第5章 平均预测法和回归预测法
第五章 平均预测法和回归预测法
第一节 平均预测法
一、算术平均预测法
1、算术平均预测法是将若干同类观察数据的算术平均数作为预测值的预测方法。
2、算术平均数计算公式
X=
X1+X2+ +Xn
n
其中，X为算术平均数，Xi(i=1,2,3,...,n)为实际观测数据，n为观察数据的个数。
例5-1 12年来某自学考试科目的合格率分别是
0.4 0.6 0.5 0.6 0.6 0.6 0.7 0.5 0.4 0.6 0.5 0.6 试以12年的合格率作为下一年该自学考试科目合格率的预测值。 解：下一年该自学考试科目合格率的预测值为：
X1+X2+ +Xn
n
0.4+0.6+0.5+0.6+0.6+0.6+0.7+0.5+0.4+0.6+0.5+0.6
=
12
=0.55X=
注意：使用算术平均数时，要特别注意数据的变化规律，如果数据有明显的上升或下降的趋势，则不能采用算术平均预测法。
3、加权平均数计算公式
X==
wnw1w2
X1+X2+ +Xn
w1+w2+ +wnw1+w2+ +wnw1+w2+ +wn
w1X1+w2X2+ +wnXnw1+w2+ +wn
其中，X为加权平均数，wi(i=1,2,3,...,n)为数据Xi的权重，
Xi(i=1,2,3,...,n)为实际观测数据，n为观察数据的个数。
例5-2 6年来有一自学考试科目的合格率分别是
0.20 0.35 0.25 0.30 0.40 0.35 它们的权重分别为0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.3 求：6年来该自考科目合格率的加权平均数。 解：6年来该自考科目合格率的加权平均数为：
X==
w1X1+w2X2+ +wnXn
w1+w2+ +wn
0.1⨯0.2+0.1⨯0.35+0.15⨯0.25+0.15⨯0.3+0.2⨯0.4+0.3⨯0.35
0.1+0.1+0.15+0.15+0.2+0.3
=0.3225
注意：在加权平均数的计算中，权数通常是由有关专家根据掌握的预测对象的本质规律和经验确定的，权数的确定是否合适，直接关系到加权平均的结果，因此权数的选取应该认真对待。
二、移动平均预测法
1、移动平均预测法
在平均间隔不变情况下，每次后移一位求相应间隔平均数，并根据此平均数列的变化规律来进行预测的方法，称为移动平均预测法。
2、移动平均数的计算公式：
X=
Xt+Xt-1+ +Xt-k+1
K
其中，X为t时期的移动平均数，Xi(i=1,2,3,...,n)为第i时期的观测数据，
t表示时间序列的时期序号；k表示选取的时间间隔。
例5-3 表5-1的第三栏是某校1986-1999年在校学生人数，试计算间隔三年、五年的移动平均数数列。
第二节 指数平滑预测法
一、指数平滑预测法的意义
加权平均数中的权重大小按时间由近到远逐步递减排序，当权重系数按照指数规律递减时，这种加权平均预测法称为指数平滑预测法。
二、一次指数平滑预测法
一次指数平滑预测法的计算公式：
St(1)=αYt+α(1-α)Yt-1+ +α(1-α)t-1Y1+α(1-α)tY0 （5-5）
其中：St(1)代表第t个时点的一次指数平滑值； Yt代表第t个时点的实际值；
α代表平滑系数，其取值范围为0
(1)
通常情况下，用实际值Y0作为初始指数平滑值S0；
由（5-5）可得公式：St
(1)
1)
=αYt+(1-α)St(-1 （5-6）
(1)ˆ， S在（5-6）中t时的一次指数平滑值t作为t+1时点的预测值Yt+1
就得到一次指数平滑预测模型公式：
ˆ=αY+(1-α)S(1) （5-7） Yt+1tt-1
(1)ˆSY用t时点的预测值t代替t-1，可得如下公式：
ˆ=αY+(1-α)Yˆ=Yˆ+α(Y-Yˆ) （5-8） Yt+1ttttt
例5-4 取平滑系数值为0.1，0.5，0.9，考察指数平滑值的情况。
注：（1）平滑系数α的作用：不同平滑系数α的值，对预测效果的影响有明显的差异。平滑系数α的值越小，其平滑功能越强。在实际选取平滑系数α的值时，需要考虑历史数据的特征以及预测误差的大小。
（2）如何选取平滑系数α的值？
如果得用直观方法选择平滑系数α的值时，那么，当时间序列的变化比较稳定时，应该取较小的α值；如果历史的数据的增减变化幅度较大时，则应取较大的α值。
如果采用统计比较方法来选取α值时，则需要计算不同的α值的预测误差，取综合误差较小的α值。
估计综合预测误差，可采用如下公式
AD=
∑Y
t=0
n
t
ˆ-Yt
n
其中：AD代表平均预测误差；n代表预测值的个数；
ˆ代表t时点的预测值。 Yt代表t时点的实际值；Yt
AD0.1=
-+-+ +-13
-+-+ +-13
-+-+ +-13
=254
AD0.5=
=102
AD0.9=
=85
因为AD0.1>AD0.5>AD0.9，所以取α=0.9比较合适。
第三节 回归预测法
一、回归预测法的意义
回归预测法是通过建立回归模型来实现预测对象的预测方法。回归预测分为线性回归预测和非线性回归预测。
二、散点图
什么是散点图？有什么优点？
三、一元线性回归方程
1、回归直线方程形式如：Y称为一元线性回归方程。
2、利用最小二乘法求出系数b0和b1。计算公式如下：
ˆ=b+bX
01
b1=
∑XY∑X
i=1i=1
n
2i
n
ii
-∑Yi
i=1n
n
-∑Xi
i=1
b0=-b1
3、检验Y与X的线性关系的近似程度，可采用相关系数检验、t检验、F检验等方法。
下面介绍相关系数检验法。
（1）积差相关系数的计算公式：
r=
n∑XiYi-∑Xi∑Yi
i=1
i=1
i=1
nnn
n∑Xi2-(∑Xi)2n∑Yi2-(∑Yi)2
i=1
i=1
i=1
i=1
nnnn
其中：Xi，Yi为两组数据，n为数据对的数目，
（2）检验：取检验水平α，一般地取α=0.05或0.01； 自由度df=n-2，查积差相关系数表，得r(df)α； 若r
例5-5 根据资料，求因变量大学毛入率Y关于自变量年人均教育经费X的一元线性回归方程。并检验线性回归方程是否可用。
>r(df)α，则X与Y相关密切，达显著水平，否则相关不显著。
（2）计算回归系数：
b1=
∑XY-∑Y
ii
i=1n
i=1n
i=1
i=1
nn
i
2X∑i-∑Xi
6.1364-24.27⨯0.2287
==0.0005
7663-24.27⨯267.00
b0=-b1=0.0208-0.0005⨯24.27=0.0087
（3）建立回归方程
ˆ=0.0087+0.0005X Y
（4）检验：
n
n
n
r=
n∑XiYi-∑Xi∑Yi
i=1
i=1
i=1
n∑X-(∑Xi)
2i
i=1
i=1
nn
2
n∑Yi-(∑Yi)2
2i=1
i=1
2
nn
=
11⨯6.1364-267⨯0.2287
2
⨯7663-267=0.91
⨯0.0051-0.2287
自由度df=n-1=11-2=9，查相关系数表，得r0.01(9)
=0.735
因为r
=0.91>0.735=r0.01(9)，所以认为Y与X之间存在
=0.0087+0.0005X
ˆ显著的一元线性回归关系。可以使用回归方程：Y