几类特殊四面体的外接球问题_吴平生
2006年第11期 数学通讯
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几类特殊四面体的外接球问题
吴平生
(广州市第十六中学,广东 510080)
中图分类号:O124.2 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2006)11-0015-03
我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是
各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1 等腰四面体的外接球
三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.
设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=4
a+b+c.特别地,当a=b=c时,棱长为
CD-A1B1C1D1有相同的外接球.设外接球半径为R,则2R,从而R.所以此球的表面2
2
积为S球=4πR2=4π)=3π,故选(A).
2
评注 本题若直接运用正四面体的外接球半径公式Ra,从而S球=4πR2=3π,也能迅速得出答案(A).
2 直角四面体的外接球
同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做直角四面体.从长方体的一个顶点出发的三条棱,以及另三个端点的连线可以构成一个直角的四面体.
设直角四面体的三条直角边长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为
Ra+b+c.
2
例2 (2005年辽宁高考题改编)如图2,已知三棱锥P-ABC中,E,F分别是AC,AB的中点,■ABC,■PEF都是正三
图2 例2图角形.PF⊥AB.若点P,
A,B,C在一个表面积为12π的球面上,求
a的正四面体的外接球半径为Ra.
4
例1 (2003年新课程高考题)一个四面体2.四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
(A)3π. (B)4π.(C)3(D)6π.
分析 由于四面体的所有棱长都相等,所以它也是等腰四面体,因此可以构造长方体来求出它的外接球半径.构造棱长为1的正方体
ABCD-图1 例1图
■ABC的边长.
解 ∵PF=EFBCAB,22
A1B1C1D1,如图1,则B1-ACD1是棱长为2的
∴PA⊥PB.同理PA⊥PC.∵PF⊥AB,F是AB的中点,
∴PA=PB,同理PA=PC.
正四面体,且正四面体B1-ACD1与正方体AB-
收稿日期:2006-02-14:,,,,
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设AB=a,则PA=PB=PCa.2
数学通讯 2006年第11期
∵PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.
因为PA,PB,PC两两垂直,所以以PA,PB,PC为棱的正方体与三棱锥P-ABC有相同的外接球,设外接球半径为R,则2R3PA.∵4πR2=12π,∴R,∴PA=2.
∵■PAB是等腰直角三角形,∴AB=2.∴■ABC的边长为2.
评注 求一个特殊四面体的外接球半径,关键是要分析清楚三棱锥的结构特征.3 正三棱锥的外接球
底面是正三角形,且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥叫做正三棱锥.
设正三棱锥的底面边长a,高为h,则它的外接球半径为R.
6h
更一般地,如果一个三棱锥的顶点在底面射影是底面三角形的外心,并设这个三棱锥的底面三角形的外接圆半径为r,高为h,那么它的外接+h
球半径为R.证
明如下:如图3,在三锥
A-BCD中,AO1⊥底面BCD于O1,且O1是■BCD的外心.设O为三棱锥A-BCD的外接球球心.则O在AO1上.
设O1B=r,AO1=h,OA=OB=R,在Rt■OBO1中,由OB2=BO12+OO12,得R2=r22+h22+(h-R),解得R.
2h
例3 (2005年天津高考题改编)如图4,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,求经过A1,A,B,C四点的球的体积.
解 如图5,分别取BC,B1C1的中点D,E,连结AD,DE,A1E,则A1A∥DE.
连结A1C,A1D.∵AB=AC,D是BC的
⊥2
22
2
图4 例3题图 图5 例3解答图
∵AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,∴■A1AB≌■A1AC,∴A1B=A1C,∴A1D⊥BC,∴BC⊥平面A1AD,∴BC⊥AA1.∵DE∥AA1,∴BC⊥DE,
∴∠ADE是二面角A-BC-B1的平面角.从而∠ADE=120°,∠A1AD=60°.
作A1H⊥底面ABC于H.由于A1A=A1B=A1C=a,所以H为■ABC的外心.
∵AB=AC,∴H在AD上.在Rt■A1AH中,AHa3
,A1Ha.22
设外接球球心O,半径为R,则O在A1H
上.连结AO,在Rt■OAH中,由OA2=AH2+a2222OH,得R=)+a-R),解得R223
图3 三棱图
·a.故外接的体积为
44343
V球πR3πa)πa.
33327评注 本题通过确定球心的位置与构造球心
与侧棱所在截面的直角三角形得出外接球半径与三棱锥侧棱之间的关系.
4 矩形折成的四面体的外接球
例4 (2005年江西高考题)矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )
(A)π. (Bπ.
129125125(Cπ. (Dπ.
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分析 设AC与BD相交于点O,则翻折后仍有OA=OB=OC=OD.因此O是四面体ABCD的外接球的球心.球的半径为RAC,所
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平面图形与其直观图的面积关系
陈亮远
(运河中学,江苏 221300)
中图分类号:O123.1 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2006)11-0017-02
新课标对学生作图能力的要求明显加强,因此,探讨平面图形的直观图的性质很有必要.若记平面内的封闭图形为F,在这个平面内建立直角坐标系后,按照斜二测法(即建立45°坐标系x′o′y′)画出这个图形的直观图F′再与原图F相比较,形状有明显不同,并且由于图形在直角坐标系中的位置不同,得到相应的直观图的形状也可能不同.那么不同形状的直观图,它们的面积是否相等?倘若相等,那么它们的面积与原图形的面积有没有一定的比例关系?这就是本文要给予解
3以V球πR3π)π,故选(C).
评注 本题可将“折成一个直二面角B-AC-D”的
条件放宽为“折成一个二面角B-AC-D”,其结果不变.
这说明若将一个矩形沿对角线折成四面体,则这些四
面体有相同的外接球,并且图6 圆内接四边形矩形的对角线就是外接球的直径.更一般地,如果一个圆内接四边形有一条对角线是它的外接圆直径.如图6,那么将这个四边形沿着这条对角线折成的四面体有相同的外接球,并且四边形的外接圆直径就是折成的四面体外接球的直径.由以上各例可以看出,求一个特殊四面体的外接球半径,通常有以下几种思路:一是构造法,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径,
决的.
画出直角边为a,b斜边的c的Rt■ABC的直观图,通过计算可以得出直角三角形的面积与其直观图的面积之间的关系.下面分步给予说明:
1 以C为原点,CA为x轴,CB为y建立直角坐标系:画对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.按照斜二测法作出直观图
图1 直角三角形
可通过构造一个球内接长方体得到;二是截面法,
比如求正三棱锥的外接球径,可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到;三是观察法,比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体,它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心.
关于一般四面体的外接球半径问题,可以用解析法求出.方法如下:先建立适当的空间直角坐标系,并写出这个四面体四个顶点的坐标.设这个四面体的外接球面方程为x2+y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0.代入四个顶点的坐标,得到四个四元一次方程,联立方程组可解出D,E,F,G,从而+E+F-4G
外接球的半径为R.
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参考文献
[1] 虞关寿.四面体与平行六面体的关系探析.数
学通讯.2005(9).
收稿日期:2006-02-15
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