有理数计算的常用方法

有理数计算的常用方法

关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．

一、凑整法

例1 计算：

2002＋98＋997＋9996＋99995．

分析 题中几个数都与整十、整百、整千„„很接近，因此可以凑成整十、整百、整千„„来求解．

解1 原式

＝ (2002－2－3－4－5) ＋(98＋2) ＋(997＋3) ＋(9996＋4) ＋(99995＋5) ＝ 1988＋100＋1000＋10000＋100000

＝ 113088．

例2 若S ＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋ 79999997＋899999998，则和数S 的末四位数字之和是____．

分析 将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”„„来计算，很容易解出， 解 原式

＝(11＋9) ＋(292＋8) ＋(3993＋7) ＋ (49994＋6) ＋(599995＋5) ＋ (6999996＋4) ＋(79999997＋3) ＋ (899999998＋2) －9＋8＋7＋„＋2)

＝ (20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000) －(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)

＝987654320－44

＝987654276．

∴S 的末四位数字之和是

4＋2＋7＋6＝19．

二、分组结合法

例3 计算：

1－3＋5－7＋9－11＋„＋2009－2011．

分析 题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果． 解 原式

＝(1－3) ＋(5－7) ＋„＋( 2009－2011)

＝（－2）×503

＝－1006．

例4 计算：

1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋

2010－2011．

分析 观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．

解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．

本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，„，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．

解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．

三、分解相约法

例5 计算：

(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15) ．

分析 被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．

解 原式＝

＝1． 11

23797-6.6⨯-2.2÷+0.7⨯+3.3÷． 1173118四、巧用运算律法 例6 计算：0.7⨯1

分析 本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计 算．

解 原式

五、妙用性质法

例7 计算：1÷(2÷3)÷(3÷4) ÷„÷(2010÷2011) ．

分析 本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a ÷(b÷c) ＝a ÷b ×c ＝a ×c ÷b ．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．

解 原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011

＝ (1×3×4×…×2011)÷(2×3×4×…×2010)

＝2011÷2

＝1005.5．

六、添项相加法

例8 计算：

512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．

分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．

解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1) －1

＝512＋256＋„＋4＋(2＋2) －1

＝„

＝512＋(256＋256) －1

＝512＋512－1＝1023．

七、错位相减法

例9 计算：1+248162． ++++392781243

2，考虑用错位相减法解． 3分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的

八、活用公式法

例10 计算：1+111+2+„+10． 333

1

3 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是，因此它是道等比数列求和a 1(1-q n ) 题．可用公式S n =求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 11-q

表示首项，

解 原式

例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋„ ＋20092－20102＋20112．

分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．

解 原式

九、拆项法

例12 计算：359173365+++++． 248163264

分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加．

解 原式

例13 计算：

1+1111„+++1+21+2+31+2+3+41+2+3++100．

分析

本题可用上法拆项．

解 原式

十、字母代换法

例14 计算：(1＋0.23＋0.34) ×(0.23＋0.34＋0.56) －(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34) ．

分析 此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．

解 设0.23＋0.34＝a ．则

原式＝(1＋a) ×(a＋0.56) －(1＋a ＋0.56)×a

＝ a ＋0.56＋a 2＋0.56－a －a 2－0.56a

＝0.56．

十一、数形结合法

例15 计算：当n 无限大时，1＋1111＋++„+n 的值． 2482

111＋++„248分析 建立如下模型，设大正方形的面积为l ，当n 无限大时，有1＋

+1＝1． 2n

故原式＝2（图形请读者自作）．

例16 求S 100＝13＋23＋33＋„＋1003的值．

分析 使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．

解 先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l ＋2＋3＝6，故S 3＝13＋23＋33＝6×6＝36．

用式子表示：

13＝12,

13＋23＝32,

13＋23＋33＝62．

同理可得S 100的图中各行各列的黑点个数为：