不等式的积分法微分法
1. 不等式证明的积分法
不等式证明的积分法是利用积分的定义，性质，以及用一些特殊的积分不等式来证明不等式。 1.1 定积的概念
例1 设f (x )在[0, 1]连续，证明ln
⎰
1
f (x ) dx ≥⎰[lnf (x )]dx
1
证明 将[0, 1]区间进行n 等分，取∆x i =因为
1 n
1n
⎡1i i ⎤f () ≥f () ⎥∑∏⎢n i =1n ⎣i =1n ⎦
两边取对数得
n n
i 11n i
ln[∑f () ]≥∑ln f ()
n n n i =1n i =1
两边在n →∞时取极限得
n i 1i 1
lim ln[∑f () ]=ln lim [∑f () ]n →∞n →∞n n n n i =1i =11
11n i
f (x ) dx ≥lim ∑ln f () =⎰[lnf (x )]dx
0n →∞n n i =1
n
n
=ln ⎰
=ln ⎰f (x ) dx ≥⎰[lnf (x )]dx
11
1.2 积分中值定理法
积分中值定理 如果函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则在[a , b ]内至少存在一点ξ， 使得
⎰
b
a
f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
b -a b -a
例2 试证当0
1b
=arctan x a =arctan b -arctan a ⎰a 1+x 2
1
令 f (x ) =
1+x 2
b
由积分中值定理有
11dx =⎰a 1+x 21+ξ2(b -a ) (a
b
即
arctan b -arctan a =
因为 a
1
(b -a ) 2
1+ξ
b -a b -a
1+b 21+a 2
1.3 原函数法
例3 设f (x ) 在[0, 1]上连续，取正值且单调减少，证明
b ⎰f (x ) dx >a ⎰f (x ) dx (0
a
a b
因为单调减少证明 做辅助函数，令
F (x ) =x ⎰f (t ) dt -a ⎰f (t ) dt , (x ≥a )
a
a x
a 0
则 F '(x ) =
⎰
a
f (t ) dt -af (x ) =⎰f (t ) dt -⎰f (x ) dt =⎰[f (t ) -f (x )]dt
a a
故 f (t ) -f (x ) >0 (0
F (b ) >F (a ) =a ⎰f (t ) dt >0
a
则 b
⎰
a
f (x ) dx >a ⎰f (x ) dx 成立
a
b
x 3x 3x 5
0时，x - 66120
证明 已知不等式cos x ≤1（x >0只有当x =2n π时，等号成立） 在次是两端同时取[0, x ]上的积分，得sin x 0) 再取[0, x ]上的积分得
x 2
1-cos x
2
第三次取[0, x ]上的积分，可得
x 3
x -sin x 0)
6
即
x 3x -0)
6
继续在[0, x ]上积分两次，可得
x 3x 5
sin x 0) .
6120
总结：当命题中出现条件f (x ) 在[a , b ]上连续时可构造积分上限函数，将数值不等式（定 积分不等式） 转化为积分上限（函数不等式），然后利用单调性或定积分的性质解题[2]。 1.4 定积分保号性法
性质 设f (x ), g (x ) 在区间上[a , b ]都是可积函数，假设在区间[a , b ]满足f (x ) ≤g (x ) 则有
⎰
证明 因为
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx
a
b
例5 求证：+x 2-2≥ln(x ++x 2) -ln(1+2)(x ≥1)
⎰
x
t +t 2
1
=+t 2
x
1
=+x 2-2
⎰
x
1+t 2
1
x
=ln(t ++t 2) 1=ln(x ++x 2) -ln(1+2)
又因为t ≥1，所以
t +t
由上述性质有
2
≥
1+t
2
⎰
即
x
t +t
2
1
dx ≥⎰
x
1+t
2
1
dx
+x 2-2≥ln(x ++x 2) -ln(1+2)(x ≥1) .
总结：在使用上述性质来证明不等式的时候，我们可以将不等式两端的式子表示成同一积分区
间下的两个函数的定积分来计算，此时我们只要比较这两个函数在这一区间内的大小，利用定积分的性质来证明即可[3]。 1.5 二重积分性质法
例6 设f (x ), g (x ) 均为上的单调不减连续函数证明
(b -a ) ⎰f (x ) g (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx
a
a
a
b b b
证明 由于f (x ), g (x ) 同为单调不减函数
令 F (x , y ) =[f (x ) -f (y )][g (x ) -g (y )] 总有 [f (x ) -f (y )][g (x ) -g (y )]≥0 由二重积分的保序性有
⎰⎰[f (x ) g (x ) -f (y ) g (x ) -f (x ) g (y ) +f (y ) g (y )]dxdy ≥0
a
a
b b
即 2
⎰⎰
a
b b
a
f (x ) g (x ) dxdy ≥⎰
b
a
⎰
b
b
a
f (x ) g (y ) dxdy +⎰
b a
b
a
⎰
a
b
a
f (y ) g (x ) dxdy
b a
于是 (b -a )
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx
a
b
2. 不等式证明的微分法
不等式证明的微分法是利用微分学的一些知识来证明不等式，主要有以下几个方面：一是应用中值定理或泰勒公式; 二是考察函数的单调性或极值; 三是考察函数的凹凸性。 2.1 微分定义法
从定义出发证明不等式是比较原始的做法，不容易被人想到，但在证明某些不等式时却行之有效。
例7 设f (x ) =a 1sin x +a 2sin 2x + +a n sin nx ，且f (x ) ≤sin x ，试证
a 1+2a 2+ +na n ≤1
分析 观察命题的条件与结论, 从导数的定义出发, 结合重要极限的结论, 解题方便简捷。 证明 因为
f '(x )=a 1cos x +2a 2cos 2x + +na n cos nx
则 f (0) =0，f '(0) =a 1+2a 2+ +na n 由导数定义
f '(0) =lim
x →0
f (x ) -f (0) f (x )
=lim x →0x -0x
所以 f '(0) =lim
x →0
f (x ) f (x ) sin x
≤lim ≤lim =1 x →0x →0x x x
即 a 1+2a 2+ +na n ≤1.
总结：用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的[6]。 2.2 函数单调性法
函数的单调性在微积分中主要用函数的导数来判定。
定理 设函数f (x )在区间[a , b ]上可导如果对任意的x ∈(a , b ), 恒有f '(x )>0（或f '(x )
x 3
例8 求证，当x ≥0时有sin x ≥x -
3!
x 3
证明 设 f (x ) =sin x -x +
3! x 2
因为 f '(x ) =cos x -1+
2
无法判定f '(x ) 的符号, 又因为
f ''(x ) =sin x +x 而 x ≥0 时 sin x ≤x
所以 f ''(x ) >0（只当x =0时等号成立） 所以 f '(x ) 在(0, +∞) 单调增加
即 f '(x ) >f '(0) =0(x >0) ，f '(x ) >0 从而 f (x ) 在(0, +∞) 单调增加 所以 x >0, f (x ) >f (0) =0
x 3
故 sin x ≥x -.
3!
例9 求证
a +b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
证明 设 f (x ) =则 f '(x ) =
x 1+x
1
(1+x ) 21
>0
(1+x ) 2
由于 f '(x ) =
所以 f (x ) =
x
是增函数， 1+x
又因为 a +b ≤a +b 所以
a +b 1+a +b
≤
a +b 1+a +b
=
a 1+a +b
+
b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
.
例10 设 b >a >0，证明 ln
b 2(b -a ) > a a +b
证明 要证原不等式成立只需证明
(lnb -ln a )(a +b ) >2(a -b )
令 f (x ) =(lnb -ln a )(a +b ) -2(a -b ) ，(x ≥a ) 则 f '(x ) =
1
(a +x ) +(lnx -ln a ) -2 x
a 1x -a
f ''(x ) =-2+=2≥0(x ≥a )
x x x
所以 f '(x ) 单调递增
又因为 f '(a ) =0，于是 f '(x ) ≥0(x ≥a ) 因此 f (x ) 单调递增，又因为f (a ) =0 所以当 b >a >0时有 f (b ) >f (a ) =0 从而有 (lnb -ln a )(a +b ) -2(a -b ) >0 故 ln
b 2(b -a )
>. a a +b
总结：利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，在构造辅助函数时，要
求不等式两边的函数必须求导；所构造的辅助函数f (x ) 要在某闭区间上连续，在开区间内可导，且在某闭区间端点处函数值为0，然后通过开区间内f '(x ) 的符号来判断f (x ) 在闭区间上的单调性。有时需要使用该符号的高阶导数来确定f '(x ) 的符号[4]。 2.3 微分中值定理法
拉格朗日中值定理 如果函数f (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a , b ]上连续，（2）在开区间(a , b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a , b )，使得f '(ξ)=
f (b ) -f (a )
b -a
柯西中值定理 如果函数f (x ) ，g (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a , b ]上连续，（2）在开区间(a , b )内可导，（3）在(a , b )内每一点处，g '(x ) =0，则至少存在一点ξ∈(a , b )，使得
f (a ) -f (b ) f '(ξ)
=
g (a ) -g (b ) g '(ξ) .
例11 若 x >0，试证
x
1+x ) （x >0) 证明 设 f (x ) =ln(
因为 f (x ) 在[0, x ]上满足拉格朗日定理 所以
f '(ξ) =
1ln(1+x ) -ln(1+0) ln(1+x )
== (0
又因为 1
11
从而
1ln(1+x )
1+x
例12 设 b >a >0，证明不等式
2a ln b -ln a 1
a 2+b 2b -a ab
证明 先证左边的不等式，设 f (x ) =ln x (x >a >0)
根据拉格朗日中值定理得[5]
因为
ln b -ln a 1
=(l n x ) 'x =ξ=, a
b -a ξ
1
ξ
所以
>
12a 22
, 又a +b >2ab >2
2
b a +b
2a ln b -ln a
a 2+b 2b -a
再证右边的不等式，设
h (x ) =
则 h (a ) =0，且
x -a
-ln x +ln a (x >a >0) ax
1(x -a ) 2
h '(x ) =(+) -=>0
x a 2x 2x x 2x ax
1
1
a
于是 h '(x ) >0 所以h (x ) 单调递增
故当x >a >0时 h (x ) >h (0) =0 特别地，令 x =b 则有 h (b ) >0 即
ln b -ln a 1
b -a ab
所以原不等式成立.
例13 设f (x ) 、g (x ) 都是可导函数，且f '(x ) a 时，f (x ) -f (a )
证明 因为 g '(x )>f '(x ) ≥0 故函数g (x ) 单调增加
所以当g (x ) >g (a ) 时，即g (x ) -g (a ) >0
又f (x ) 、g (x ) 在[a , x ](x >a ) 上满足柯西中值定理条件 故由柯西中值定理知
f (x ) -f (a ) f '(ξ)
=, ξ∈(a , b )
g (x ) -g (a ) g '(ξ)
从而
|f (x ) -f (a ) ||f '(ξ) |
=
g (x ) -g (a ) g '(ξ)
故原不等式成立[6].
ln 2b -ln 2a 4
>2 例14 设e
b -a e
2
证明 设函数f (x ) =ln x , g (x ) =x 则
2
f '(x ) =
在[a , b ]上由柯西中值定理有
2ln x
, g '(x ) =1 x
ln 2b -ln 2a 2ln ξ
>(a
b -a ξ
设h (t ) =
2ln t 2(1-ln t )
，考察h '(t ) = t t 2
当t >e 时，1-ln t e 时单调递减， 所以
h (ξ) >h (e 2)
即
ln ξ
ln 2b -ln 2a 4ln e 22
>2 >2=2，故
b -a e ξe e
总结:利用微分中值定理证明不等式时, 要抓住定理的核心, 在满足定理的两个条件的情况下, 主要是利用“ 存在一点ξ∈(a , b ) ”即a
f '(ξ) =
f (b ) -f (a )
对照要证的不等式来确定函数f (x ) 和区间[a , b ], 根据要证明结论的需要,
b -a
对f '(ξ) 进行适当的放缩[7]。 2.4 函数极值与最值法
定理 设f (x ) 在x 0的某邻域内可导，且f '(x ) =0, f ''(x ) ≠0，则
(i ) 若f ''(x ) 0，则f (x ) 在x 0处取极小值。
例15 当x
x
1. 1-x
x
证明 设 f (x ) =e -
x
1 1-x
令 f '(x ) =e -得
1
=0
(1-x ) 2
x =0，f ''(x ) =e x -
故函数在x =1处取得极大值 即
2
，f ''(0) =-1
(1-x )
f (x ) ≤f (1) =0
故不等式成立.
例16 证明：p >1, 0≤x ≤1时，
p
p
12p -1
≤x p +(1-x ) p ≤1
p -1
证明 设f (x ) =x +(1-x ) ，则f '(x ) =px -p (1-x ) p -1
令 f '(x ) =0 得 x =令
1 2
11
m =min{f (0), f (1), f ()}，M =max{f (0), f (1), f ()}
22
1
则 m =p -1, M =1
2
故当 0≤x ≤1, p >1 有
12
p -1
≤x p +(1-x ) p ≤1
例17 证明不等式(1+x ) a -ax ≤1 (x >-1, 0
证明 设 f (x ) =(1+x ) a -ax (x >-1)
则 f '(x ) =a (1+x ) a -1-a =a 1-a [1-(1+x ) ] 1-a (1+x )
当-10
当x =0时 f '(x )=0
当x >0时 f '(x )
因此函数f (x ) 在x =0处取得极大值也取得最大值
故当x >-1时 f (x ) ≤f (0) =1
即 (1+x ) -ax ≤1.
总结：利用函数的最值证明不等式，也是一种行之有效的方法。若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值。当题设满足下列条件时，宜用函数的极值. 最值证明不等式
（1）所设辅助函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数；
（2）证明的只能是复合不等式，不能是纯粹不等式。
2.5 函数凸性法
根据曲线凹凸性的定义，设f (x ) 在区间I 内二阶可导，对I 内的任意不同的两点x 1, x 2 若f ''(x ) >0, x ∈I ，则f (x ) 在I 内上凹，有f (a x 1+x 21)
詹森不等式 设f (x ) 为[a , b ]上的凸函数，则对任意x i ∈[a , b ], λi >0(i =1, 2, n )
∑λ
i =1n i =1，则有f (∑λi x i ) ≤∑λi f (x i ) 成立。若f (x ) 为严格凸函数，x i (i =1, 2 , n ) 不全相i =1i =1n n
等，则上式严格不等式成立[8]。
例18 若x >0, y >0, ，且x ≠y ，试证x ln x +y ln y >(x +y ) ln
证明 令 f (x ) =ln x x ⎛x +y ⎫⎪ ⎝2⎭
则 f '(x ) =ln x +1, f ''(x ) =
因为f (x ) 下凸函数，对任意的x , y ∈(0, +∞)(x ≠y )
有 f (
即 1>0, (x >0) x x +y f (x ) +f (y ) )
x +y ) . 2x ln x +y ln y >(x +y ) ln(
总结:若函数f (x ) 的图形在区间(a , b )是凹(凸) 的, 则对(a , b )内任意两点x 1和x 2, 都有f (x )
式, 通常是根据要证明的不等式, 构造辅助函数, 利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性, 进而证明不等式[9]。
2.6 Taylor公式法
泰勒定理 若函数f (x ) 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数，在(a , b )内存在(n +1)阶导函数，则对任意给定的x ，x 0∈[a , b ]，至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得
f ''(x 0) f (n ) (x 0) f (n +1) (ξ) 2n f (x ) =f (x o ) +f '(x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) +(x -x 0) n +1. 2! n ! (n +1)!
例19 若在(a , b ) 内f ''(x ) ≥0，则对(a , b ) 任意几个点x 1, x 2, , x n ，有不等式
f (x 1+x 2+ +x n 1) ≤(f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )) 成立. n n
证明 将f (x ) 在x 0=x 1+x 2+ +x n 展开有 n
1f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +f ''(ξ)(x -x 0) 2ξ介于x 与x 0之间， 2
因为 f ''(x ) ≥0
所以
f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) （1） 对（1）式中x 分别取x 1, x 2, , x n
得 f (x i ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0); i =1, 2, , n
将上面n 个不等式两边分别相加可以得到下面的式子
n n n ∑f (x ) ≥∑f (x ) +∑f '(x i i
i =1i =1i =10) (x i -x 0)
=nf (x 0) +f '(x 0)(x 1+x 2+ +x n -nx 0) =nf (x 0)
1n
所以 f (x 0) ≤∑f (x i ) n i =1
即 f (x 1+x 2+ +x n 1) ≤(f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )) n n
1例20 设f (x ) 有二阶导函数，且满足f (x ) ≤
f '(x ) f ''(x ) 2(-h ) +h +o (h 2) 1! 2! 证明 由泰勒公式可知 f (x -h ) =f (x ) +
所以
1f ''(x ) 2(f (x -h ) +f (x +h )) =f (x ) +h +o (h 2) ≥f (x ) 22!
从而有
f ''(x ) 2f ''(x ) 2o (h 2) 2h +o (h ) ≥0, h +2≤0 2! 2! h
故h →0时 f ''(x ) ≥0.
总结：泰勒公式是用一个多项式来逼近函数f (x ) ，而此多项式具有形式简单，易于计算等优点。所以把泰勒公式应用到不等式证明中，使问题简单化。用泰勒公式证明命题时, 关键要注意一点, 即究竟要展开到第几阶, 而对于命题则没有统一的规律, 我们要根据题中的有关信息加以适当取舍[10]。
结论
高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了. 本文针对微积分学中证明不等式的几种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论. 其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来。
参考文献
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[10]王伟珠. 导数在不等式证明中的应用[J],2010(6):185-186.
Inequality proof of integral method and differential method
Abstract: This paper describes the concepts of calculus, and the nature of the proof of Theorem Proving Inequalities applications, with examples, discuss the differential method and inequality proven integration method, and the corresponding ideas and techniques, this paper summarizes the use of calculus proof theory inequality in several ways, for proof of inequality gives a good problem-solving ideas.
Key words: Proof of Inequality; Differentiation; Integration