积分变换与场论习题2 解答
07-18
习题2 解答
1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 (1)u =1; Ax +By +Cz +D
(2)
u =arc
解：(1)场所在的空间区域是除Ax +By +Cz +D =0外的空间。 等值面为Ax +By +Cz +D =c 0，这是与平面Ax +By +Cz +D =0平行的空
间。
(2)场所在的空间区域是除原点以外的z 2≤x 2+y 2的点所组成的空间部分。
等值面为z 2=x 2+y 2sin 2c , (x 2+y 2≠0)，当sin c ≠0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除原点外）；当sin c =0时，是xOy 平面。
x 2+y 2
2．求数量场u =经过点M (1,1, 2)的等值面方程。 z
解：经过点M (1,1, 2)等值面方程为
x 2+y 212+12
u ===1， z 2
即z =x 2+y 2
3．已知数量场u =xy ，求场中与直线x +2y -4=0相切的等值线方程。 解：设切点为(x 0, y 0)，等值面方程为xy =c =x 0y 0，因相切，则斜率为 k =-y 0c 1=-=- 2x 0x 02
点(x 0, y 0)在所给直线上，有
x 0+2y 0-4=0
解之得y 0=1, x 0=2
故xy =x 0, y 0=2
4．求矢量A =xy 2i +x 2yj +zy 2k 的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为 A ⨯dr =0，
或dx dy dz ==xy 2x 2y zy 2
有dx dy dx dz =, =2222xy x y xy zy 解之得y 2-x 2=c 1, z =c 2x