高中数学定积分的概念教案新人教版选修2-2
§1.5.3定积分的概念
教学目标：
1. 通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2. 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3. 理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：
1．
2二．新课讲授 1．定积分的概念
a , b ]上连续，用分点 一般地，设函数f (x ) 在区间[
a =x 0
b -a
将区间[a , b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间
n
L , n ) ，作和式： [x i -1, x i ]上任取一点x i (i =1, 2,
n n
b -a
S n =邋f (x i ) D x =f (x i )
n i =1i =1
）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该如果D x 无限接近于0（亦即n ?
常数S 为函数f (x ) 在区间[a , b ]上的定积分。记为：S =其中
òa
b
f (x ) dx ，
ò-
[a , b ]积分号，b －积分上限，a －积分下限，f (x ) －被积函数，x －积分变量，
x ) dx －被积式。 －积分区间，f (
说明：（1）定积分为
dx 是一个常数，即S òa f (x )
b
n
无限趋近的常数S （n ?
时）记
òa
b
f (x ) dx
，而不是S n ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a , b ]；②近似代替：取
b
b -a
点x i Î[x i -1, x i ]；③求和：④取极限：f (x i ) ；f (x ) dx =l i m åòn a n i =1
n
åi
n
f (x i )
=1
b -a
n
（3）曲边图形面积：S =
òa f (x ) dx ；变速运动路程S =ò
b
t 2
t 1
v (t ) dt ；变力做功
W =
òa
b
F (r ) dr
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a , b ]上函数f (x ) 连续且恒有f (x ) ³0，那么定积分
òa f (x ) dx 表示由直线x =a , x =b (a ? b ) , y
(如图中的阴影部分) 的面积，这就是定积分说明：一般情况下，定积分
b
b
0和曲线y =f (x ) 所围成的曲边梯形
òa f (x ) dx 的几何意义。
b
dx 的几何意义是介于x 轴、函数f (x ) 的图形以及直òa f (x )
线x =a , x =b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数y =f (x ) ，若y =f (x ) 在[a , b ]上可取负值。 考察和式f (x 1) D x +
于是和式即为
f (x 2) D x +L +f (x i ) D x +L +f (x n ) D x
不妨设f (x i ) , f (x i +1) , L , f (x n )
f (x 1) D x +f (x 2) D x +L +f (x i -1) D x -{[-f (x i ) D x ]+L +[-f (x n ) D x ]}
\
òa
b
f (x ) dx =阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1性质2性质3性质4
b
òa
b
kdx =k (b -a ) ；
b a
kf (x ) dx =k 蝌a
b a
b
； f (x ) dx (k 为常数) （定积分的线性性质）
b a
dx 蝌[f 1(x ) ? f 2(x ) ]
f 1(x ) dx
； a f (x ) dx （定积分的线性性质）
2
b
f (x ) dx =蝌a
a b
b c a
f (x ) dx +
； (2)
c
b
f (x ) dx (其中a
间的可加性） (1)
b
f (x ) dx =-蝌a
1
2
f (x ) dx
òa f (x ) dx =0；
b a
a
说明：①推广：
[f (x ) 北f (x ) 蝌a
L ? f m (x ) ]dx
f 1(x ) dx 北蝌f 2(x ) dx
a
b
L
b a
f m (x )
②推广:
f (x ) dx =蝌a
b
c 1a
f (x ) dx +
f (x ) dx +L +蝌c
1
c 2
b c k
f (x ) dx
③性质解释：
S 曲边梯形A M N B =S 曲边梯形A M PC +S 曲边梯形C PN B
三．典例分析
例1．利用定积分的定义，计算分析：令f (x ) =
（１）分割
ò
1
x 3dx 的值。
x
3；
轾i -1i
(i =1, 2, L , n ) ，每个小区间长度为：犏臌n n
把区间[0, 1]n 等分，则第i 个区间为：V x =
i i -11
-=；
n n n
（２）近似代替、求和 取x i =
i
(i =1, 2, L , n ) ，则n
n 1i 3
x dx ? S f ) ? V x 邋n ò0
n i =1
1
3
i 1
) n i =1n
2
n
3
1121骣1÷2
çi =n n +1=1+() ÷ç 桫n ÷n 4i =1n 444ç1
n
3
2
（３）取极限
ò
1骣1÷1
x dx =l i m S n =l i m ç=. ç1+÷n n 4ç桫n ÷4
例2．计算定积分
ò
2
1
(x +1) dx
分析：所求定积分是x =1, x =2，y =0与y =阴影部分面积，面积为
5
。 2
即：
ò
2
1
(x +1) dx =
5
2
思考：若改为计算定积分
ò
2
-2
(x +1) dx 呢？
-2, 2]上 改变了积分上、下限，被积函数在[
出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
例３．计算定积分
ò
1
(2x -x 2) dx
(2x -蝌
10
1
分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出四．课堂练习 计算下列定积分 1．2．
x ) dx =2
1
20
2
10
xdx -
10
x 2dx
1
ò
dx 的值。 xdx ，òx dx ，就能得到ò(2x -x 2)
5
òò
5
01
(2x -4) dx ò(2x -4) dx =9-4=5
-1
x dx òx dx =
-1
1
11
创11+创11=1 22
3．课本练习：计算
ò
2
x 3dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？
五．回顾总结
1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 六．布置作业 P50 3、5