高一衔接: 十字相乘法

第一讲 因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1 十字相乘法

十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：

第一种叫分拆系数形式，由abx 2+(an +bm )x +mn =(ax +m )(bx +n )中二次项系数、常数项与一次项系数间的关系得出，如图1；第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积，然后交叉相乘的和是一次项，如图2．

1 －1 a m ax m x －1

b n bx n

x －2 1 －2 图1．1－1 图1．1－2

an +bm anx +bmx =(an +bm ) x

图1 图2

【例1】把下列各式因式分解：

（1）x 2－3x ＋2； (3) x -7x +6 2 (4) x +13x +36 2

解：解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．

(3) ∴ x 2-7x +6=[x +(-1)][x +(-6)]=(x -1)(x -6) ．

(4) ∴ x 2+13x +36=(x +4)(x +9)

说明：1此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 2今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．

练习 (1x ) 2-1x 0+(x -9)(x -1) （2）x 2+5x +6=(x +2)(x +3) ＝9

（3）x 2-11x +18=(x -2)(x -9) _。 （4）x 2-5x +6=(x -2)(x -3)

【例2】因式分解：(1) x +5x -24

22 (2) x -2x -15 （2）x 2＋4x －12； 2解：(1)∴ x +5x -24=[x +(-3)](x +8) =(x -3)(x +8)

∴ x -2x -15=x [+(-5) x ](+2 +3=) x (-x 5) (3)

（3）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ．

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

练习

（1）x +5x -6= （2）b +3b -10= (3) x -3x -28 （4）x -5x -6=

【例3】把下列各式因式分解：

(1) x 2+xy -6y 2

(2) (x 2+x ) 2-8(x 2+x ) +12（3）x 2-(a +b ) xy +aby 2； （4）xy -1+x -y ． 2222分析：(1) 把x 2+xy -6y 2看成x 的二次三项式，这时常数项是-6y 2，一次项系数是y ，把-6y 2分解成3y 与-2y 的积，而3y +(-2y ) =y ，正好是一次项系数．

(2) 由换元思想，只要把x +x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式a -8a +12． 解：(1) x +xy -6y =x +yx -6=(x +3y )(x -2y )

(2) (x +x ) -8(x +x ) +12=(x +x -6)(x +x -2) [1**********]x x －ay －by x y －1 1 图1．1－4 图1．1－5

=(x +3)(x -2)(x +2)(x -1)

（3）由图1．1－4，得x -(a +b ) xy +aby ＝(x -ay )(x -by )

（4）xy -1+x -y ＝xy ＋(x －y ) －1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 22

练习 （1）x 2-(a +1)x +a =。 （2）a 2b 2-7ab +10= （3） a 3b -45ab -a 2b =

【例4】把下列各式因式分解：

(1) 12x -5x -2 2 (2) 5x +6xy -8y 22

解：(1) 12x -5x -2=(3x -2)(4x +1) 2 34⨯-2

1

(2) 5x +6xy -8y =(x +2y )(5x -4y ) 22 1 2y 5-4y ⨯

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

2练习 (1) x 2+x 7+; 3(2)2x -x -6； (3)2x -7xy -22y 222

(1)原式=(2x +1)(x +3) ；(2)原式=(2x +3)(x -2) ；(3)原式=(2x -11y )(x +2y ) (4)3x 2+2xy -y 2.

【例5】请连续二次运用十字相乘法分解下列各式：

(1)x 2-3xy -10y 2+x +9y -2；(2)xy +y 2+x -y -2； (3)6x 2-7xy -3y 2-xz +7yz -2z 2． 解：(1)∵. x 2-3xy -10y 2=(x -5y )(x +2y ) ，而2(x +2y ) -(x -5y ) =x +9y ，

∴原式=(x -5y +2)(x +2y -1) ；

(2)∵. xy +y 2=y (x +y ) ，而1⋅(x +y ) -2y =x -y ，∴原式=(x +y -2)(y +1) ；

(3)∵6x 2-7xy -3y 2=(2x -3y )(3x +y ) ，而

z (3x +y ) -2z (2x -3y ) =-xz +7yz ，∴原式=(2x -3y +z )(3x +y -2z ) ．

练习

(1)2xy +y 2-6x +5y +6(2)x 2-xy -2y 2+3x -3y +2(3)6x 2-7xy -3y 2+4xz -5yz -2z 2．

1. 将下列各式分解因式：

) x 2-4xy -3y 2． (1)6x 2+x -1； (2)-3x 2+19x -20； (315

2. 将下列各式分解因式：

(1)2xy +y 2-6x +5y +6； (2)x 2-xy -2y 2+3x -3y +2；

(3)6x 2-7xy -3y 2+4xz -5yz -2z 2．

(1)x2＋6x ＋8＝ ; (2)3x 2+2x -8 (3)6x 2-5x -1； -x +5x -6=;(5)y 2-6y +8=；

(6)x -5x -6=-a +7a -12=（8）6x +7x +2=； (9)x2－2x －1＝(10)4x -20x +25=

22（11）4m -12m +9=（12）5+7x -6x =。（13）12x +xy -6y =。14、6(2p -q )-11(q -2p )+3 22222222

15、a -5a b +6ab 16、2y 2-4y -6 17、b -2b -8 (18) x +y +(x +y ) 2-2

(19)3x +xy -2y =; (20) 20－9y －20y 2；

1、x +3x +2=

4223224222 2、x -7x +6= 23、x -4x -21= 24、x +2x -15= 4322 2225、x +6x +8=6、(a +b ) -4(a +b ) +3=7、x -3xy +2y =

228、x -3x -28x = 229、x +4x +3= 10、a +7a +10= 11、y -7y +12=12、q -6q +8=

213、x +x -20=14、m +7m -18= 15、p -5p -36= 22216、t -2t -8=

17、x -x -20= 4218、a x +7ax -8=19、a -9ab +14b = 222220、x 2+11xy +18y 2=

21、x 2y 2-5x 2y -6x 2= 22、-a 3-4a 2+12a =23、3x 2+11x +10=24、2x 2-7x +3= 25、6x 2-7x -5=26、5x 2+6xy -8y 2=27、2x 2+15x +7= 28、3a 2-8a +4=

29、5x 2+7x -6= 30、5a 2b 2+23ab -10= 31、3a 2b 2-17abxy +10x 2y 2=

32、4x 4y 2-5x 2y 2-9y 2= 33、4n 2+4n -15= 34、6l 2+l -35=

35、10x 2-21xy +2y 2= 36、8m 2-22mn +15n 2=37、(x 2+5x +3)(x 2+5x -2) -6=

38、(x -1)(x +2)(x -3)(x +4) +24= （39）15x 2-4xy -3y 2 (40)-12a 2+17a -6

(1)6x 2+x -1； (2)-3x 2+19x -20； （3）；(4) a2－7a+6； (5)2x2+3x+1；

(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a －6；(9)6x2－11x+3 (10)4m2+8m+3；

(11)10x2－21x+2； (12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15； (14)6a2+a－35；

(15)5x2－8x －13； (16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2； 18)6y 2+19y+10；

(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b) －6(a－b) 2； (20)7(x－1) 2+4(x－1) －20；

(21)8x2+6x－35；(22)18x2－21x+5；

答案：1、(x +1)(x +2) 2、(x -1)(x -6) 3、(x +3)(x -7) 4、(x -3)(x +5)

5、(x 2+4)(x 2+2) 6、(a +b -1)(a +b -3) 7、(x -y )(x -2y )

8、x 2(x +4)(x -7) 9、(x +1)(x +3) 10、(a +2)(a +5) 11、(y -3)(y -4)

12、(q -2)(q -4) 13、(x -4)(x +5) 14、(m -2)(m +9) 15、(p +4)(p -9)

16、(t +2)(t -4) 17、(x 2+4)(x 2-5) 18、(ax -1)(ax +8) 19、(a -2b )(a -7b )

20、(x +2y )(x +9y ) 21、x 2(y +1)(y -6) 22、-a (a -2)(a +6)

23、(x +2)(3x +5) 24、(x -3)(2x -1) 25、(2x +1)(3x -5)

26、(x +2y )(5x -4y ) 27、(2x +1)(x +7) 28、(a -2)(3a -2)

29、(x +2)(5x -3) 30、(5ab -2)(ab +5) 31、(3ab -2xy )(ab -5xy )

32、y 2(x 2+1)(2x +3)(2x -3) 33、(2m -3n )(2m +5n ) 34、(2l +5)(3l -7)

35、(10x -y )(x -2y ) 36、(2m -3n )(4m -5n ) 37、(x +1)(x +4)(x 2+5x -3) 38、(x -3)(x +2)(x 2+x -8)