第2讲命题与量词有答案

第2讲 命题与量词、基本逻辑联结词

[最新考纲]

1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定

.

知 识 梳 理 知 识 梳 理

1．命题的概念

能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．全称量词与全称命题

(1)称量词，并用符号“∀”表示． (2) (3)全称命题的符号表示：

形如“对M 中的所有x ，p (x ) ”的命题，用符号简记为“∀x ∈M ，p (x ) ”． 3．存在量词与存在性命题

(1)事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.

(2)(3)存在性命题的符号表示：

形如“存在集合M 中的元素x ，q (x ) ”的命题，用符号简记为∃x ∈M ，q (x ) ． 4．命题的否定

(1) (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q . 5．基本逻辑联结词

(1)逻辑联结词

命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断

辨 析 感 悟

1．逻辑联结词的理解与应用

(1)命题p ∧q 为假命题的充要条件是命题p ，q 至少有一个假命题．(√) (2)命题p ∨q 为假命题的充要条件是命题p ，q 至少有一个假命题．(×) 2．对命题的否定形式的理解

(3)(2013·山西四校联考改编) “有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√)

(4)(2013·东北联考改编) 命题p ：∃n 0∈N, 2n 0＞1 000，则綈p ：∃n ∈ N, 2n ≤1 000.(×)

(5)(2013·四川卷改编) 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：∀x ∈A, 2x ∈B ，则綈p ：∃x ∉A, 2x ∉B .(×)

(6)已知命题p ：若x ＋y ＞0，则x ，y 中至少有一个大于0，则綈p ：若x ＋y ≤0，则x ，y 中至多有一个大于0.(×) [感悟·提升]

1．一个区别 逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．

2．两个防范 一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p 指的是命题

的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6).

考点一 含有逻辑联结词的命题的真假

π

【例1】 (1)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2；命题q ：函数y ＝cos x π

的图象关于直线x ＝2对称．则下列判断正确的是( ) ．

A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 (2)(2013·湖北卷) 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) ． A ．(綈p ) ∨(綈q ) B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p ) ∧(綈q ) D ．p ∨q

2ππ

解析 (1)函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π，故命题p 为假命题；x ＝2y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A. 或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A. 答案 (1)C (2)A

规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．

b

【训练1】 若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b ) ＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________．

解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真． 答案 綈p ，綈q

考点二 含有一个量词的命题的否定

【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假： 1

(1)p ：∀x ∈R ，x －x ＋40；

2

(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0. 解 (1)綈

12

p ：∃x 0∈R ，x 0－x 0＋0，假命题．

4

(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．

(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．

规律方法 对含有存在(全称) 量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称) 量词改写成全称(存在) 量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．

【训练2】 (1)(2013·江门、佛山模拟) 已知命题p ：∃x 0＞1，x 20－1＞0，那么綈p 是( ) ．

A ．∀x ＞1，x 2－1＞0 B ．∀x ＞1，x 2－1≤0

2

C ．∃x 0＞1，x 20－1≤0 D ．∃x 0≤1，x 0－1≤0

(2)命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________． 解析 (1)存在性命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ＞1，x 2－1≤0，故选B. (2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根”． 答案 (1)B (2)存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根

考点三 含有量词的命题的真假判断

【例3】 下列四个命题 p 1：∃x 0∈(0，＋∞) ，⎛1⎫

⎪⎝2⎭

x 0

＜⎛1⎫ ⎪⎝3⎭

x 0

；

p 2：∃x 0∈(0,1)，log 1x 0＞log 1x 0；

2

3

x

p 3：∀x ∈(0，＋∞) ，⎛1⎫＞log 1x ；

⎪2⎝2⎭

x

1⎛

p 4：∀x ∈ 0，3，⎛1⎫＜log 1x .

⎝⎭ ⎪3

⎝2⎭

其中真命题是( ) ． A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4

解析 根据幂函数的性质，对∀x ∈(0，＋∞) ，⎛1⎫＞⎛1⎫，故命题p 1是假

x

x

⎪

⎝2⎭ ⎪⎝3⎭

lg x (lg 2－lg 3)lg x lg x

命题；由于log 1x －log 1x ＝－∀x ∈(0,1)，

lg 2lg 3－lg 2－lg 323

log

1

2

x ＞log 1x ，所以∃x 0∈(0,1)，log 1x 0＞log 1x 0，命题p 2是真命题；当x

3

2

3

x x

1⎛11∈ 0，2时，⎛⎫＜1，log 1x ＞1，故⎛⎫＞log 1x 不成立，命题p 3是假⎝⎭ ⎪ ⎪

⎝2⎭

2

⎝2⎭

2

x x

1⎫⎛

命题；∀x ∈ 0，3⎪，⎛1⎫＜1，log 1x ＞1，故⎛1⎫＜log 1x ，命题p 4是真

⎝⎭ ⎪ ⎪33

⎝2⎭⎝2⎭

命题． 答案 D

规律方法 可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立. 【训练3】 (2013·开封二模) 下列命题中的真命题是( ) ． 3

A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝2B ．∀x ∈(0，＋∞) ，e x >x ＋1 C ．∃x ∈(－∞，0) ，2x cos x

3⎛π⎫

解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin x ＋4⎪≤2

⎝⎭π⎫⎛

0， 图象在y ＝3的图象上方，故C 错误；因为x ∈时有sin x

x

误．所以选B. 答案 B

1．逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．正确区别命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只是否定命题p

的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．

答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题

【典例】 (12分) 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围．

[规范解答] ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1. 不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，且a ＞0，

∴a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4. (5分) ∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p ，q 中必有一真一假． (7分) ①当p 真，q 假时，{a |a ＞1}∩{a |a ≥4}＝{a |a ≥4}． (9分) ②当p 假，q 真时，{a |0＜a ≤1}∩{a |0＜a ＜4}＝{a |0＜a ≤1}． (11分) 故a 的取值范围是{a |0＜a ≤1，或a ≥4}． (12分) [反思感悟] 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围

求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算． 答题模板 第一步：求命题p ，q 对应的参数的范围．

第二步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 真q 假”或“p 假q 真”．

第三步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第四步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 【自主体验】

(2014·锦州月考) 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x ) ＝(3－2a ) x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解 设g (x ) ＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x ) 的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2. 又∵函数f (x ) ＝(3－2a ) x 是增函数， ∴3－2a ＞1，∴a ＜1.

又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． ⎧－2＜a ＜2，(1)若p 真q 假，则⎨

a ≥1，⎩∴1≤a ＜2；

⎧a ≤－2或a ≥2，

(2)若p 假q 真，则⎨

⎩a ＜1，∴a ≤－2.

综上可知，所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2).

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) ．

3

A ．∃x 0∉∁R Q ，x 0∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉Q

C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 解析 根据存在性命题的否定为全称命题知，选D. 答案 D

2．(2014·合肥质检) 已知命题p ：若(x －1)(x －2) ≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0. 下列选项中为真命题的是( ) ． A ．綈p B ．q C ．綈p ∨q D ．綈q ∧p

解析 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，綈q 是真命题；则綈q ∧p 是真命题，綈p ∨q 是假命题，故选D. 答案 D

3．下列命题中，真命题是( ) ．

A ．∃m 0∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋m 0x (x ∈R ) 是偶函数 B ．∃m 0∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋m 0x (x ∈R ) 是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋mx (x ∈R ) 都是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋mx (x ∈R ) 都是奇函数

解析 由函数奇偶性概念知，当m 0＝0时，f (x ) ＝x 2为偶函数，故选A. 答案 A

4．下列命题中的假命题是( ) ． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝3 C ．∀x ∈R ，x 3＞0

⎛π⎫

D ．∀x ∈ 2，π⎪，tan x ＜sin x

⎝⎭

π

解析 当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝3tan x ＝3，故命题“∃x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，⎛π⎫

故命题“∀x ∈R ，x 3＞0”是假命题；当x ∈ 2，π⎪时，tan x ＜0＜sin x ，故“∀x

⎝⎭⎛π⎫

∈ 2，π⎪，tan x ＜ sin x ”是真命题． ⎝⎭

答案 C

5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1) ∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2) 中，真命题是( ) ．

A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4

解析 命题p 1是真命题，p 2是假命题，故q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真． 答案 C 二、填空题

6．命题：“∀x ∈R ，e x ≤x ”的否定是________． 答案 ∃x 0∈R ，e x 0＞x 0

1

7．已知命题p ：x 2＋3x －3＞0；命题q ：＞1，若“綈q 且p ”为真，则x 的

3－x 取值范围是________．

x －2

解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，＜0，即2

x －3＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ⎧x ＞1或x ＜－3，

＞1或x ＜－3，由⎨得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，

x ≥3或x ≤2，⎩所以x 的取值范围是(－∞，－3) ∪(1,2]∪[3，＋∞) ． 答案 (－∞，－3) ∪(1,2]∪[3，＋∞)

8．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．

⎧a ＜0，

解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎨得2

⎩Δ＝a ＋8a ≤0，－8≤a ＜0. 综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0] 三、解答题

9．分别指出“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”的真假． (1)p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有两组对边相等．

(2)p ：1是方程x 2－4x ＋3＝0的解；q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解． (3)p ：不等式x 2－2x ＋1＞0的解集为R ；q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅. 解 (1)p 真q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为假． (2)p 真q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真，“綈p ”为假． (3)p 假q 假，∴“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．

10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x ) ＝x 2⎛1⎫

－2cx ＋1在 2，＋∞⎪上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c

⎝⎭的取值范围．

解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1. 即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴綈p ：c ＞1. ⎛1⎫

又∵f (x ) ＝x 2－2cx ＋1在 2，＋∞⎪上为增函数，

⎝⎭1

∴c ≤211

即q ：0＜c ≤，∵c ＞0且c ≠1，∴綈q ：c ＞且c ≠1.

22又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真， q 假时，

⎧⎫⎧1⎫1⎨⎬⎨⎬. c |c ＞，且c ≠1c |＜c ＜1{c |0＜c ＜1}∩＝2⎩⎭⎩2⎭⎧1⎫

②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎨c |0＜c ≤2＝∅.

⎩

⎭

综上所述，实数c

⎧⎪⎪1

的取值范围是⎨c ⎪2＜c ＜1

⎪⎩⎪

⎫⎪

⎬. ⎪⎭

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2014·湖南五市十校联考) 下列命题中是假命题的是( ) ．

A ．∃α ，β∈R ，使sin(α＋β) ＝sin α＋sin β

B ．∀φ∈R ，函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) 都不是偶函数

C ．∃m ∈R ，使f (x ) ＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞) 上单调递减

D ．∀a ＞0，函数f (x ) ＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点

π解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β) ＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝2时，

f (x ) ＝sin(2x ＋φ) ＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x ) ＝(m －1)·xm 2－4m

1＋3＝x －1＝x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ

＝1－4(－a ) ＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.

答案 B

22．(2013·衡水二模) 已知命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 0＋2ax 0＋1＜0成立”为真命

题，则实数a 满足( ) ．

A ．[－1,1) B ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)

C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)

2解析 “∃x 0∈R ，x 0＋2ax 0＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，

∴Δ＝(2a ) 2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1.

答案 B

二、填空题

3．(2014·宿州检测) 给出如下四个命题：

①若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；

②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤ 2b －1”； ③“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1≤1”；

④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件．

其中不正确的命题的序号是________．

解析 若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，根据正弦定理可得sin A ＞sin B ，所以④正确．故不正确的命题有①③.

答案 ①③

三、解答题

4．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2) x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．

2Δ＝m －4＞0，⎧2解 若方程x ＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎨解得m ＞2，⎩m ＞0，

即命题p ：m ＞2.

若方程4x 2＋4(m －2) x ＋1＝0无实根，

则Δ＝16(m －2) 2－16＝16(m 2－4m ＋3) ＜0，

解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.

因“p 或q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，

又“p 且q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，

因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．

⎧m ＞2，⎧m ≤2，⎨∴或⎨ ⎩m ≤1或m ≥3⎩1＜m ＜3.

解得：m ≥3或1＜m ≤2，

即实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞) ．