四川大学高数下复习题
《高等数学》复习题
2013年5月
第一套
1. 若z =x 3+y 3-3xy , 求dz
∂z ∂z ∂2z
2. 设z =ln (x +y )，求。 , ,
∂x ∂y ∂y 2
2
x ∂z ∂2z
3. 设z =f (x , ) ，其中f 具有二阶连续偏导数，求和2。
∂x ∂x y
∂2z ∂z ∂z
4. 设z =f (x +y , xy ) ，其中f 具有二阶连续偏导数，求，和。
∂x ∂y ∂x ∂y
5. 设u =xy 2+z 3-xyz 。(1) 求函数在点（1,0,1）处的梯度grad u ；(2) 求函数u 在点
(1,1,2)
处沿方向l =(1的方向导数。
6. 设二元函数f (x , y , z )=x +2y +3z +xy +3x -2y -6z ，
2
2
2
求grad f (0,0,0),grad f (1,1,1)。
7. 求函数z =e sin y 在点(1,0)处梯度和沿(1,0) →(2,-1) 方向的方向导数。 8. 交换下列二次积分的积分顺序 ：
x
⎰
10
dx ⎰
x 2-x
f (x , y ) dy
⎰dx ⎰
1
e ln x
f (x , y )dy
9.
计算二重积分10. 计算二次积分11. 计算三重积分12. 计算三重积分
⎰
10
dx ⎰
2
x 2+y 2
dy 。
⎰
10
dx ⎰e -y dy 。
x
1
22
Ω，其中由曲面与平面z =4所围成的闭区域。 z =x +y zdv ⎰⎰⎰Ω
⎰⎰⎰
Ω
(x 2+y 2) dxdydz ，其中Ω由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面
z =5所围成的闭区域。
13. 设平面曲线L
为下半圆周y =⎰
L
x 2+y 2ds
14. 计算曲线积分2xds ，其中L 为抛物线y =x (0≤x ≤1) 。
L
⎰
2
15. 计算曲线积分y dx +xdy ，L ：抛物线x =4-y 上从点(-5, -3) 到(0,2) 的
L
⎰
22
一段弧。
16. 计算曲线积分y sin zds ，其中L 为x =cos t , y =sin t , z =t (0≤t ≤2π) 。
L
⎰
17. 验证曲线积分
⎰
(1,2) (0,1)
(1-ye -x ) dx +e -x dy 与路径无关，并计算积分值。
与路径无关，并计算其积分值。
18. 求二元函数z =x 2+xy +y 2-2x -y 的极值，并判定是极大值还是极小值。 19. 求微分方程y ''-3y '-4y =0的通解。
'''20. 求微分方程y +25y =0, y (0)=2, y (0)=5的特解。
21. 判定下列级数的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？）
(-1) n
∑2
3n +n n =1
∞
∞
n =1
∞
n
n =1
∞
n
x 2n +1
22. 求幂级数∑的和函数s (x ) 。
n =02n +1
23. 求幂级数
∑nx
n =1
∞
n -1
的收敛半径，收敛域以及和函数。
第一套复习题参考答案
1. dz =(3x 2-3y )dx +(3y 2-3x )dy 。2.
2x 111''-f +f 2，，。 3. 1
x 2+y x 2+y (x 2+y ) 2y
21
f 11''+f 12''+2f 22''。 4. f 1'+yf 2'，f 1'+xf 2'，f 11''+(x +y ) f 12''+xyf 22''+f 2'。
y y
5. (0, -1,3)，5。 6. grad f (0,0,0)=(3, -2, -6), grad f (1,1,1) =(6,3,0) 。7. (0, e ), 8.
。 ⎰
0-1
dy ⎰
1-y
f (x , y ) dx +⎰dy 0
11f (x , y ) dx ，⎰dy ⎰y f (x , y )dx 。9.
e
1e
π
4
(e -1) 。
10.
64111π。12. 8π。13. π。14. (1-) （提示：交换积分次序）。11. 。 32e 65
。 16. 6
15. 40。17.
2
。 18. 极小值z (1,0)=-1。19. y =C 1e 4x +C 2e -x 。 e
20. y =2cos5x +sin5x 。21. 绝对收敛，条件收敛，发散。 22. s (x ) =
11+x 1ln , x ∈(-1,1)。23. 收敛半径R =1，收敛域(-1,1)，s =。 221-x (1-x )
第二套
1. 设x 2+2y 2+3z 2+yz +y =0，求
∂z ∂z 和。 ∂x ∂y
2. 已知z =f (sinx cos y , e x +y ) ，求
∂z , ∂x ∂z 。 ∂y
∂z ∂z ，和dz 。 ∂x ∂y
3. 设z =f (xy , x 2+y 2) ，且f 为可微函数，求
4. 求曲面z -e z +2xy =3在点(1,2,0) 处的切平面和法线方程。 5. 求函数f (x , y ) =9-2x +4y -x 2-4y 2的极值。 6.
计算曲线积分(3y -x ) dx +(7x +
L
⎰
2
dy ，其中L
为半圆y =从点
A (3,0) 到点B (-3,0) 的一段弧。
7. 将三重积分
v 为三次积分，其中Ω为三个坐标面和平面⎰⎰⎰f (x , y , z ) d 化
Ω
2x +y +z =1所围成的闭区域。
8. 利用柱坐标系计算三重积分
⎰⎰⎰
Ω
zdv ，其中Ω
是由曲面z =和曲面
z =x 2+y 2所围成的闭区域。
4x y z y +z ) dS ++=1在第一卦限的部分。 ，其中为平面∑⎰⎰∑
3234
10. 计算曲线积分⎰(2xy 3-y 2cos x ) dx +(1-2y sin x +3x 2y 2) dy ，其中L 为在抛物线
9. 求曲面积分
(2x +
L
π
2x =πy 2上由点(0,0)到点(,1) 的一段弧。
2
11.
计算曲线积分12. 求曲面积分
⎰
∑
2
，其中L ：x 2+y 2=2ax (a >0)。
+y 2) dS ，其中∑为锥面z 2=3(x 2+y 2) 被平面z =0, z =3截得
⎰⎰(x
的有限部分。 13. 求微分方程
2dy
+2xy =2xe -x 的通解。 dx
14. 求微分方程(xy +x ) dx +(y -x y ) dy =0的通解。 15. 求微分方程4y ''+4y '+y =0的通解
22
16. 计算曲面积分
⎰⎰xydydz +yzdzdx +xzdxdy ，其中∑是区域
∑
Ω:x +y +z ≤1, x ≥0, y ≥0, z ≥0的整个边界曲面的外侧。
17. 将函数f (x ) =
∞
1
展开成x 的幂级数。
3-2x -x 2
n
(x +2) n
18. 求幂级数的∑(-1) 收敛半径和收敛域。 n
n ⋅2n =1
19. 求幂级数的和函数
∑n (x -1)。
n =1
∞
n
20.
判定级数
∑(-1)
n =1∞n =1
∞
n -1
n 3
的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？）。
21. 讨论级数
∑(-1) n
1
何时绝对收敛﹑条件收敛和发散。 p
(n +1)
22. 求二元函数极限
(x , y )→(
0,0)
lim
。
第二套复习题参考答案
1. -
2x 4y +z +1
，-。.2. f 1' cos x cos y +f 2' e x +y , -f 1' sin x sin y +f 2' e x +y 。
6z +y 6z +y
dz =(yf 1'+2xf 2') dx +(xf 1'+2yf 2') dy 。xf 1'+2yf 2'，3. yf 1'+2xf 2'，4. 2x +y -4=0
x -1y -2z -01
==。 5. 极大值f (-1, ) =11。 6. 18(π+1) (提示：加边用格林2102
公式) 。7.
⎰
1
20
dx ⎰
1-2x 0
dy ⎰
-x 2
1-2x -y 0
7π22π。f (x , y , z ) dz 。8. 9. 。10. 。 11. 8a 。 124
2
2
-x
2
12. 9π。 13. y =e
(x +C ) 。14. 1+y =C (1-x ) 。15. y =(C 1+C 2x ) e 。
2
116. 。17.
8
(-1) n n x -1
18. R =2，(-4,0]。19. (1+n +1) x (-1
3n =0(2-x )
∞
20. 绝对收敛。21. 当p ≤0时发散；当0
1时绝对收敛。22.
1
2