大学物理D-02振动和波

练 习 二 振动和波

一、填空题

1．一弹簧振子作简谐振动，其振动曲线如图所示。则它的周期T 弦函数描述时初相位ϕ= 。

-s )

3+π

2242π24

旋转矢量法：ϕ0=π、ω==⇒T ==2. 18s ，s

3112T 11

2．两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2m ，合振动的位相与第一个简谐振动的位相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为3⨯10m ，则第二个简谐振动的振幅为，第一、二两个简谐振动的位相差为 。

P51

波源 传播机械波的介质

4．一平面简谐波的周期为2.0s ，在波的传播路径上有相距为2.0cm 的M 、N 两点，如果N 点的位相比M 点位相落后π/6，那么该波的波长为，波速为

例2

π/2

3．产生机械波的必要条件是。

-1

π

λ0. 24∆ϕ

⇒v =0. 12 ==⇒λ=24cm ，v ==T 2λ∆x 2

2π

5．处于原点（x =0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为y =A cos(Bt -Cx ) ，其中A 、B 、C 皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l 处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。

π

y =A cos 2π(

t x t

-) =A cos 2π(

2πT λ

-x 2π)

B 2π2π

、、、lC 、-lC C B C

6．一平面简谐波沿ox 轴正向传播，波动方程为y =A cos[ω(t -) +

x

u

π

4

]，则x =L 1处质点的振动方程

为 ，x =-L 2处质点的振动和x =L 1处质点的振动的位相差为φ2-φ1=。

y =A cos[ω(t -

二、选择题

L 1πL +L 1

) +] ω2 u 4u

1

．一弹簧振子，当把它水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列

1

情况正确的是 ［ ］

（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。 C

2．弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的［ ］ (A)7/16； (B)9/16； (C)11/16； (D)13/16； (E)15/16。

E E =

1

KA 2 2

3．两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 ［ ］ （A ）A 超前π/2/； （C ）A 超前π； A

（B ）A 落后π/2/； （D ）A 落后π。

4．一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为：［ ］

（A ）T /4； （B ）T /12； （C ）T /6； （D ）T /8。

B 旋转矢量法 -

π

2

到-

π∆ϕ

2πT

=⇒∆t = 3∆t T 12

5．分振动方程分别为x 1=3cos(50πt +0. 25π) 和x 2=4cos(50πt +0. 75π) （SI 制）则它们的合振动表达式为： ［ ］

（A ）x =2cos(50πt +0. 25π) ； （B ）x =5cos(50πt ) ； （C ）x =5cos(50πt + C

6．一平面余弦波在t =0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相φ为：［ ］ (A)0

D 旋转矢量法

7 一个平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为u =160m/s，t =0时刻的波形图如图所示，则该波的表式为 ［ ］

（A ）y =3cos(40πt +

(B)π/2

(C)π

(D)3π/2或(-π/2)）

π

1

+tg -1) ； （D ）x =7。 27

π

4

x -

π

2

) m ；

2

)

-

（B ）y =3cos(40πt +（C ）y =3cos(40πt -（D ）y =3cos(40πt -C

6题的结论

π

4

x +x -x +

π

2

) m ； ) m ； ) m 。

π

4

π

2

π

4

π

2

8．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［ ］ (A) 媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒． (B) 媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同． (C) 媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等． (D) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大． D

9．S 1和S 2是波长均为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，S 1的相位比S 2超前π/2，若两波单独传播时，在过S 1和S 2的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是I 0，则在S 1、S 2连线上S 1外侧和S 2外侧各点，合成波的强度分别是［ ］ (A) 4I 0，4I 0． (B) 0， 0．

D P62 相距3λ/4，相位差

(C) 0， 4I 0 ． (D) 4I 0，0

3π3πππ3π

+=2π，=-π ，在S 1、S 2连线上S 1外侧，S1超前4 I0，S 2外侧各点-

22222

10．两相干平面简谐波沿不同方向传播，如图所示，波速均为u =0. 40m /s ，其中一列波在A 点引起的振动方程为y 1=A 1cos(2πt -

π

2

) ，另一列波在B 点引起的振动方程为y 2=A 2cos(2πt +

A B

π

2

) ，它们

在P 点相遇，AP =0. 80m ，BP =1. 00m ，则两波在P 点的相位差为：［ ］ （A ）0； D

（B ）π/2；

（C ）π；

（D ）3π/2。

T =1s ，λ=0. 4m ，∆ϕ=ϕ20-ϕ10-2π

r 2-r 1

λ

=

π

2

+

π

2

-2π

0. 2

=0？？A 0. 4

三、简答题

设P 点距两波源S 1 和S 2 的距离相等，若P 点的振幅保持为零，则由S 1 和S 2分别发出的两列简谐波在P 点引起的两个简谐振动应满足什么条件？

答：两个简谐振动应满足振动方向相同，振动频率相等，振幅相等，相位差为π． 四、计算题

1．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表式为：

3

3⎫1⎫⎛⎛

x 1=0. 05cos 10t +π⎪，x 2=0. 06cos 10t +π⎪（SI 制）

4⎭4⎭⎝⎝

（1）求它们合成振动的振幅和初相位。

（2）若另有一振动x 3=0. 07cos(10t +ϕ0) ，问ϕ0为何值时，x 1+x 3的振幅为最大；ϕ0为何值时，

x 2+x 3的振幅为最小。

解：根据题意，画出旋转矢量图

A =

（1）tg θ=

2

A 12+A 2=0. 052+0. 062=0. 078(m )

A 15=θ=39. 8︒=39︒48'A 26

ϕ0=ϕ20+θ=84︒48'

3π

=, x 1+x 2振幅最大。 4

（2）ϕ0=ϕ10

ϕ0-ϕ20=±π , ϕ0=ϕ20±π=

5π3π

(或-) 时, x 2+x 3振幅最小。 44

2．已知一平面简谐波的表达式为y =0.25cos(125t −0.37x )(SI) (1) 分别求x 1 =10 m，x 2=25m 两点处质点的振动方程； (2) 求x 1，x 2两点间的振动相位差； (3) 求x 1点在t =4s时的振动位移。

解：（1）x 1=10m 的振动方程为 y x =10=0.25cos (125t -3.7)

x 1=25m 的振动方程为

(SI ) y x =10=0.25cos (125t -9.25)(S )I

（2）x 1和x 2两点间的振动相位差为 ∆φ=φ2-φ1=-5.55r a d

(3) x 1点在t =4s时的振动位移为 y x =10, t =4s =0.25cos (125⨯4-3.7)m =0.249m

3．一列沿x 正向传播的简谐波，已知t 1=0和t 2=0. 25s 时的波形如图所示。（假设周期T >0. 25s ）试求：（1）P 点的振动表式；

（2）此波的波动表式； （3）画出o 点的振动曲线。 解

：

A =0. 2m

，

λ=0. 6m

，，

∆x 0. 15u ====0. 6(m /s )

∆t 0. 250. 6

T ===1(s )

u 0. 6

设波动表式为y =A cos[ω(t -

旋转矢量法，ϕ0=

x (m ) λ

x

) +ϕ0] u

π

2

4

由t =0和t =0.25时的波形图，得 y 0|t =0=A c o ϕs 0=0，v

0|t =0=-A ωsin ϕ0

π

2

x

u 2πx π10π(t -) +]=0. 2cos[2πt -πx +](SI ) 10. 6232

10π10ππ

πx +]=0. 2cos[2πt -⨯0. 3π+]=0. 2cos[2πt -](SI ) 32322

10ππ

πx +]=0. 2cos[2πt +](SI ) 322

（3） O 点的振动表式为 y P =0. 2cos[2πt -

10πt -4πx ) （SI 制）4．一横波沿绳子传播时的波动表式为y =0. 05cos(。

（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。

（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。

（3）求x =0.2m处的质点在t =1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？ （4）分别画出t =1s、1.25s 、1.50s 各时刻的波形。

A =0. 05(m ), ω=10π s -1=31. 4(s -1)

ω11

=5. 0(Hz ), T ==s =0. 2(s ) 解：（1） v = 2πv 5ω10πu 2. 5u ===2. 5(m /s ), λ===0. 5m

k 4πv 5. 0

（2）

υm =A ω=0. 05⨯10π=0. 5π≈1. 57(m /s )

a m =A ω=0. 05⨯100π=5π≈49. 3(m /s )

2

2

2

2

ϕ=10π⨯1-4π⨯0. 2=9. 2π

（3） ϕ

ϕ=10π⨯t -4π⨯0, t ==0. 92(s )

10π

（4） t =1s时波形曲线方程为 y =0. 05cos(10π⨯1-4π x ) =0. 05cos 4π x (SI )

10π⨯1. 25-4π x ) =0. 05cos(4π x -0. 5π) (SI ) t =1.25s时波形曲线方程为 y =0. 05cos(

x -π) (SI ) t

5

1s

1. 5s

5．设S 1和S 2为两相干波源，初始相位相差π，相距为4λ。若两波在S 1与S 2连线方向上的强度相同均为I 0，且不随距离变化，求在S 1与S 2连线间由于干涉而波强为4I 0的点的位置。 解：设P 点到的S 1距离为x ，则P 点到的S 2距离为x P62 ∆ϕ=ϕ20-ϕ10-2π

r 2-r 1

λ

=-2π

(4λ-x -x)

S 1

P

图

S 2

λ

=4πx -7π 12

14

当满足∆ϕ=2k π时，P 点因干涉而静止，得x =(k +2) λ， 当k =-4, -3, -2, -1,0,1,2,3, 时即当 X=

[1**********]

λ, λ, λ, λ, λ, λ, λ, λ时，P 点静止。 44444444

6