一元二次方程中的整体思想(换元法)
一元二次方程中的整体思想（换元法）
一、内容概述
所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。
二、例题解析
初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。
（一）换元法在解方程中的应用
我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。
1. 利用倒数关系换元
例1 解分式方程：x 2+4=3x -4 2x -3x
分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成x 2-3x +
了。
解：移项整理得 x 2-3x +
24+4=0，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单x 2-3x 4 +4=02x -3x 设x -3x =y ，则原方程可化为y +4+4=0 y
去分母得y +4y +4=0
解得y 1=y 2=-2
当y =-2时，x 2-3x =-2 解得x 1=1 x 2=2
经检验：x 1=1 x 2=2是原方程的根
所以，原方程的根为x 1=1 x 2=2
练习1
210= 3
2. 利用平方关系进行换元
例2
解方程：2x +x -=6
分析：代数式2x 2+
x
2
=y ，则原方程可化为y -5y =6 2 解得y 1=6， y 2=-1
当y =
6=6 解得x 1=4 x 2=-
当y =-
1=-1， 此方程无实数根 9 2
9是原方程的根 2
9 所以，原方程的根为x 1=4 x 2=- 2 经检验：x 1=4 x 2=-
练习2
解方程：2x -6x -=5
分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的x 2项与x 的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程
3. 利用对称关系换元
例3
解方程组：2=5
⎪⎩2x +xy -6y =1622
分析：将第二个方程左边分解因式可得(x +2y )(2x -3y )=16，
=
a ，
⎧a +b =5=b ，那么原方程组可化为简单的对称方程组⎨22 a b =16⎩
4. 均值换元
例4 分解因式x 2-7x +4()(x 2-7x +8)+4
分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似”，不妨可以设x 2-7x +6=a ，解题步骤如下：
解：设x 2-7x +6=a ，则
原式=(a -2)(a +2)+4=a =x -7x +622()=(x -1)(x -6)222
当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。
5. 整体代入
据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。
3-2x 2-4x 例5
已知x =1，那么2= x +2x -1
解：因为x =1， (
x +1)=
因此，原式=
2，所以x 2+2x =2 23-2(x 2+2x )x 2+2x -1=3-2∙2=-1 2-1
习题部分
1. 换元法解方程：x 2+
2 2. 因式分解：x -3x +211+x +=4 x 2x ()(x 2-7x +12)+1
18⎧5-⎪x +2y y -2x =1⎪ 3. 解分式方程组：⎨
⎪3+12=1⎪⎩x +2y 2x -y
4.
解无理方程：2x +x -=6
5. 已知四个连续的整数为m , (m +1), (m +2), (m +3)，试说明这四个整数的积加上1， 是完全平方数
6. 已知
7. 甲、乙、丙三种货物，购买甲3件，乙7件，丙1件，需要3.15元；购买甲4件，乙10件，丙1件，需要4.20元；现各购买1件，需要多少元？ 21b +c 2的值 (b -c )=(a -b )(c -a )，且a ≠0，求4a