3-1）c+2√3-1=2-c
∴c=√3-2
∴a-b+c=-2
已知一次函数y=ax+b的图像经过点A （√3，√3+2），B （-1，√3），C （c ，2-c ），求a ²+b²+c²-ab-bc-ca 的值
．解： 直接将A 、B 的坐标值代入解析式，得
√3*a+b=√3+2
-a+b=√3
两式相减，得
(√3+1)a=2
a=2/(√3+1)=2(√3-1)/[(√3+1)(√3-1)]=2(√3-1)/(3-1)=√3-1
将a=√3-1代入-a+b=√3得：
b=2√3-1
所以该函数的解析式为：y=(√3-1)x+2√3-1，
再将C 的坐标代入上式，得
2-c=(√3-1)c+2√3-1
整理，得
√3*c=3-2√3·········注：3=(√3)^2，也就是3等于根号3的平方；
两边同时除以√3，得
c=√3-2
所以
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac
=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ca+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]
=1/2[3+1+(根号3+1)^2]
=1/2(4+4+2根号3)
=4+根号3
在修建某条公路的过程中，需挖通一条隧道，甲、乙两个工程队从隧道两端同时开始挖掘．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直至隧道挖通．图是甲、乙两个工程队所挖隧道的长度y （米）与挖掘时间x （天）
之间的函数图象．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（
1）求该隧道的长；
（2）乙工程队工作多少天时，两
队所挖隧道的长度相差18米？
次函数的应用．
程问题；数形结合；分类讨论．
1）根据题目说明与上图可知，乙工程队所挖隧道OD 满足正比例函数关系，故假设为y 乙=kx（0≤x ≤6）；甲工程队由两段，一段OA 满足正比例函数，另一段满足一次函数AC ．且AC 段经过A （2，180）、B 两点，B 为AC 与OC 的交点坐标，因而可通过OD 段的正比例函数关系式求出B 点坐标．由于D （6，432）点在OD 段上，可求出正比例函数OD 段的解析式，问题得解．
（2）首先解得甲工程队的OA 段的正比例函数关系式，再根据（1）中的甲、乙工程队所挖隧道的函数解析式，以及天数x
的取值．分以下三种情况讨论：①当0≤x ≤2时；②当2＜x ≤4时；③当4＜x ≤
6时．
≤8），
∵432=6k，
∴k=72，
∴y 乙=72x（1分）
当x=4，y 乙=72×4=288．
∵
4m +n ＝288 2m +n ＝180
，
解得
m ＝54 解：（1）设y 乙=kx（0≤x ≤6），y 甲=mx+n（2≤x
n ＝72
，即y 甲=54x+72（1分）
当x=8时，y 甲=504，
∴432+504=936，
∴该隧道的长为936米（1分）；
（2）设y 甲=ax（0≤x ≤2），
∵180=2a，
∴a=90，即y 甲=90x（1分），
①当0≤x ≤2时，y
②当2＜x ≤4时，y
③当4＜x ≤6时，y 甲甲乙-y -y -y 乙乙甲=18，90x-72x=18，x=1，（1分） =18，54x+72-72x=18，x=3，（1分） =18，72x-（54x+72）=18，x=5，（1分）
=54x+72乙工程队工作1天或3天或5天时，两队所挖隧道的长度相差18米．（1分）
题考查一次函数的应用．本题同学们尤其注意（1）中的y 甲
函数解析式的推导过程，（2）中对自变量x 的取值范围要考虑全面．
某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 5吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机需10分钟．
（2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？请说明理由．
解：（1）由题意及图象得
加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；
（2）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，
所以说z0分钟内运输飞机耗油量为z 吨，
∴运输飞机每小时耗油量为（吨），
∴飞行10个小时，则需油6×10=60吨油．
∵69＞60，
∴所以油料够用．
答：（1）33，13；（2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需13小时到达目的地，油料是否够用．
（1）通过观察线段Q 2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机中需10分钟
（2）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．再计算10小时共耗油量，与69吨比较大小，判定油料是否够用．
一次函数y=（m 2-4）x+（1-m ）和y=（m+2）x+（m 2-3）的图象分别与y 轴交于点P 和Q ，这两点关于x 轴对称，则m 的值是
解：∵一次函数y=（m 2-4）x+（1-m ）和y=（m+2）x+（m 2-3）的图象分别与y 轴交于点P 和Q ，
∴由两函数解析式可得出：P （0，1-m ），Q （0，m 2-3），
又∵P 点和Q 点关于x 轴对称，
∴可得：1-m=-（m 2-3），
解得：m=2或m=-1．
∵y=（m 2-4）x+（1-m ）是一次函数，
∴m 2-4≠0，
∴m ≠±2，
∴m=-1．
故答案为：-1．
根据函数解析式求出P 、Q 的坐标，再由P 点和Q 点关于x 轴对称列出等式解得m 的值．
已知一次函数y=2x+m与y=(m-1)x+3的图像交点坐标的横坐标为2则m 的值
y=2x+m
y=(m-1)x+3
把x=2代入
y=4+m
y=2m+1
4+m=2m+1
m=3
一次函数y=kx+b的图像经过点（m ，1）和（1，m ）两点，且m ＞1，则k=_____, b的取值范围是____
y=kx+b的图像经过点（m ，1）和（1，m ）两点，
则1=mk+b ①
m=k+b ②
①-②，得1-m=(m-1)k
所以k=-1
代入②，得m=-1+b
所以b=m+1
因为m ﹥1
所以b ﹥1+1
所以b ﹥2
已知两直线y=4x-2,y=3m-x,的交点在第三象限, 则m 的取值范围
﹛y=4x-2,
y=3m-x
解得x=(3m+2)/5
y=(12m-2)/5
∵交点在第三象限
∴x ＜0,y ＜0
即﹛(3m+2)/5＜0 m ＜-2/3
(12m-2)/5＜0 m ＜1/6
∴m ＜-2/3
如果ab>0,a/c
第一，如果a>0,b>0,则c
第二，如果a0，-(a/b)
∴ 直线y=-(a/b)x+c/b 始终通过 第二、三、四象限，∴ 选择 A （不过第一象限）
已知关于X 的一次函数Y=mx+2m-7在-1≤X ≤5上的函数值总是正数, 则m 的取值范围是______.
若m>0
则y 随x 增大而增大
则x=-1时y 最小
x=-1，y=-m+2m-7>0
m>7
若m
则y 随x 增大而减小
则x=5时y 最小
x=5，y=5m+2m-7>0
m>1,和m
所以m>7
在同一平面直角坐标系中，直线y=kx+b与直线y=bx+k（k 、
b 为常数，且kb
≠0
）的图象可能是（
）
． 先看一个直线，得出k 和b 的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
A 、两条直线反映出k 和b 均是大于零的，一致，故本选项正确；
B 、一条直线反映k 大于零，一条直线反映k 小于零，故本选项错误；
C 、一条直线反映k 大于零，一条直线反映k 小于零，故本选项错误；
D 、一条直线反映b 大于零，一条直线反映b 小于零，故本选项错误．
故选A ．
已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图像都经过点A （-2，0）且与Y 轴分别交与点B,C 则△A BC 德面积为（ ）
有一次函数y=2x+a与y=-x+b的图像都经过点A （-2，0）
可以解得
a=4
b=-2
y=2x+4与Y 轴交于（0，4）即为B 点
y=-x-2与Y 轴交于（0，-2）即为C 点
你再画个图看看
可以把它看成是△ABO 面积+△ACO 面积=2*4*1/2+2*2*1/2=6
所以
△ABC 面积为6
某物流公司的快递车和货车每天往返于A 、B 两地，快递车比货车多往返一趟，下图表示快递车距离A 地的路程y(单位：千米) 与所用时间x(单位：时) 的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A 地晚1小时。
（1） 请在图中画出货车距离A 地的路程y(千米) 与所用时间x(时) 的函数图象；
（2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案) ；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时？
（1）（2）4次；
（3）设直线EF 的解析式y=k1x+b1
图像过（9，0），（5，200）
设直线DF 的解析式y=k2x+b2 ，图像过（8，0），（6，200）
最后一次相遇时距离 A 地的路程为 100km，货车从 A 地出发 8 小时。
若直线 y=-x+k 不经过第一象限,则 k 的取值范围为 。 k
（ 2009•莆 田 ） 如 图 1， 在 矩 形 MNPQ 中 ， 动 点 R 从 点 N 出 发 ， 沿 N→ P→ Q→ M 方 向 运 动 至 点 M 处 停 止 ．设 点 R 运 动 的 路 程 为 x，△ MNR 的 面 积 为 y，如 果 y 关 于 x 的 函 数 图 象 如 图 2 所 示 ， 则 当 x=9 时 ， 点 R 应 运 动 到 （ ）
考点： 动点问题的函数图象． 专题： 压轴题；动点型． 分析： 注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 解 答 ： 解 ： 当 点 R 运 动 到 PQ 上 时 ， △ MNR 的 面 积 y 达 到 最 大 ， 且 保 持 一 段 时 间不变； 到 Q 点以后，面积 y 开始减小； 故 当 x=9 时 ， 点 R 应 运 动 到 Q 处 ． 故 选 C． 点评： 本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析． （ 2009•黑 河 ） 一 个 水 池 接 有 甲 ， 乙 ， 丙 三 个 水 管 ， 先 打 开 甲 ， 一 段 时 间 后 再 打 开 乙 ，水 池 注 满 水 后 关 闭 甲 ，同 时 打 开 丙 ，直 到 水 池 中 的 水 排 空 ．水 池 中 的 水 量 v（ m 3 ） 与 时 间 t（ h） 之 间 的 函 数 关 系 如 图 ， 则 关 于 三 个 水 管 每 小 时 的 水 流 量 ， 下列判断正确的是（ ）
考点： 函数的图象． 专题： 压轴题． 分 析 ：依 题 意 ，如 图 可 知 ，先 打 开 甲 ，一 段 时 间 后 再 打 开 乙 ，水 池 注 满 水 后 关 闭 甲，同时打开丙．按此关系可知甲的水流量大于乙． 解 答 ： 解 ：由 题 意 可 得 ，甲 是 注 水 管 ，乙 、丙 是 排 水 管 ，由“ 先 打 开 甲 ，一 段 时 间后再打开乙，水池注满水后关闭甲” 可得，甲＞乙，否则是不会注满水的． ， 故 选 C． 点 评 ：此 题 主 要 考 查 学 生 的 读 图 获 取 信 息 的 能 力 ，要 注 意 分 析 其 中 的“ 关 键 点 ” ， 还要善于分析各图象的变化趋势． （ 2009•宜 昌 ） 由 于 干 旱 ， 某 水 库 的 蓄 水 量 随 时 间 的 增 加 而 直 线 下 降 ． 若 该 水 库 的 蓄 水 量 V（ 万 米 3 ） 与 干 旱 的 时 间 t（ 天 ） 的 关 系 如 图 所 示 ， 则 下 列 说 法 正 确 的是（ ） A． 干 旱 开 始 后 ， 蓄 水 量 每 天 减 少 20 万 米 B． 干 旱 开 始 后 ， 蓄 水 量 每 天 增 加 20 万 米 C． 干 旱 开 始 时 ， 蓄 水 量 为 200 万 米
3 3
3
D． 干 旱 第 50 天 时 ， 蓄 水 量 为 1200 万 米
3
考点： 函数的图象． 专题： 压轴题． 分 析 ： 根 据 图 象 ， 直 接 判 断 C、 D 错 误 ； 干 旱 开 始 后 ， 蓄 水 量 每 天 只 可 能 减 少 ， 排 除 B； 通 过 计 算 判 断 A 正 确 ． 解 答 ： 解 ： 刚 开 始 时 水 库 有 水 1200 万 米 3 ； 50 天 时 ， 水 库 蓄 水 量 为 200 万 米 3 ， 减 少 了 1200-200=1000 万 米 3 ； 那 么 每 天 减 少 的 水 量 为 ： 1000÷50=20 万 米 3 ．
故 选 A． 点评： 本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据题意采用排除法求解． （2009•德州）如图，点 A 的坐标为（-1，0） ，点 B 在直线 y=x 上运动，当线段 AB 最短时， 点 B 的坐 标为（ ）
解：线段 AB 最短，说明 AB 此时为点 A 到 y=x 的距离． 过 A 点作垂直于直线 y=x 的垂线 AB， ∵直线 y=x 与 x 轴的夹角∠AOB=45°， ∴△AOB 为等腰直角三角形， 过 B 作 BC 垂直 x 轴，垂足为 C， 则 BC 为中垂线， 则 OC=BC= 1/2 ．作图可知 B 在 x 轴下方，y 轴的左方． ∴点 B 的横坐标为负，纵坐标为负， ∴当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为 故选 C． 过 A 点作垂直于直线 y=x 的垂线 AB，此时线段 AB 最短，因为直线 y=x 的斜率为 1，所以 ∠AOB=45°，△AOB 为等腰直角三角形，过 B 作 BC 垂直 x 轴垂足为 C，则 OC=BC= 1/2 ．因为 B 在第三象限，所以点 B 的坐标为 （2009•安徽）已知函数 y=kx+b 的图象如图，则 y=2kx+b 的图象可能是（ ）
解：∵由函数 y=kx+b 的图象可知，k＞0，b=1， ∴y=2kx+b=2kx+1，2k＞0， ∴2k＞k，可见一次函数 y=2kx+b 图象的斜率大于 y=kx+b 图象的斜率．
∴函数 y=2kx+1 的图象过第一、二、三象限且其斜率要大． 故选 C． 由图知，函数 y=kx+b 图象过点（0，1） ，即 k＞0，b=1，再根据一次函数的特点解答即可．