基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题：基本不等式求最值的类型及方法

一、几个重要的基本不等式：

22

①a 2

+b 2

≥2ab ⇔ab ≤

a +b

2

(a 、b ∈R ) ，当且仅当a = b时，“=”号成立； 2

②a +b ≥2ab ⇔ab ≤

⎛a +b ⎫⎝2⎪⎭

(a 、b ∈R +

) ，

当且仅当a = b时，“=”号成立； 3

3

c 3

≥3abc ⇔abc ≤a 3+b 3+c 3

③a +b +(a 、b 、c ∈R +3

) ，

当且仅当a = b = c时,“=”号成立； 3

④a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤⎛ a +b +c ⎫+

⎝3⎪⎭

(a 、b 、c ∈R ) , 当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

2② 熟悉一个重要的不等式链：

2

+b 2

≤≤a +b

≤a 2

2

。 a +b

二、函数f (x ) =ax +

b

x

(a 、b >0) 图象及性质 (1)函数f (x ) =ax +

b

x

(a 、b >0)图象如图： (2)函数f (x ) =ax +b

x

(a 、b >0)性质： ①值域：(-∞, -2ab ] [2ab , +∞) ；

②单调递增区间：(-∞,

，+∞

) ；单调递减区间：(0,

，[0) . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数y =x +

1

2(x -1)

2

(x >1) 的最小值。 解析：y =x +

12(x -1) 2(x >1) =(x -1) +12(x -1) 2+1(x >1) =x -1x -11

2+2+2(x -

1) 2

+1(x >1) ≥351≥2+1=2， 当且仅当

x -152=1

2(x -1) 2

(x >1)

即x =2时，“=”号成立，故此函数最小值是2。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

①y =x 2

(3-2x )(0

3

2

) ②y =sin 2x cos x (0

解析：①

0

2

, ∴3-2x >0， ∴y =x 2

(3-2x )(0

3

]3=1， 当且仅当x =3-2x 即x =1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②

0

π

2

, ∴sin x >0,cos x >0，则y >0，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

22y 2

=sin 4

x ⋅cos 2

x =sin 2

x ⋅sin 2

x ⋅cos 2

x =11sin x +sin x +2cos 2x 342(sin2x ⋅sin 2x ⋅2cos 2

x ) ≤2⋅(

3) =27

, 当且仅当sin 2x =2cos 2

x

(0

x

π

2

) ⇒tan x =x =arc

tan 时 “=”号成立，故

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要

通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y ∈R +

，求f (x ) =x +

4

x

(0

x

(a 、b >0) 图象及性质知，当x ∈(0,1]时，函数

f (x ) =x +4

x

是减函数。证明：任取x 1, x 2∈(0,1]且0

f (x -f (x 4-4

) =(x x -x x x -41) 2) =(x 1-x 2) +(1-x 2) +4⋅21x =(x 12

x 1-x 2) ⋅， 1x 21x 2

x 1x 2∵0

1

x 0⇒f (x 1) >f (x 2) ， 1x 2

即f (x ) =x +

4x 在(0,1]上是减函数。故当x =1时，f (x ) =x +4

x

在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因0

x +

4

x =2+4， 易知当0

1时，μ

0且单调递减，则f (x ) =2+4在(0,1]上也是减函数，

即f (x ) =x +

4x 在(0,1]上是减函数，当x =1时，f (x ) =x +4

x

在(0,1]上有最小值5。 解法三：（拆分法）f (x ) =x +

413x (0

x ) +3

x ≥1

=5，

当且仅当x =1时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足

81

x +y

=1，求x +2y 的最小值。 解法一：（利用均值不等式）x +2y =(8+1)(x +2y ) =10+

x x

y

y +16y x ≥10+=18, ⎧⎪81⎨

x +y =1

当且仅当⎪即x =12, y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 ⎪x y

=16y ⎪⎩x 解法二：（消元法）由81

x +y

=1得

y =x x x -8，由y >0⇒x -8>0又x >0⇒x >8，则x +2y =x +

2x x -8=x +2(x -8) +16x -8=x +2+16x -

8=(x -8) +16

x -8+10≥10=18。 当且仅当x -8=

16

x -8

即x =12, 此时y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 ⎧解法三：（三角换元法）令⎪8⎪=sin 2x ⎧⎨x ⎪⎪x =8sin 2x ⎪1则有⎨

⎪=cos 2x ⎪1⎩y

⎪⎩y =

cos 2x 则：x +2y =

82

sin 2x +cos 2

x

=8csc 2x +2sec 2x =8(1+cot 2x ) +2(1+tan 2x ) =10+8cot 2x +

2tan 2x ≥10+≥18，易求得x =12, 此时y =3时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：

x +2y =(8x +1y )(x +2y ) ≥=8。原因就是等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围。 解法一：由x >0, y >0，则xy =x +

y +3⇒xy -3=x +y ≥

即2

-3≥

0≤-1(舍) ≥3，

当且仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。 又x +y +3=xy ≤(

x +y 2

) 2

⇒(x +y ) 2-4(x +y ) -12≥0⇒x +y ≤-2(舍) 或x +y ≥6， 当且仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故x +y 的取值范围是[6,+∞) 。

解法二：由x >0, y >0，xy =x +y +3⇒(x -1) y =x +3知x ≠1，

则：y =

x +3x +3

x -1，由y >0⇒

x -1

>0⇒x >1， 则：xy =x ⋅x +3x 2+3x (x -1) 2+5(x x -1=x -1=-1) +4x -

1=(x -1) +4

x -1+5≥5=9，

当且仅当x -1=

4

x -1

(x >0) 即x =3，并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。

x +y =x +

x +3x -1=x +x -1+4x -1=x +4x -1+1=(x -1) +4x -1+2≥2=6，

当且仅当x -1=

4

x -1

(x >0) 即x =3，并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数y =

(x +4)(x +9)

x

的最值。

错解：y =

(x +4)(x +9)x =x 2+13x +36x =13+x +36x ≥13+2x ⋅x

=25 当且仅当x =

36

x

即x =±6时取等号。所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数y =

(x +4)(x +9)

x

的定义域为(-∞，0) (0，+∞)，所以须对x 的正负加以分类讨论。正解：1）当x >0时，y =13+x +36x ≥13+2x ⋅36

x

=25

当且仅当x =

36

x

即x =6时取等号。所以当x =6时，y min =25 2）当x 0，-

36x

>0， (-x )+ ⎛

⎝-36⎫x ⎪⎭≥2(-x )⎛ ⎝-⎫x ⎪⎭=12 ∴y =13-[(-x ) +(-

36

x

)]≤13-12=1 当且仅当-x =-

36

x

，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =13-12=1. 例2. 当x >0时，求y =4x +9

x

2的最小值。

错解：因为x >0，y =4x +96

x 2≥24x ⋅x 2=

所以当且仅当4x =936x 2即x =4

时，y min =

=23。 分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x 与

9

x 2

的积不是定值，导致错误。 3

正解：因为x >0，y =4x +99x 2=2x +2x +x 2≥32x ⋅2x ⋅x

2=3

当且仅当2x =9

x

2，即x =

2时等号成立，所以当x =2

时，y min =。 例3. 求y =

x 2+5x 2

+4

(x ∈R ) 的最小值。

错解：因为y =

x 2+5x 2

+4

=x 2+4+

12x 2

+4

≥2

x +4⋅

x 2

+4

=2，所以y min =2

分析：忽视了取最小值时须x 2

+4=

1成立的条件，而此式化解得x 2+4

x 2

=-3，无解，所

以原函数y 取不到最小值2。 正解：令t =

x 2+4(t ≥2)，则y =t +1

t

(t ≥2)

又因为t ≥1时，y =t +15

t 是递增的。所以当t =2，即x =0时，y min =2

。

例4. 已知x , y ∈R +且

1x +4

y

=1，求u =x +y 的最小值. 错解： 1=

1x +4y ≥4xy

⇒xy ≥4 , ∴u =x +y ≥2xy ≥8, ∴u 的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为1x =4

y

和x =y ，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：u =(x +y 1

+

4x y ) =5+4x y +y x

≥5+4=9 当且仅当

4x y =y

x

即x =3, y =6时等号成立. ∴u 的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

技巧一：凑项 例1：已知x

5

4，求函数y =4x -2+14x -5

的最大值。 解：因4x -5

4x -5

不是常数，所以对4x -2要进行拆、凑项，

x 0，∴y =4x -2+4x -5=-⎛ ⎝

5-4x +1⎫5-4x ⎪⎭+3≤-2+3=1， 当且仅当5-4x =

1

5-4x

，即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1。 技巧二：凑系数 例2. 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。 解析：由

知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2x +(8-

2x ) =8为定值，故只需将y =x (8-2x ) 凑上一个系数即可。

当

，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，y =x (8-

2x ) 的最大值为8。

技巧三： 分离

x 2例3. 求y =

+7x +

10

x +1

(x >-1) 的值域。 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当

, 即

时, y ≥5=9（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

y =(t -1) 2+7(t -1）+10t 2+5t +44t =t =t +t

+5

当

, 即t =时, y ≥5=9（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f

(x ) =x +a

x

的单调性。2例：求函数y =

的值域。

=t (t ≥2)

，则y =2

==t +1

(t ≥2)

t 因t >0, t ⋅1

=1，但t =1t t

解得t =±1不在区间[2, +∞)，故等号不成立，考虑单调性。 因为y =t +1在区间[1, +∞)单调递增，所以在其子区间[2, +∞)为单调递增函数，故y ≥5t 2

。 所以，所求函数的值域为⎢⎡5

, +∞⎪⎫⎣2⎭

。

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x >0, y >0，且

1x +9

y

=1，求x +y 的最小值。 解：

x >0, y >0, 1x +9

y =1，∴x +y =(x +y )⎛ 1⎝x +9⎫y ⎪⎭=y x +9x y

+10≥6+10=16

当且仅当y x =9x y

时，上式等号成立，又1x +9y =1，可得x =4, y =12时，(x +y )min =16 。

巩固练习：

1、已知：x 2+y 2=a , m 2+n 2

=b 且a ≠b ，则mx +ny 的最大值为( )

(B)a +b a 2 (C)a 2+b 2

2(A)ab +b 22

(D)2

2、若a , x , y ∈R +

，且x +y ≤a x +y 恒成立，则a 的最小值是( )

(A)22 (B)2 (C)2 (D)1

3、已知下列不等式：①x 3+3>2x (x ∈R +) ；②a 5+b 5≥a 3b 2+a 2b 3(a , b ∈R +) ； ③a 2+b 2≥2(a -b -1) . 其中正确的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设a , b ∈R +

，则下列不等式中不成立的是( )

(A)(a +b )(11a 2+b 2

1a +b ) ≥4 (B) ab ≥2ab (C)ab +

ab ≥2 (D)2ab a +b ≤ab 5、设a , b ∈R +

且2a +b =1, S =2ab -4a 2-b 2的最大值是( )

(A)2-1 (B)

2-12 (C)2+1 (D)2+1

2

6、若实数a , b 满足a +b =2，则3a +3b

的最小值是( )

(A)18 (B)6 (C)23 (D)23 7、若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是.

8、若x , y ∈R +

, 且2x +

y =1，则

1x +1

y

的最小值为基本不等式 知识点：

1. (1)若a , b ∈R ，则a 2

+b 2

≥2ab (2)若a , b ∈R ，则ab ≤a 2+b 2

2

（当且仅当a =b 时取

“=”）

2. (1)若a , b ∈R *，则a +b

2

≥ab

(2)若a , b ∈R *，则a +b ≥2ab （当且仅当a =b 时取“=”）

(3)若a , b ∈R *

a +b ⎫2

，则ab ≤⎛ (当且仅当a =b 时取“=”） ⎝2⎪

⎭

3. 若x >0，则x +

1

x ≥2 (当且仅当x =1时取“=”） 若x

x

≤-2 (当且仅当x =-1时取“=”）

若x ≠0，则x +1x ≥2即x +1x ≥2或x +1x

≤-2 (当且仅当a =b 时取“=”）

4. 若ab >0，则a b +b a

≥2 (当且仅当a =b 时取“=”）若ab ≠0，则

a a a b +≥2即b +b

b b

a 2≥或a

- (≤2当且仅当a =b 时取“=”） 5. 若a , b ∈R ，则(a +b 2a 2+b 2

2) ≤

2（当且仅当a =b 时取“=”） 注意：

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值 例：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 21

2x 2

（2）y ＝x 1

x

解：(1)y＝3x 2＋

1

2x 2

≥23x 2·

1

2x 2

＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1

x ≥2

x ·1

x

＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1

x ）≤－2

x ·1

x

=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知x

5

，求函数y =4x -2+144x -5

的最大值。 解：因4x -5

4x -5

不是常数，所以对4x -2要进行拆、凑项，

x 0，∴y =4x -2+14x -5=-⎛ 1⎫⎝5-4x +5-4x ⎪⎭+3≤-2+3=1 当且仅当5-4x =

1

5-4x

，即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。 解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为

两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x +(8-2x )

=8为定值，故只需将y =x (8-2x ) 凑

上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，y =x (8-

2x ) 的最大值为8。

变式：设0

3

2

，求函数y =4x (3-2x ) 的最大值。 解：∵00∴y =4x (3-2x ) =2⋅2x (3-2x ) ≤2⎛ 2x +3-2x ⎫2

9⎝2⎪⎭

=2 当且仅当2x =3-2x , 即x =

34∈⎛ ⎝0, 3⎫

2⎪⎭

时等号成立。

技巧三： 分离 技巧四：换元

例：求y =

x 2+7x +10

x +1

(x >-1) 的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（

x ＋1）的项，再将其分离。

当

, 即

时

, y ≥5=9（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t -1) 2+7(t -1）+102

y =

t =t +5t +4t =t +4

t

+5

当, 即t=时

, y ≥5=9（当t=2即x ＝1

时取“＝”号）。

2

例：求函数y =

的值域。

=t (t ≥

2) ，则2

y =

=

=t +1

(t ≥2)

t 因t >0, t ⋅1

=1，但t =1t t

解得t =±1不在区间[2, +∞)，故等号不成立，考虑单调性。

因为y =t +1t 在区间[1, +∞)单调递增，所以在其子区间[2, +∞)为单调递增函数，故y ≥5

2

。

所以，所求函数的值域为⎢⎡5, +∞⎪⎫⎣2⎭

。

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x >0, y >0，且

1x +9

y

=1，求x +y 的最小值。

错．解．：

x >0, y >0，且

1x +9y =1，∴x +y =⎛ 1⎝x +9⎫

y ⎪⎭

(

x +y )≥12 故 (x +y )min =12 。

错因：解法中两次连用均值不等式，

在x +y ≥x =y ，

在1x +9y

≥号成立条件是

1x =9

y

即y =9x , 取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：

x >0, y >0, 1x +9

y =1，∴x +y =(x +y )⎛ 1⎝x +9⎫y ⎪⎭=y x +9x y

+10≥6+10=16

当且仅当y x =9x

y

时，上式等号成立，又19x +y =1，可得x =4, y =12时，(x +y )min =16 。

技巧七

x ，y 为正实数，且x 2

＋

y 2

例：已知2

2

＝1，求1＋y 的最大值.

2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤

a ＋b 2

2

。

同时还应化简

1＋y 2 中y 2前面的系数为 1

2

， x

1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22

＝

2

x ·

1y 2

2 ＋2

下面将x ，

1y 2

2＋2

分别看成两个因式： y 2

x 2＋(

1x 2＋y 21

x ·

1

2＋y 2

2 ) 22 ＋2 ≤2

＝

2＋2

2

＝3

4

即x

1＋y 2 ＝2 ·x

1

＋y 2

22 ≤ 34

2

技巧八：

已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab

的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1， ab ＝30－2b －2 b 2＋30b

b ＋1·b ＝b ＋1

由a ＞0得，0＜b ＜15

令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －311616

t ＝－2（t ＋t ）＋34∵t ＋t

≥2

t ·

16

t

＝8

∴ ab ≤18 ∴ y ≥

1

18

当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥2

2 ab

令u ＝ab 则u 2＋22 u －30≤0， －52 ≤u ≤32

∴

ab ≤32 ，ab ≤18，∴y ≥

1

18

点评：①本题考查不等式

a +b

2

≥（a , b ∈R +）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式ab =a +2b +30（a , b ∈R

+

）出发求得ab

的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等式a +b

2

≥（a , b ∈R +），这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.

技巧九、取平方

例:

求函数y =1

解析：注意到与5-2x 的和为定值。

y 2=

2=4+

≤4+(2x -1) +(5-2x ) =8

又y >0，所以0

3

2

时取等号。 故y max = 应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a 、b 、c ∈R +

，且a +b +c =1

。求证：

⎛1⎝a -1⎫⎛

⎪1⎭⎝b -1⎫⎛⎪1⎫⎭⎝c -1⎪⎭

≥8 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2

”连乘，又11-a b +c a -1=a =a

解：

a 、

b 、c ∈R +

，a +b +c =1。

∴

11-a b +c a

-

1=a =a ≥

。同理1b -1≥，1c -1≥

⎛ 1⎝a -1⎫⎛⎪1⎭⎝b -1⎫⎛⎪1⎭⎝c -1⎫⎪⎭

≥a b c =8。当且仅当a =b =c =13时取等号。 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x >0, y >0且

1x +9

y

=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。 解：令x +y =k , x >0, y >0,

19x +x +y =1，∴y kx +9x +9y ky =1. ∴10k +y kx +9x ky

=1 ∴1-

10k ≥2⋅3

k

。∴k ≥16 ，m ∈(-∞,16]

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

a >b >1, P =a ⋅lg b , Q =

12(lga +lg b ), R =lg(a +b

2

) ，则P , Q , R 的大小关系是 . 分析：∵a >b >1 ∴lg a >0, lg b >0

=p =Q ∴R>Q>P。

Q =

1

（lg a +lg b ) >lg a ⋅lg b 2

a +b 1R =lg() >lg ab =lg ab 22