圆锥曲线与方程知识点总结

1

2

（2）求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （3）求F2AF2B的最大值和最小值． 解：（1）由抛物线方程，得焦点F1(1,0)．

∴r()(2)

1

23. 2

由

OMr,

3

,解得t

 2

x2y2

设椭圆的方程：221(ab0)．

ab

19

所求圆的方程为(x)2(y2.…………………………8分

24

（3） 由点F,0),F2(1,0) 1(1①若AB垂直于x轴，则A(1,

y24x

解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．

x1

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴

|FC|CD|1|，

∴A ． …………2分 

|F1A||F1A||AB|11222

1abc1， 又22a2b

11

1，解得b21并推得a22． 22

b12b

22),B(1,)， 22

F2A(F2B(2,， 17

…………………………………………9分 22

∴

F2AF2B4

因此，

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为 yk(x1) 由

x2

y21 ． …………4分 故椭圆的方程为2

（2）ab1,c1， 圆过点O、F1，

yk(x1)2222

得 (12k)x4kx2(k1)0 22

x2y20

8k280，方程有两个不等的实数根．

设A(x1,y1)，B(x2,y2).

1

圆心M在直线x上．

2

设M(

1

,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， 2

4k22(k21)

x1x2, x1x2………………………………11分 22

12k12k

F2(x11,y1),F2(x21,y2)

3

4

5

6

7

8

9

10

作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点 （1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、Fxy50相切，求椭圆C的方程. 解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0y2

1 3

注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二

一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标

x＝±4，离心率为的椭圆方程是 （ ） 1

2

A（0，b）知(c,b),(x0,b)

b2

,cx0b0,x0…2分

c

2

圆锥曲线单元测试题

8b258

,y1b…… 设P(x1,y1),由，得x113c135

8b225

()(b)213c131…… 因为点P在椭圆上，所以

a2b2

整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，2e23e20,B．

2

x2y2

1 34

y2

x1

4

2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 B．

52

b23

⑵由⑴知2b3ac，得a；

c2

2

又

c11

，得ca22

1

2

31

于是F，0）， Q(a,0)

22

11

△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径a………

22

1的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为

22 42

12

1

|a5|所以a，解得a=2，∴c=1，b=，

2

上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那 B． D．3

32

＝60°，△PF1F2的面积为12，求双曲线的方程．

17．已知动圆C与定圆x2＋y2＝1内切,与直线x＝3相切. (1) 求动圆圆心C的轨迹方程；

(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.

18．如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线

y22px(p0)于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点．

19．设x，y∈R，i,j为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 (1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．

(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.．

20．动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A´：(x－2)2＋y2＝12相切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．

(1) 写出直线l的截距式方程； (2) 证明：

111； y1y2b

(3) 当a2p时，求MON的大小．

x

x2y2

21．已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(－c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外

ab

的动点，满足|1|2a，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

TF2＝0，|TF2|≠0．

(1) 设x为点P的横坐标，证明|F1P|ax；

(2) 求点T的轨迹C的方程；

(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b2 ？若存在，求∠F1MF2的正切值，若不存在，请说明理由．

ca

2009年高考题

做到合二为一.

x2y2

1.（2009浙江文）已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B

abPB，则椭圆的离心率是在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若AP2

3.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是

（ ）

A. B. C. D.

11A

B

C． D．

32交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．

cx2y2c【解析】依据双曲线221的离心率e可判断得

.e.选B。

aaba【答案】B

4.（2009安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是

答案：D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的

OF,a2c,e【解析】对于椭圆，因为AP2PB，则OA2

2

1

2

A．C.

B.

D.

2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

【解析】可得l斜率为l:y2【答案】A

323

(x1)即3x2y10，选A。 2

A.y4x B.y8x C. y4x D. y8x

2

【解析】: 抛物线yax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为

2222

a4

x2y2

5.（2009天津卷文）设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，

ab

则双曲线的渐近线方程为（ ）

A y2x B y2x C y【答案】C

【解析】由已知得到b1,c3,a故渐近线方程为y

因为双曲线的焦点在x轴上，c2b22，

aa1aa

y2(x),它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为|||4,解得

24242a8.所以抛物线方程为y28x,故选B.

1x Dyx

22

答案:B.

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以

b2

xx a2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和

推理能力。

3

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆

2

G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:xy2kx4y210(kR)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

2

2

到其焦点的距离为

17． 4

（I）求p与m的值；

（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x

轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．

解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y

p

，根据抛物线定义 2

x2y2

【解析】（1）设椭圆G的方程为：221 （ab0）半焦距为c;

ab

点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4

p171

，解得p 242

2a12

a6222

则c, bac36279 ,

解得

c

2a

x2y2

1 所求椭圆G的方程为：

369

(2 )点AK的坐标为K,2

SVAKF1F2

抛物线方程为：x2y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m2

（Ⅱ）由题意知，过点P(t,t)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。

2

t2ktt2kt

, 则M(,0)。 则lPQ:ytk(xt)，当y0,x

kk

2

yt2k(xt)2

联立方程，整理得：xkxt(kt)0 2

xy

即：(xt)[x(kt)]0，解得xt,或xkt

11

F1F22222

Q(kt,(kt)2)，而QNQP，直线NQ斜率为

1

lNQ:y(kt)2[x(kt)]

k

，

联

22

（3）若k0，由6012k021512kf0可知点（6，0）在圆Ck外，

1 k

立

方

程

22

若k0，由(6)012k021512kf0可知点（-6，0）在圆Ck外；

不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C：x2py(p0)上一点A(m,4)

2

1

y(kt)2[x(kt)]

k

x2y

整理得：

x2

11

x(kt)(kt)20kk

，即：

交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m

kx2x(kt)[k(kt)1]0

[kxk(kt)1][x(kt)]0，解得：x

k(kt)1

，或xkt k

，

1

,设直线l与圆C:x2y2R2(1

点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:（1）因为ab,a(mx,y1),b(x,y1), 所以abmx2y210, 即mx2y21.

k(kt)1[k(kt)1]2

N(,)

kk2

[k(kt)1]2

2(k2kt1)2

k(kt)1t2ktk(t2k21)

kk

k(kt)1

k

当m=0时,方程表示两直线,方程为y1; 当m1时, 方程表示的是圆

当m0且m1时,方程表示的是椭圆; 当m0时,方程表示的是双曲线.

KNM

而抛物线在点N处切线斜率：k切y

x

2k(kt)2

k

(k2kt1)22k(kt)2

， 整理得MN是抛物线的切线，2

kk(tk21)

k2tk12t20

222

，或t，tmin t4(12t)0，解得t（舍去）

333

2

2

1x2

y21,设圆心在原点的圆的一条切线为(2).当m时, 轨迹E的方程为

44

ykxt

xtyk

222

,解方程组x得x4(kxt)42

y14

,即

14. (2009山东卷文)（本小题满分14分）

设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量,ab(x,y1)b,动点M(x,y)的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(14k2)x28ktx4t240,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64kt16(14k)(t1)16(4kt1)0,

22

2

2

2

2

（2）已知m

1

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个4

8kt

xx1214k22222

即4kt10,即t4k1, 且 2

4t4xx12

14k2

解法一：

（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为D(0,1),a2,b1

当且仅当

116k1

，即k时等号成立

433k

x2

y21 故椭圆C的方程为4

（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为yk(x2)，从而M(

k

18时，线段MN的长度取最小值 43

1

4

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，k

1016k, 33

此时BS

的方程为xy20,s(,),|BS|

yk(x2)

2222由x2得(14k)x16kx16k40 2

y14

4k16k2428k2

yx设S(x1,y1),则(2),x1得，从而 11222

14k14k14k

64

55 5

要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于，只须T到直线BS

的距离等于

1

5

T在平行于BS且与BS

的直线l上。 设直线l':xy10

28k24k

,),又B(2,0) 即S(

14k214k2

110y(x2)x4k3由得

101xy33k101N(,)

33k

故|MN|

35解得t或t

2216k1



33k

又k0,|MN|

16k18

 33k3

31