专题7.11:椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展
专题7. 11:椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展
【探究拓展】
x2y2
探究1:若以F1为极点,以F1x作为极轴,设P(,)为椭圆221上的任意一点,请利用椭圆的
ab
第二定义推导以左焦点为极点的椭圆的极坐标方程
变式1::请利用椭圆的第二定义推导以右焦点为极点的椭圆的极坐标方程;
变式2::若过右焦点的直线l交椭圆于P,Q两点,若设P点的极角为,写出PF2和QF2;
x2y2
探究2:在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:221ab0的右焦点为F4m,0
ab
(m0,m为常数),离心率等于0.8,过焦点F
MN两点.(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若90时,
11,求实数m;
MFNF11(3)试问的值是否与MFNF
c4
解:(1)∵c4m,椭圆离心率e,∴a5m. a5
x2y2
∴椭圆C的标准方程为1.
25m29m2
x2y29m
(2)在椭圆方程221中,令x4m,解得y.
5ab
9m
∵当900时,直线MN⊥x轴,此时FMFN.
5
11101110
.∵ ∴. 解得m
MFNF9mMFNF9m
11
(3)的值与的大小无关.
MFNF
∴
证明如下:法一:设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2. ∵
MF4NF411511
,, ∴(). d15d25MFNF4d1d2
a29m又由图可知,MFcosd1c,
c4
14449m
(cos1). ∴d1(cos1).即
d9m5541
14444
[cos()1](cos1) 同理,
d29m59m5
∴
[1**********]10(cos1)(cos1)=.∴. d1d29m59m59mMFNF49m9m
显然该值与与的大小无关. 法二:当直线MN的斜率不存在时,由(2)知,
11
的值与的大小无关.
MFNF
x2y2
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为yk(x4m),代入椭圆方程21,得 2
25m9m
(25k29)m2x2200m3k2x25m4(16k29)0. 设点M(x1,y1)、N(x2,y2),
200mk225m2(16k29)
∵△0恒成立,∴x1x2,x1x2.
25k2925k29
∵
MF4NF444
,,∴MF5mx1,NF5mx2.……11分
25m25m55x25x15
44
111190k29010
∴=. 2
16MFNF5m4x5m4x81mk81m9m2
x1x24m(x1x2)25m12
5525显然该值与与的大小无关.
(优化方法:借助椭圆的第二定义,应用平面几何的相关性质解决) 本题结论可进一步推广:
4
10m(x1x2)
x2y2
(1)若MN是经过椭圆221ab0焦点的一条弦,其中M,N分别是直线与椭圆的两个焦点,
ab
则
112
定值2; MFNFb
a
x2y2
(2)若MN是经过双曲线221焦点的一条弦,其中M,N分别是直线与双曲线的两个焦点,则
ab112
定值2; MFNFb
a
(3)若MN是经过抛物线y2px(p0)焦点的一条弦,其中M,N分别是直线与抛物线的两个焦点,则
2
112定值; MFNFp
x2y2
探究3:如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆221(ab0)
abe)和
的左、右焦点分别为F1(c,0).已知(1,0),F2(c,
都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. e
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1
与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.
,求直线AF1的斜率; (ii)求证:PF1PF2是定值.
(i
)若AF1BF2x2y2
1的右焦点为F,P变式:椭圆1,P2,,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中P1是94
椭圆的右顶点,并且PFP若这24个点到右准线的距离的倒数和12P2FP3P3FP4P24FP1.为S,则S的值为.
拓展1:某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为EF,通径长为4.记EFA,为锐角.(通径:经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦) (1)用表示AF的长;
(2)试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于的 函数关系式,并设计的大小,使“蝴蝶形图案” 的面积最小.
解:(1)由抛物线的定义知,AFAFcos2,解得AF
2
D
2π
,0,.
1cos2
(2)据(1)同理可得BF
22
,
π1sin1cos
2
22
.
3π1sin1cos
2
CF
21cosπ
2
,DF
1cos
所以“蝴蝶形图案”的面积
41sincos122122π
, 即S,S0,. 22
sincos21cos1sin21cos1sin2
令t
1π
,则S4t2t,t2,,所以当t2,即时,S的最小值为8.
sincos4
答:当
π
时,可使“蝴蝶形图案”的面积最小. 4
拓展2:已知曲线C1的参数方程是
x2cos
(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建
y3sin
立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A、B、C、D以逆时针次序排列,点A的极坐标为2,
. 3
(1)求点A、B、C、D 的直角坐标;
(2)设P为曲线C1上任意一点,求PAPBPCPD的取值范围.
拓展3:已知椭圆两个焦点F1(1,0),F2(1,0),且椭圆与直线yx3相切. (1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1和l2,与椭圆分别交于P,Q及M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值与最小值. 可进一步探究:结论能否作进一步推广?结论如何? 推广后的结论:Smax
2
2
2
2
2e2p28e2p28a2b422b;Smin 2
22422
1e44ee(ab)
思考1:已知点P(x,y)是坐标平面内的一点,且满足到点(1,0)的距离与其到定直线x2 的距离之比为
2
,求点P的运动轨迹方程? 2
此时应用求轨迹方程的一般步骤求解,否则不给分,此处未告知椭圆的中心是否在坐标原点
思考2:可模仿某年全国高考试题命题:求证四边形PMQN面积的最大值只与椭圆的短半轴长b有关
拓展4:如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x = 12
x2y2(1)求椭圆的方程; 1
3627
(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使P1FP2P2FP3P3FP1,证明
2111
为定值,并求此定值
3|FP|FP2||FP3|1|
【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?