因式分解知识点总结

从中考中因式分解题型看因式分解

所谓因式分解是把一个整式分成几个因式乘积的形式，由于这种变形蕴含着变换的数学思想和方法，并且对于代数式的求值、化简具有重要的意义，所以中考中除考察学生对因式分解的方法的选用外，还考察了学生恒等变形的能力。因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因式分解总是以直接和间接的方式出题，且在分值上占有一定的比例，总之因式分解的归类分解学好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用

一、 知识梳理

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式几个整式的积

111 例：axbxx(ab) 333

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数 字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们

的最大公约数为2；字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是2a3b2c.

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，

所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项

式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把12a2b18ab224a3b3分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

解：12a2b18ab224a3b3

6ab(2a3b4a2b2)

例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式

解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),

我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式.

解：3(x4)x(4x)

=3(x4)x(x4)

=(3x)(x4)

例3：把多项式x22x分解因式

解：x22x=(x22x)x(x2)

（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)

b.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2

332 c.逆用立方和公式：ab(ab)(aabb（拓展）)2

d.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2（拓展）)

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方

差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

解：a214a49=(a7)2

例2：因式分解a22a(bc)(bc)2

解：a22a(bc)(bc)2=(abc)2

（3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式abab1分解因式

解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)

②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

例：将多项式a22ab1b2因式分解

解：a22ab1b2

=(a22abb2)1(ab)21(ab1)(ab1)

2x （4）十字相乘法（形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式，可以考

虑运用此种方法）

方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(xp)(xq)

例：分解因式x2x30 分解因式x252x100 补充点详解 补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式， 我们可以将100分解成p×q的形式，

使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2,

q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以将多项式x2(pq)xpq可以分 所以将多项式x2(pq)xpq可以分

解为(xp)(xq) 解为(xp)(xq)

x

5 x2 -6 x50

x2x30(x6)(x5) x252x100(x50)(x2)

3.因式分解的一般步骤：

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的

因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

二、 例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例 1】 分解因式：

⑴15aab2n110abba(n为正整数) 2n

⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于1的自然数)

【巩固】 分解因式： (xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz)，n为正整数.

【例 2】 先化简再求值，yxyxyxyx2，其中x2，y1． 2

【巩固】 求代数式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x)，其中

2x. 3

22221【例 3】 已知：bca2，求a(abc)b()(2b2c2a)的值. 33333

【巩固】 分解因式：x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza).

公式法

平方差公式：a2b2(ab)(ab)

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：a22abb2(ab)2

a22abb2(ab)2

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

一些需要了解的公式：

a3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2) (ab)3a33a2b3ab2b3 (ab)3a33a2b3ab2b3