数学探究题

１． 阅 读 材 料 ： 如 图 ①， 在 △ＡＯＢ 中 ， ∠Ｏ ＝９０°， ＯＡ ＝ ＯＢ， 点 Ｐ 在 ＡＢ 边 上 ， ＰＥ⊥ＯＡ于 点 Ｅ， ＰＦ⊥ＯＢ 于 点 Ｆ， 则 ＰＥ ＋ ＰＦ ＝ ＯＡ． （ 此 结 论 不 必 证 明 ， 可 直 接 应 用 ） （１） 【 理 解 与 应 用 】 如 图 ②， 正 方 形 ＡＢＣＤ 的 边 长 为 ２， 对 角 线 ＡＣ， ＢＤ 相 交 于 点 Ｏ， 点 Ｐ 在 ＡＢ 边上 ， ＰＥ⊥ＯＡ 于 点 Ｅ， ＰＦ⊥ＯＢ 于 点 Ｆ， 则 ＰＥ ＋ ＰＦ 的 值 为 ．

（２） 【 类 比 与 推 理 】 如 图 ③， 矩 形 ＡＢＣＤ 的 对 角 线 ＡＣ， ＢＤ 相 交 于 点 Ｏ， ＡＢ ＝ ４， ＡＤ ＝ ３， 点 Ｐ 在 ＡＢ边 上 ， ＰＥ∥ＯＢ 交 ＡＣ 于 点 Ｅ， ＰＦ∥ＯＡ 交 ＢＤ 于 点 Ｆ， 求 ＰＥ ＋ ＰＦ 的 值 ； （３） 【 拓 展 与 延 伸 】 如 图 ④， ⊙Ｏ 的 半 径 为 ４， Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ 是 ⊙Ｏ 上 的 四 点 ， 过 点 Ｃ、 Ｄ 的 切 线 ＣＨ， ＤＧ相 交 于 点 Ｍ， 点 Ｐ 在 弦 ＡＢ 上 ， ＰＥ∥ＢＣ 交 ＡＣ 于 点 Ｅ， ＰＦ∥ＡＤ 交 ＢＤ 于 点 Ｆ，当 ∠ＡＤＧ ＝ ∠ＢＣＨ ＝ ３０°时 ， ＰＥ ＋ ＰＦ 是 否 为 定 值 ？ 若 是 ， 请 求 出 这 个 定 值 ； 若不 是 ， 请 说 明 理 由 ．

第 １ 题 图

解 ： （１）√２；

【 解 法 提 示 】 ∵ 四 边 形 ＡＢＣＤ 是 正 方 形

∴ ＯＡ ＝ ＯＢ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ， ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＯＢ ＝９０° ∵ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝２

∴ ＡＣ＝2√２．∴ ＯＡ＝√2

∵ ＯＡ ＝ ＯＢ， ∠ＡＯＢ ＝９０°， ＰＥ⊥ＯＡ， ＰＦ⊥ＯＢ ∴ ＰＥ ＋ ＰＦ ＝ ＯＡ＝√2

（２）∵ 四 边 形 ＡＢＣＤ 是 矩 形

∴ ＯＡ ＝ ＯＢ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ， ∠ＤＡＢ ＝９０° ∵ ＡＢ ＝４， ＡＤ ＝３ ∴ ＢＤ ＝ ＡＢ＋ＡＤ＝５

∴ ＯＡ ＝ ＯＢ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ ＝5/2 ∵ ＰＥ∥ＯＢ， ＰＦ∥ＡＯ

∴ △ＡＥＰ∽△ＡＯＢ， △ＢＦＰ∽△ＢＯＡ ∴

∴ ＥＰ ＋ ＦＰ ＝

∴ ＰＥ ＋ ＰＦ 的 值 为

（３） 当 ∠ＡＤＧ ＝ ∠ＢＣＨ ＝３０°时 ， ＰＥ ＋ ＰＦ 为 定 值 理 由 ： 连 接 ＯＡ、 ＯＢ、 ＯＣ、 ＯＤ， 如 解 图 ∵ ＤＧ 与 ⊙Ｏ 相 切 ∴ ∠ＡＤＧ ＝ ∠ＡＢＤ

∵∠ＡＤＧ＝３０°，∠ＡＢＤ＝30° ∴ ∠ＡＯＤ ＝２∠ＡＢＤ ＝６０°

∵ ＯＡ ＝ ＯＤ ∴ △ＡＯＤ 是 等 边 三 角 形 ∴ ＡＤ ＝ ＯＡ ＝４．同 理 可 得 ： ＢＣ ＝４ ∵ ＰＥ∥ＢＣ， ＰＦ∥ＡＤ

∴ △ＡＥＰ∽△ＡＣＢ， △ＢＦＰ∽△ＢＤＡ ∴

∴

∴ 当 ∠ＡＤＧ ＝ ∠ＢＣＨ ＝３０°时 ，ＰＦ ＝４．

＋ ＰＥ

2． 如 图 ， ⊙Ｏ 的 半 径 为 １， 直 线 ＣＤ 经 过 圆 心 Ｏ， 交 ⊙Ｏ 于 Ｃ、 Ｄ 两 点 ， 直 径 ＡＢ⊥ＣＤ， 点 Ｍ 是 直 线 ＣＤ 上 异 于 点 Ｃ、 Ｏ、 Ｄ 的 一 个 动 点 ， ＡＭ 所 在 的 直 线 交 ⊙Ｏ 于点 Ｎ， 点 Ｐ 是 直 线 ＣＤ 上 另 一 点 ， 且 ＰＭ ＝ ＰＮ．

（１） 当 点 Ｍ 在 ⊙Ｏ 内 部 ， 如 图 ①， 试 判 断 ＰＮ 与 ⊙Ｏ 的 关 系 ， 并 写 出 证 明 过 程 ；

（２） 当 点 Ｍ 在 ⊙Ｏ 外 部 ， 如 图 ②， 其 它 条 件 不 变 时 ， （１） 的 结 论 是 否 成 立 ？ 请说 明 理 由 ； （３） 当 点 Ｍ 在 ⊙Ｏ 外 部 ， 如 图 ③， ∠ＡＭＯ ＝３０°， 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 ．

解 ： （ １） ＰＮ 与 ⊙Ｏ 相 切 ． 证 明 ： 连 接 ＯＮ， 如 解 图 ①， 则 ∠ＯＮＡ ＝ ∠ＯＡＮ， ∵ ＰＭ ＝ ＰＮ，

∴ ∠ＰＮＭ ＝ ∠ＰＭＮ， ∵ ∠ＡＭＯ ＝ ∠ＰＭＮ， ∴ ∠ＰＮＭ ＝ ∠ＡＭＯ，

∴ ∠ＰＮＯ ＝ ∠ＰＮＭ ＋ ∠ＯＮＡ ＝ ∠ＡＭＯ ＋ ∠ＯＮＡ ＝ ∠ＡＭＯ ＋ ∠ＯＡＮ ＝９０°，

又 ∵ ＯＮ 为 ⊙Ｏ 的 半 径 ， ∴ ＰＮ 与 ⊙Ｏ 相 切 ． （２） 成 立 ．

证 明 ： 连 接 ＯＮ， 如 解 图 ②， 则 ∠ＯＮＡ ＝ ∠ＯＡＮ， ∵ ＰＭ ＝ ＰＮ，

∴ ∠ＰＮＭ ＝ ∠ＰＭＮ，

在 Ｒｔ△ＡＯＭ 中 ， ∠ＯＭＡ ＋ ∠ＯＡＭ ＝９０°， ∴ ∠ＰＮＭ ＋ ∠ＯＮＡ ＝９０°． ∴ ∠ＰＮＯ ＝１８０° － （ ∠ＰＮＭ ＋ ∠ＯＮＡ） ＝１８０° －９０° ＝９０°． ∵ ＯＮ 为 ⊙Ｏ 的 半 径 ， ∴ ＰＮ 与 ⊙Ｏ 相 切 ．

（ ３） 连 接 ＯＮ， 如 解 图 ③， 由 （ ２） 可 知 ∠ＯＮＰ ＝９０°． ∵ ∠ＡＭＯ ＝３０°， ＰＭ ＝ ＰＮ，

∴ ∠ＰＮＭ ＝３０°， ∠ＡＯＮ ＝６０°， 过 点 Ｎ 作 ＮＥ⊥ＯＤ 于 点 Ｅ， 则 ＮＥ ＝ ＯＮ· ｓｉｎ３０° ＝１ ×

=

3. （本小题满分 14 分）

【阅读】在平面直角坐标系 xOy 中，过⊙C 上一点 P 作⊙C 的切线 l.当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C ，即当入射光线在⊙C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C 外反射的示意图如图 17－1 所示，其中∠1＝∠2.

【操作】自⊙C 内一点出发的入射光线经⊙C 第一次反射后的示意图如图 17－2 所示，P 1 是第 1 个反射点．请在图 17－2 中作出光线经⊙C 第二次反射后的反射光线；

【应用】如图 17－3，当⊙O 的半径为 1 时．

(1)第一象限内的一条入射光线平行于 x 轴，且自⊙O 的外部照射在其上点 P 处，此光线经⊙O 反射后，反射光线与 y 轴平行，求反射光线与切线 l 的夹角的度数；

(2)自点 A(－1，0) 出发的入射光线，在⊙O 内不断地反射．若第1 个反射点 P1 在第二象限，且第 12 个反射点 P12 与点 A 第一次重合，求第 1 个反射点 P1 的坐标；

【拓展】如图 17－4，点 M 的坐标为(0，2) ，⊙M 的半径为 1.第一象限内自点 O 出发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点 P 的纵坐标的取值范围．

3. 【操作】解：所得图形，如解图 17－1 所示：

【应用】(1)解：如解图 17－2，由题意得∠1＝∠2，∠APB ＝90°，∴∠2＝45°，∴反射光与切线 l 的夹角为 45°.

(2)解：由题意得这些反射点组成的多边形是正十二边形， ∴∠AOP 1 ＝30°， ∵OP 1＝1，

【拓展】解：如解图 17－3，当反射光 PA∥x 轴时，反射光线与坐标轴没有交点． 作 PD⊥OC ，PN ⊥OM 垂足分别为点 D，N ，设 PD＝m. ∵∠GPO ＝∠HPA ，∠GPC ＝∠HPC ＝90°， ∴∠OPC ＝∠APC ＝∠MPN ＝∠PCO ，∴OP ＝OC ， 在 Rt△PNM 中，∵ON ＝PD ＝m ， ∴PN ＝MP －MN ＝1－(2－m) ，

∴在 Rt△PON 中，PO ＝m ＋1－(2－m) ＝4m －3， ∵PD ∥OM ，

，3=0（不合题意，舍去）

如解图 17－4，当入射光线与⊙M 相切时，过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q.

∵在 Rt△OPM 中，∠OPM ＝90°，OM ＝2，MP ＝1， ∴OP ＝

，∠MOP ＝30°，

m

∴∠POQ ＝60°， ∴PQ ＝OP ·sin ∠POQ ＝

综上：满足条件的反射点 P 的纵坐标的取值范围是

4. （本小题满分 14 分）

数学活动：制作长方体纸箱．

知识背景：某地区有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具有特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的 2 倍，如图 14－1) ．

实际运用：(1)如果要求纸箱的高为 0.5 米，底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比，取黄金比为 0.6)，体积为 0.3 立方米．

①按方案 1(如图 14－2) 做一个纸箱，需要矩形硬纸板 A B C D的面积是多少平方米？

②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案 2(如图 14－3) 的菱形硬纸板 A B C D 做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．

拓展思维：(2)北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉(1)中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请在图 14－4 中利用函数图象验证．

解：(1)①∵纸箱高为 0.5 米，底面是黄金矩形(取黄金比为 0.6)，体积 0.3 立方米 ∴假设底面长为 x 米，则宽为 0.6x 米， ∴体积为：0.6x ·x ·0.5＝0.3， 解得：x=1 ∴AD ＝1 米，CD ＝0.6 米， DW ＝KA ＝DT ＝JC ＝0.5 米，FT ＝JH ＝WQ ＝MK ＝

=0.5米

＝0.3 米

∴QM ＝MK ＋KA ＋AD ＋DW ＋WQ ＝0.5＋0.5＋1＋0.5＋0.5=3米

FH ＝FT ＋TD ＋DC ＋CJ ＋JH ＝0.3＋0.5＋0.6＋0.5＋0.3＝2.2 米， ∴矩形硬纸板 A 1 B 1 C 1 D 1 的面积是 3×2.2＝6.6(平方米) ； ②如解图 14－1，连接 A2C 2，B 2D 2相交于点 O2 ，

设△D 2EF 中 EF 边上的高为 h1 ，△A 2NM 中 MN 边上的高为 h2 ， 由△D 2EF ∽△D 2MQ 得

解得 h1＝0.4，同理可得出：h 2＝

又∵四边形 A2B 2C 2D 2是菱形，

∵5.625

∴从节省材料的角度考虑，采用方案2的菱形硬纸板 A2B 2C 2D 2做一个纸箱比方案1更优． (2)水果商的要求办不到． 设新设计的纸箱底面的长与宽分别为x,y 则 x＋y ＝0.5×(1＋0.6) ＝0.8，xy ＝0.5×1×0.6＝0.3， 即 y＝0.8－x 和 y＝

在 y＝0.8－x 中，当 x＝0.8 时，y ＝0；当 x＝0 时，y ＝0.8； 在 y＝

中，当 x＝1 时，y ＝0.3；当 x＝0.3 时，y ＝1.

画出其图象如解图 14－2 所示：∴故水果商的要求办不到．

∵两个函数图象无交点．